機械振動與波動

1、1小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎小號發(fā)出的聲波足以使酒杯破碎2同年同年7 7月在大風中月在大風中因產(chǎn)生共振而斷塌因產(chǎn)生共振而斷塌 我國四川綦江彩虹橋的斷裂：我國四川綦江彩虹橋的斷裂： 武警跑步（引起共振）武警跑步（引起共振）19401940年華盛頓的塔科曼年華盛頓的塔科曼大橋建成大橋建成 3我國古代對我國古代對“共振共振”的認識：的認識： 蜀人有銅盤，早、晚鳴如人扣，蜀人有銅盤，早、晚鳴如人扣，公元五世紀公元五世紀天中記天中記記載記載問張華。問張華。張華曰：此盤與宮中鐘張華曰：此盤與宮中鐘相諧相諧，故聲故聲相應(yīng)，相應(yīng)，可改變其薄厚?？筛淖兤浔『?。4振動依機理不同區(qū)分為機械振動、電磁振動，振動依機

2、理不同區(qū)分為機械振動、電磁振動，但描述和研究方法相同。但描述和研究方法相同。廣義而言：指任一物理量廣義而言：指任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) ) 在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。 狹義的振動：狹義的振動：指物體在其平衡位置附近的指物體在其平衡位置附近的 周期性往復(fù)運動。周期性往復(fù)運動。振動是一種重要的運動形式。振動是一種重要的運動形式。本章重點：本章重點：振動方程振動方程5振動振動類型類型共振共振( (簡諧振動）簡諧振動） 受迫振動受迫振動自由振動自由振動阻尼自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由非諧振動無阻尼自由無阻尼自由

3、諧振動諧振動66 6.1 .1 簡諧振動的描述簡諧振動的描述O- A+AxmFkxkaxm 1.1.簡諧振動簡諧振動（Simple Harmonic Motion）：一、簡諧振動的方程一、簡諧振動的方程質(zhì)點在彈性力（或準彈性力）作用下引起的質(zhì)點在彈性力（或準彈性力）作用下引起的振動振動以彈簧振子為例以彈簧振子為例 2.2.簡諧振動方程：簡諧振動方程：7kaxm 簡諧振動微分方程：簡諧振動微分方程：簡諧振動方程余弦形式簡諧振動方程余弦形式O- A+Axm2km令：令：222ddxxt cos()xAtdsin()dxvAtt 222dcos()dxaAtt 此外：此外：82km因為，所以有/k

4、mcos()cos ()cos()AtAtTAtT2T2T，即 結(jié)合結(jié)合 來闡明簡諧振動各來闡明簡諧振動各特征量的物理意義特征量的物理意義cos()xAt 1. 振幅：振幅：A 2. 周期、頻率、角頻率周期、頻率、角頻率 T v 3. 相位、初相位、相位差相位、初相位、相位差 t22112121()()()()ttt由余弦函數(shù)的周期為由余弦函數(shù)的周期為2得得12T2vv ，而T2m/k1/2vk m二、簡諧振動的特征量二、簡諧振動的特征量9cos( )xAtdsin( )dxAtt v222dcos( )dxaAtt 討論：討論：xA0Av0A00At0232A02a2A02A02A10比較兩

5、個同方向、同頻率簡諧振動的步調(diào)比較兩個同方向、同頻率簡諧振動的步調(diào):212(0,1,2)kk 當相位差當相位差振動同步振動同步或振動同相或振動同相當相位差為其它值時，當相位差為其它值時，當相位差當相位差2121(0,1,2)kk （）振動反步調(diào)振動反步調(diào) 或振動反相或振動反相210說明第二個振動超前第一個振動相位說明第二個振動超前第一個振動相位xt（b） =(2k+1)OA2A1txOA1A2（a） =2k11簡諧振動的描述方法簡諧振動的描述方法cos()xAt解析式解析式曲線法曲線法 xt旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法復(fù)數(shù)法復(fù)數(shù)法i()iettxAAe iAA e復(fù)振幅復(fù)振幅12解析式解析式cos(

6、)xAtdcos( )d2xAttv222dcos( )dxaAttv 比比 x 超前超前 ,()()22v xtt對應(yīng)的時間差對應(yīng)的時間差 ,24v xTt A 與與 x 反相反相 ,()()a xtt ,2a xTt 對應(yīng)的時間差對應(yīng)的時間差 13xot 0- = /2 A-A = 0omx0 = AxA(伸長量伸長量)om0 x0 AxAomx0 = 0 xAxt曲線曲線a,v,xotvax14km0t例：已知振動系統(tǒng)的例：已知振動系統(tǒng)的 和和 及初始條件（及初始條件（ 時時振子的坐標振子的坐標 和速度和速度 ），試確定該簡諧振動。），試確定該簡諧振動。 0 x0v聯(lián)立可得聯(lián)立可得: :

7、將初始條件代入方程將初始條件代入方程: :解：由解：由振動系統(tǒng)的振動系統(tǒng)的 和和 ，可確定，可確定mkcos()xAtsin()vAt 即即0cosxA0sinvA 22002vAx00arctan()vx三、振幅和初相的確定三、振幅和初相的確定( (即方程的建立即方程的建立) )15 物體沿物體沿x軸作諧振動，振幅為軸作諧振動，振幅為20cm，周期為，周期為4秒，秒，t=0時物體的位移為時物體的位移為10cm，且向，且向x軸正方向運動，求軸正方向運動，求:（1）初相初相;（2）t=0.5秒時秒時，物體的坐標、速度和加速度；（物體的坐標、速度和加速度；（3）物體在平衡位置處物體在平衡位置處，且

8、向且向x軸負方向運動的時刻開始計時軸負方向運動的時刻開始計時的初相，并寫出運動方程。的初相，并寫出運動方程。例例 題題 1 1解解: : 由振動方程由振動方程cos()xAt（1）由題意）由題意120,422()42Acm TssT020cos10 xcm0010,0,xcm v由運動方程得t=0時，時，1cos216所以所以3 00,3v 因為只能取因此物體的運動方程為因此物體的運動方程為20cos()()23xtcm(2) t=0.5s時，物體的坐標、速度和加速度分別為時，物體的坐標、速度和加速度分別為20cos()2320cos(0.5)19.3()23xtcm20sin(-)22320

9、sin(0.5-)8.13(/ )223tcm s v222() cos( )22() cos(0.5)47.6/22aAtAcm s 17(3)當物體在平衡位置處，且向當物體在平衡位置處，且向x軸負方向運動的時刻開始計時軸負方向運動的時刻開始計時000,0,0.txv即當時cos()xAt由0020cosx有所以所以322或00,2v因為只能取因此物體的運動方程為因此物體的運動方程為20cos()()22xtcm18 單擺是不可伸長的輕繩單擺是不可伸長的輕繩 (擺線擺線) 長為長為l , 一端固定一端固定, 另一端懸掛一質(zhì)量為另一端懸掛一質(zhì)量為m的小球的小球 (擺球擺球) 所組成的系統(tǒng)所組成

10、的系統(tǒng), 如圖所示如圖所示. 當擺線與豎直方向成當擺線與豎直方向成 時時, 忽略空忽略空氣阻力氣阻力, 求單擺振動的周期求單擺振動的周期.例例 題題 2 2解解:擺球受重力擺球受重力mgmg和張力和張力T,T,所受合力所受合力沿圓弧切線方向分力即重力在這一沿圓弧切線方向分力即重力在這一方向的分力為方向的分力為 , , 取逆時針取逆時針方向為角位移的正方向方向為角位移的正方向, , 則此力應(yīng)則此力應(yīng)寫成寫成(5 )o角lTFPmoAsinmgsinfmg (5 ),sin,o在角位移 很小時 一般認為所以fmg 1922dmlmgdt 由牛頓第二定律可得由牛頓第二定律可得220dgdtl或或gl

11、此方程和簡諧振動的微分方程形式相同此方程和簡諧振動的微分方程形式相同. 所以所以,在在角位移很小的情況下角位移很小的情況下, 單擺的振動是簡諧振動單擺的振動是簡諧振動.單單擺振動的角頻率和周期分別為擺振動的角頻率和周期分別為22gTl20AOBt=0P0 xCcos()xAt1.1.取水平取水平x軸軸, ,由原點由原點O引出引出長度等于長度等于 的的矢量矢量 AA 2.2.設(shè)想矢量設(shè)想矢量 以勻角速度以勻角速度 繞原點繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，則矢，則矢量的端點量的端點P在在x x軸上的投影點軸上的投影點N將在將在BC范圍內(nèi)來回運動。范圍內(nèi)來回運動。 A ；初始時刻，初始時刻， 與與x軸夾

12、角為軸夾角為 A3. 3. 時刻時刻 與與x軸的夾角變?yōu)檩S的夾角變?yōu)?，端點，端點P在在x軸上的軸上的投影投影為為()tAtNPtt+xN點的速度點的速度sin()vAt 21OB xC0,0 xv0,0 xv0,0 xv0,0 xv根據(jù)初始條件利用旋轉(zhuǎn)矢量圖判斷初相位根據(jù)初始條件利用旋轉(zhuǎn)矢量圖判斷初相位P0OB xC0 xA22初始條件初始條件所在象限所在象限初相位初相位0000 xxxx，v0，v0，v0第一第一象限象限第二象限第二象限第三象限第三象限第四象限第四象限(0 )2()2()2()2，0討論：討論：軸上：軸上：1xAA2（ ），v=0，a=-20 xA（ ），v=-，a=0 x

13、AA 2（3），v=0，a=0 xA（4），v=，a=002223例例1. 1. 質(zhì)點作諧振動，初位置在質(zhì)點作諧振動，初位置在(-A/2)(-A/2)處正朝處正朝- -x方向方向運動，振動周期運動，振動周期2s，求：初相和回到平衡位置的最，求：初相和回到平衡位置的最短時間？短時間？解：解：用旋轉(zhuǎn)矢量法用旋轉(zhuǎn)矢量法？2/A定出初相定出初相23回到平衡位置，振幅回到平衡位置，振幅矢量至少再轉(zhuǎn)過矢量至少再轉(zhuǎn)過65 所需時間所需時間 ：s6522652 Tt矢量圖示法用于計算，其特點是：直觀、簡便。矢量圖示法用于計算，其特點是：直觀、簡便。o o24例例 題題 2 2 已知物體作簡諧運動的圖線，試根據(jù)

14、圖線已知物體作簡諧運動的圖線，試根據(jù)圖線寫出其振動方程寫出其振動方程. st mx04. 002. 0002. 004. 02方法一方法一:解解: 設(shè)振動方程為設(shè)振動方程為cosxAt0.04Am由圖知由圖知000,02Atxv 又由圖知又由圖知2433所以或0sin0vA 23則得252 ,02Ats xv由圖知2cos(2)232sin(2)03AAvA 所以252333或222325233取2得20.04cos()23xt由此得振動方程26方法二方法二(旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法):解解:yxaabbov0,tax 時 質(zhì)點位于 點向 軸負方向運動初相的確定：初相的確定：,a則對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量位

15、于 位置23所以初相位2,tsbx時 質(zhì)點位于 點向 軸正方向運動角頻率的確定：角頻率的確定：,則對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量位于b 位置可見矢量旋轉(zhuǎn)2t得20.04cos()23xt由此得振動方程27例例 題題 3 3已知簡諧運動的圖線，寫出其振動方程已知簡諧運動的圖線，寫出其振動方程.)(stx)(m1 . 01 . 0o135790.1 ,8Am Ts解解:由圖知由圖知1214sT設(shè)振動方程為設(shè)振動方程為cosxAt由圖知由圖知t=1s時時, x=A,1cos()4AA1cos()1410414 0.1cos()44xt本題不好用旋轉(zhuǎn)矢量法，因為初始的位置不能讀出本題不好用旋轉(zhuǎn)矢量法，因為初始的位置不

16、能讀出28293031323334cos(5/6)vt得0.2sin(5/6)xt沿著沿著x軸振動。求軸振動。求：（：（1）t=0時，作用于質(zhì)點的力的大小；（時，作用于質(zhì)點的力的大?。唬?）作用于質(zhì)點的力的最大值和此時的質(zhì)點的位置。作用于質(zhì)點的力的最大值和此時的質(zhì)點的位置。解解: :1 5sin2.56FmaNN x0.2m此時 ，即質(zhì)點在位移最大處受到的力最大。0.2sin(5/6)()xtSI 質(zhì)量為質(zhì)量為1kg的質(zhì)點，按方程的質(zhì)點，按方程由振動方程由振動方程5sin(5/6)at （1）t=0時，時，sin(5)16t （2）當）當 時，時，a最大最大maxmax5FmaN例例 題題 5

17、 535可以看出：簡諧振動總的能量是不變的，并且可以看出：簡諧振動總的能量是不變的，并且與振幅和頻率的平方成正比。與振幅和頻率的平方成正比。作簡諧振動的振子對應(yīng)的能量為作簡諧振動的振子對應(yīng)的能量為212PEkxsin()vAt 2221122kPEEEmAkAcos()xAt221cos ()2kAt22221cos ()2kmAtm212kEmv2221sin ()2mAt6 6.2 .2 簡諧振動的能量簡諧振動的能量36討論討論:(1)簡諧振動總能量是一常量，根源在于振動過程中簡諧振動總能量是一常量，根源在于振動過程中只有保守力做功，系統(tǒng)機械能守恒；只有保守力做功，系統(tǒng)機械能守恒；(2)

18、振幅振幅A不僅給出了諧振動的運動范圍不僅給出了諧振動的運動范圍, 而且反映而且反映了振動系統(tǒng)的能量大小了振動系統(tǒng)的能量大小, 即反映了振動的強度；即反映了振動的強度；(3)簡諧運動系統(tǒng)的動能和勢能大小時刻改變并且在簡諧運動系統(tǒng)的動能和勢能大小時刻改變并且在振動過程中相互轉(zhuǎn)化，但總機械能是守恒的，且總振動過程中相互轉(zhuǎn)化，但總機械能是守恒的，且總能量與振幅能量與振幅(A)平方成正比（如圖）平方成正比（如圖）toEkEpEpkEEE37諧振動在一個周期內(nèi)諧振動在一個周期內(nèi)勢能和動能各自的平均值勢能和動能各自的平均值20112TPEkx dtT222011sin ()2TmAtdtT22011cos

19、()2TkAtdtT214kA20112TkEmv dtT214kA諧振動在一個周期內(nèi)的平均勢能和諧振動在一個周期內(nèi)的平均勢能和平均動能相等。平均動能相等。質(zhì)量為質(zhì)量為0.1kg的質(zhì)點作簡諧振動，頻率的質(zhì)點作簡諧振動，頻率 10Hz，38sin()vAt cos()xAt在在t=0時刻，位移時刻，位移 0.1m，速度，速度 =2ms-1-1。求：（。求：（1）位移表）位移表達式；（達式；（2）加速度表達式；（）加速度表達式；（3）振動的總能量。）振動的總能量。解解: :0.1cosA4A =0.141m， 0.141cos(20)( )4xtm22cos()558cos(20)()4aAttm

20、 s 2212EmA代數(shù)據(jù)得代數(shù)據(jù)得2210sinA 0 x0v(2)2210.1 (20 )(0.141)3.94(J)2例例 題題 1 139例例 題題 2 2 勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧，系一質(zhì)量為的輕彈簧，系一質(zhì)量為 的物的物體在水平面上作振幅為體在水平面上作振幅為 A 的簡諧運動。有一質(zhì)量的簡諧運動。有一質(zhì)量為為 的粘土，從高度為的粘土，從高度為 h 處自由下落，正好在處自由下落，正好在（a）物體通過平衡位置時（）物體通過平衡位置時（b）物體在最大位移）物體在最大位移時，落在物體之上分別求時，落在物體之上分別求1m(1)振動周期有何變化振動周期有何變化;2m(2)振幅有何變化

21、振幅有何變化2mhh1mAox1m40解解:(1):(1)振動系統(tǒng)周期由彈簧振子的勁度系數(shù)和振子振動系統(tǒng)周期由彈簧振子的勁度系數(shù)和振子質(zhì)量所決定，因此原振動周期為質(zhì)量所決定，因此原振動周期為當粘土落在物體上時，系統(tǒng)的振子質(zhì)量為當粘土落在物體上時，系統(tǒng)的振子質(zhì)量為 ，所以所以122mmTkk122mmTTk 12mm（2）當粘土落到物體上時，物體和粘土的運動狀）當粘土落到物體上時，物體和粘土的運動狀態(tài)可發(fā)生變化，可能引起振幅的變化態(tài)可發(fā)生變化，可能引起振幅的變化,物體和粘土為非彈性碰撞物體和粘土為非彈性碰撞在平衡位置處，系統(tǒng)水平方向動量守恒，設(shè)物體在平衡位置處，系統(tǒng)水平方向動量守恒，設(shè)物體 在平

22、衡位置時速度為在平衡位置時速度為 v 。則。則1m41112mvmmv則振動系統(tǒng)的最大速度則振動系統(tǒng)的最大速度112mvvmm 由此可計算振動系統(tǒng)的振幅，有關(guān)系式由此可計算振動系統(tǒng)的振幅，有關(guān)系式22121122kAmmv2112121()()2mmmvmm211121()2mmvmm2211122mvkA112mAAAmm420000 xAv若當粘土落在物體上時，物體正好在最大位移處，若當粘土落在物體上時，物體正好在最大位移處，由初始條件由初始條件即振幅不變！即振幅不變！2mhh1mAox1m43121122cos()cos()xxxAtAtcos()At221212212cos()AAAA

23、 A11221122sinsinarctancoscosAAAA同方向同頻率的兩簡諧振動的合成仍是簡諧振動，且頻率不變。同方向同頻率的兩簡諧振動的合成仍是簡諧振動，且頻率不變。一、同方向、同頻率簡諧振動的合成一、同方向、同頻率簡諧振動的合成12x2x1x12xxxOA1A2AtAAtAA sin)sinsin( cos)coscos(22112211cosAsinAcoscossinsin AtAt2A44txOA1A2A（a） =2k22221212122AAAA AAA212(0,1,2)kk 當相位差當相位差振動加強，同步振動加強，同步即分振動同相時，合振幅即分振動同相時，合振幅討論：討

24、論：當相位差為其它值時，當相位差為其它值時，A2A1AOxt（b） =(2k+1)當相位差當相位差2121(0,1,2)kk （ ）22221212122AAAA AAA振動減弱，反步振動減弱，反步即分振動反相時，合振幅即分振動反相時，合振幅1212AAAAA合振幅介于最大值和最小值之間合振幅介于最大值和最小值之間45例例 題題 1 1 兩個同方向、同頻率簡諧振動方程分別為兩個同方向、同頻率簡諧振動方程分別為10.4cos(3) ,3xtm20.3cos(3)6xtm求（求（1）合振動表達式）合振動表達式3130.5cos(3),?xtxx(2)若另一簡諧振動當 等于多少時的振幅最大解：本題可

25、用解析法和旋轉(zhuǎn)解：本題可用解析法和旋轉(zhuǎn)矢量法求出矢量法求出方法一方法一:由圖示旋轉(zhuǎn)矢量圖由圖示旋轉(zhuǎn)矢量圖1A2AAo36x461A2AAo36x122212,20.5AAAAAmt=0時刻,知 和 的夾角為則合振幅為0.123初相位0.5cos(30.12 )xt方法二方法二:221212211112211222cossinsin()coscosAAAA AAAtgAA可由和算出4713,xx(2)要使的合振幅最大12k1223(0, 1, 2,)kkk 1A3Ao3x48例例 題題 2 2 設(shè)有設(shè)有 N 個同方向、同頻率的簡諧運動，且振幅相個同方向、同頻率的簡諧運動，且振幅相等，相位差依次恒

26、為等，相位差依次恒為 ，即兩個同方向、同頻，即兩個同方向、同頻率簡諧運動方程分別為率簡諧運動方程分別為0AA0AR2N1cosxt2cosxt3cos2xtcos(1) NxtN其合成后仍為簡諧運動，求它們的合振動的振幅其合成后仍為簡諧運動，求它們的合振動的振幅和初相。和初相。49解：由旋轉(zhuǎn)矢量法求合成結(jié)果，圖解：由旋轉(zhuǎn)矢量法求合成結(jié)果，圖示，用多邊形法則計算合矢量。示，用多邊形法則計算合矢量。由幾何關(guān)系得合矢量大小由幾何關(guān)系得合矢量大小2sin2NAR02sin2AR0sin2sin2NAA112COPCOMN 得合振動的初相0sin12cossin2NNxAt合振動的表達式為（）0AA0A

27、R2NCoPMQR11(),()22COPCOMN50二、同方向不同頻率簡諧振動的合成二、同方向不同頻率簡諧振動的合成 拍拍1 1.兩個同方向不同頻率的簡諧振動合成不再是兩個同方向不同頻率的簡諧振動合成不再是簡諧振動。簡諧振動。xtOxtO51 2. 2.振幅初相相同、頻率非常接近的兩振動合成振幅初相相同、頻率非常接近的兩振動合成1212cos()cos()xxxAtAt21212coscos()22Att212可見，合振動的角頻率為可見，合振動的角頻率為 212cos2At振幅振幅 作緩慢的周期性變化作緩慢的周期性變化拍拍21拍頻拍頻: : tx1 2tx2 1 = 2 - 1 tx6.4.

28、1 6.4.1 機械波的形成與傳播機械波的形成與傳播6.4.2 6.4.2 平面簡諧波的表達式平面簡諧波的表達式 波動微分方程波動微分方程6.4.3 6.4.3 波的能量與能流波的能量與能流6.4.4 6.4.4 聲波聲波6.4.5 6.4.5 惠更斯原理惠更斯原理6.4.6 6.4.6 波的疊加原理波的疊加原理 波的干涉波的干涉6.4.7 6.4.7 駐波駐波 半波損失半波損失6.4.8 6.4.8 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng)54波動是自然界中一種重要且常見的物質(zhì)運動波動是自然界中一種重要且常見的物質(zhì)運動形式。形式。本章重點：本章重點：波動方程波動方程, 波的能量波的能量, 波的干涉波的干涉, 多

29、普勒公式多普勒公式振動的傳播過程稱為波動，簡稱波。振動的傳播過程稱為波動，簡稱波。機械波：機械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播機械波：機械振動在彈性媒質(zhì)中的傳播.(.(繩波繩波, 水波水波, , 聲波聲波, , 地震波地震波) )電磁波：變化電場和變化磁場在空間電磁波：變化電場和變化磁場在空間的傳播的傳播.(.(無線電波無線電波, ,光波等光波等) )物質(zhì)波：微觀粒子及一切物體所具有物質(zhì)波：微觀粒子及一切物體所具有的波動性的波動性. .波的分類波的分類1.1.按振動方向分按振動方向分: : 橫波橫波( (凹凸波凹凸波) )質(zhì)點的振動方向和波質(zhì)點的振動方向和波的傳播方向垂直的傳播方向垂直( (如如: :光

30、波光波););縱波縱波( (疏密波疏密波) )質(zhì)點的質(zhì)點的振動方向和波的傳播方向平行振動方向和波的傳播方向平行( (如如: :聲波聲波););垂直和垂直和平行的組合波平行的組合波: : 水波水波, ,質(zhì)點的軌跡為橢圓質(zhì)點的軌跡為橢圓 , , 地震地震波波) )2.2.按波陣面的形狀分按波陣面的形狀分: :平面、球面、柱面、橢球面平面、球面、柱面、橢球面 太陽光、白只燈、日光燈太陽光、白只燈、日光燈3.3.按頻率分：次聲波、聲波、超聲波、光波按頻率分：次聲波、聲波、超聲波、光波4.4.按波形運動分：行波、駐波（即按能量傳播）按波形運動分：行波、駐波（即按能量傳播）5.5.按自由度：一維、二維、三

31、維（按能量傳播方向的自按自由度：一維、二維、三維（按能量傳播方向的自由度）由度）6.6.按振動規(guī)律：簡諧波（也叫余弦波）按振動規(guī)律：簡諧波（也叫余弦波）、非簡諧波非簡諧波簡諧波是最簡單最重要的波，其他復(fù)雜的波是由簡諧波是最簡單最重要的波，其他復(fù)雜的波是由 簡諧波合成的簡諧波合成的一一. .機械波的形成機械波的形成波源波源和和彈性介質(zhì)彈性介質(zhì)是產(chǎn)生機械波的兩個必是產(chǎn)生機械波的兩個必須具備的條件。須具備的條件。1.1.產(chǎn)生：產(chǎn)生：彈性媒質(zhì)彈性媒質(zhì)振動、波形、能量振動、波形、能量機械波機械波橫波橫波縱波縱波振源的振動振源的振動2.2.特點：特點：（）繩子上各質(zhì)元在各自平衡位置往復(fù)振動，（）繩子上各質(zhì)

32、元在各自平衡位置往復(fù)振動，而質(zhì)元不沿波的傳播方向移動而質(zhì)元不沿波的傳播方向移動（）波動是振動狀態(tài)（相位）的傳播，沿波的（）波動是振動狀態(tài)（相位）的傳播，沿波的傳播方向各質(zhì)元的相位依次落后或者說沿波的傳傳播方向各質(zhì)元的相位依次落后或者說沿波的傳播方向上，后一質(zhì)元重復(fù)前一質(zhì)元的運動狀態(tài)播方向上，后一質(zhì)元重復(fù)前一質(zhì)元的運動狀態(tài)二二. .波的幾何描述波的幾何描述波陣面：在介質(zhì)中所有相位波陣面：在介質(zhì)中所有相位相同的點所連成的面。相同的點所連成的面。波線：代表波傳播方向的線。波線：代表波傳播方向的線。在各向同性的介質(zhì)中，波面在各向同性的介質(zhì)中，波面波線波線波面波面波前波前波線波線(a)球面波球面波(b)

33、平面波平面波波面波面波線波線波前波前波前波前某時刻波到達的各點連某時刻波到達的各點連成的面，即最前面的波面。成的面，即最前面的波面。uvT三三. .簡諧波的特征量簡諧波的特征量波速、波長和頻率的關(guān)系：波速、波長和頻率的關(guān)系：機械波的波速由介質(zhì)的彈性模量和密度決定。機械波的波速由介質(zhì)的彈性模量和密度決定。()()GuYu橫波縱波固體中的波速：固體中的波速：G為切變模量為切變模量Y為楊氏模量為楊氏模量在液體或氣體中只傳播縱波，波速為：在液體或氣體中只傳播縱波，波速為：BuB為容變彈性模量為容變彈性模量xxuPO設(shè)設(shè)O點的簡諧振動方程點的簡諧振動方程0cos()Atcos ()xAtu1.1.振動以

34、速度振動以速度u沿沿+ +x方向方向無衰減無衰減傳播：傳播：cos2()txATcos2()xAtP點的振動比點的振動比O落后落后xu代入上式得波動方程的其它形式：代入上式得波動方程的其它形式：22TuT將 =和cos(2)xAt一、平面簡諧波的表達式一、平面簡諧波的表達式波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義： 上式代表上式代表x處質(zhì)點在其平衡位置附近以角頻率處質(zhì)點在其平衡位置附近以角頻率 作作簡諧運動。簡諧運動。2cosxyAt即即x 一定一定：令：令x=x1，則質(zhì)點位移則質(zhì)點位移y 僅是時間僅是時間t 的函數(shù)。的函數(shù)。tyOA12cosxyAt即即 以以y為縱坐標、為縱坐標、x 為橫坐標，得到

35、一條余弦曲線，為橫坐標，得到一條余弦曲線，它是它是t1時刻波線上各個質(zhì)點偏離各自平衡位置的位移時刻波線上各個質(zhì)點偏離各自平衡位置的位移所構(gòu)成的波形曲線所構(gòu)成的波形曲線( (波形圖波形圖) )。xyAut 一定一定: :令令t=t1，則質(zhì)點位移則質(zhì)點位移y 僅是僅是x 的函數(shù)。的函數(shù)。yxuOyxuOt時刻時刻tt時刻時刻xx02cos()xyAt x、t 都變化都變化: : 波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運動情波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運動情況（況（行波行波）.),(),(xxttyxty由于由于2xfut得得111cos ()cos(2)xxAtAtu討論討論x軸上任意兩點軸上任意兩點x1 1和

36、和x2 2，平衡位置在這兩點處的平衡位置在這兩點處的質(zhì)元的振動方程分別為質(zhì)元的振動方程分別為222cos ()cos(2)xxAtAtu12()2xxx1 1和和x2 2處兩振動的相位差為處兩振動的相位差為122(0,1,2,)2xxkk (1)若兩點之間的距離為半波長的偶數(shù)倍時，即若兩點之間的距離為半波長的偶數(shù)倍時，即12()22kxx則此兩點振動同相，或說振動同步。此兩點振動同相，或說振動同步。12(21)(0,1,2,)2xxkk (2)若兩點之間的距離為半波長的奇數(shù)倍時，即若兩點之間的距離為半波長的奇數(shù)倍時，即12()22k+1)xx則 (此兩點振動反相，或說振動反步調(diào)。此兩點振動反相

37、，或說振動反步調(diào)。2.2.沿沿- -x方向無衰減傳播：方向無衰減傳播：cos ()xAtuP點的振動比點的振動比O超前超前xuxxuPO 10.4u 一個平面簡諧縱波在細長的金屬棒中傳播，速度一個平面簡諧縱波在細長的金屬棒中傳播，速度為為5 510103 3msms-1-1，頻率為，頻率為12.512.510103 3HzHz，波源的振幅為，波源的振幅為0.1mm0.1mm。設(shè)波源的初相為零，求（。設(shè)波源的初相為零，求（1 1）該平面波的波長）該平面波的波長；（；（2 2）波源的振動方程；（）波源的振動方程；（3 3）波動方程；（）波動方程；（4 4）離）離開波源開波源0.1m0.1m處的振動

38、方程。處的振動方程。解：解： 432coscos210cos 25 10)AtAtt（ 4333cos()10cos25 10()5 10 xxAttu 4330.14cos()10cos25 10()5 10 xAttu4310sin(25 10) t（m）（m）（m）（m）由波源的振動方程可得波動方程為0.06cos()92xtSI50.06 cos99tSI101059(2)229xu0.0609Am，0.06 cos()()9tSI12m s59 解解：（1 1）由點的振動方程）由點的振動方程 及，及，可得以為坐標原點的波動方程可得以為坐標原點的波動方程utAyAcoscos()xyA

39、tu所以，以所以，以B B點為坐標原點的波動方程點為坐標原點的波動方程（2 2）若以點為坐標原點，首先寫出點的振動方）若以點為坐標原點，首先寫出點的振動方程，因為程，因為B B點的相位比點的相位比A A點的相位超前點的相位超前 ，得點的，得點的振動方程振動方程ur0)cos(0urtAyB)(cos0uruxtAyx)(oAp0roxxB 已知平面簡諧波波線上某一點的振動方程，寫已知平面簡諧波波線上某一點的振動方程，寫出其波動方程出其波動方程.求求（）（）以以A A點為坐標原點，寫出波動方程點為坐標原點，寫出波動方程; ;tAyAcos設(shè)平面簡諧波的波速設(shè)平面簡諧波的波速 ，沿著，沿著oxox

40、軸正方向傳播，軸正方向傳播，在傳播的路徑上在傳播的路徑上A A點的振動方程為點的振動方程為ux)(oAp0roxxB（2 2）以距點為的點為坐標原點，寫出波動）以距點為的點為坐標原點，寫出波動方程方程. .0r 另一方法是：在另一方法是：在 ox ox 軸上任一點與已知振動軸上任一點與已知振動點相距為，且點相距為，且 ，則得波動方程為，則得波動方程為0rxrcos()ryAtu0cos()rxAtuux)(oACDp0rroxxB結(jié)果相同！結(jié)果相同！0cos()xrAtu0cos ()rxAtuu 如圖所示為一平面簡諧波在如圖所示為一平面簡諧波在t=0t=0時刻的波時刻的波形圖，設(shè)此簡諧波的頻

41、率為形圖，設(shè)此簡諧波的頻率為250Hz250Hz，且此時質(zhì)，且此時質(zhì)點點P P的運動方向向下，求的運動方向向下，求（1 1）該波的波動方程；）該波的波動方程；（2 2）在距原點）在距原點O O為為100m100m處質(zhì)點的振動方程與振處質(zhì)點的振動方程與振動速度表達式。動速度表達式。 解：解：02/2cossin0AAvA 4O處振動方程為：處振動方程為： 0cos(500)4At（1）由）由P點的運動方向，可判定該波向左傳播，點的運動方向，可判定該波向左傳播，對原點對原點O處質(zhì)點，處質(zhì)點，t=0時，有時，有 cos2 (250)()2004xAtSI波動方程為：波動方程為： （2）距）距O點點1

42、00m處質(zhì)點振動方程是處質(zhì)點振動方程是15cos(500)()4AtSI振動速度為振動速度為 5500sin(500) ()4vAtSI 二、波動微分方程二、波動微分方程用波動方程分別對用波動方程分別對x和和t求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù)cos ()xAtu2222cos ()xAtxuu 得222cos ()xAttu 及222221xut比較兩個偏導(dǎo)數(shù)可得比較兩個偏導(dǎo)數(shù)可得cos ()xAtuVtx1. 波動方程為波動方程為 的平面簡諧波，的平面簡諧波，在密度為在密度為 的介質(zhì)中傳播時，在任意坐標的介質(zhì)中傳播時，在任意坐標 處處取體積元取體積元 ，在時刻，在時刻 的動能和勢能的動能和勢能相等相

43、等，均為均為一一. .波的能量波的能量 222kp1sin()2xEEVAtu總機械能總機械能: : 222kpsin()xEEEVAtu 總 可見：體積元可見：體積元 中的動能中的動能 和勢能和勢能 及總及總機械能機械能 都隨時間作周期性的同相變化；都隨時間作周期性的同相變化；波動波動傳播的過程實際上是能量傳播的過程傳播的過程實際上是能量傳播的過程。 VkEpEE總6.4.3 波的能量和能流波的能量和能流2.能量密度：介質(zhì)單位體積中波的能量。能量密度：介質(zhì)單位體積中波的能量。222sin()ExwAtVu總3.3.平均能量密度：一個周期內(nèi)能量密度的平均值平均能量密度：一個周期內(nèi)能量密度的平均

44、值 220d12Tw twAT單位單位: :Jm-3-3 二二. .能流密度能流密度（波的強度）：（波的強度）：ISxut2212SEw Su tASu t * *在在 時間內(nèi)通過垂面時間內(nèi)通過垂面 的能的能量量 等于體積等于體積 中的能量中的能量tSSESu t2212SEPASut* *單位：單位：W1.1.平均能流：單位時間內(nèi)垂直通過某一面積平均能流：單位時間內(nèi)垂直通過某一面積的平均能量的平均能量wSu2.2.能流密度能流密度（波的強度）：（波的強度）：ISxut2212SEw Su tASu t * *在在 時間內(nèi)通過垂面時間內(nèi)通過垂面 的能的能量量 等于體積等于體積 中的能量中的能量

45、tSSESu t2212SEPIuASS t * *單位：單位：Wm-2 * *單位時間內(nèi)通過垂直于波傳播方向單位面積的平單位時間內(nèi)通過垂直于波傳播方向單位面積的平均能量均能量, , 即單位面積的平均能流。即單位面積的平均能流。* *波的能量隨著波動的進行在介質(zhì)中以波速波的能量隨著波動的進行在介質(zhì)中以波速 向周向周圍傳播。圍傳播。 uwu( (記記!)!) 一平面簡諧波，頻率為一平面簡諧波，頻率為300HZ300HZ，波速為，波速為340ms340ms-1-1，在截面面積為在截面面積為3.003.001010-2-2m m的管內(nèi)空氣中傳播的管內(nèi)空氣中傳播, ,若在若在10s10s內(nèi)通過截面的能

46、量為內(nèi)通過截面的能量為2.72.71010-2-2J J，求，求（1 1）通過截面的平均能流；）通過截面的平均能流；（2 2）波的平均能流密度；）波的平均能流密度；（3 3）波的平均能量密度。）波的平均能量密度。解：解：21312.7 10(1)2.7 1010WPJ sJ st31221222.7 10(2)9.00 103.00 10PIJ s mJ s mS22429.00 10(3)2.65 10340IwJ mJ mu 有一聲源的頻率為有一聲源的頻率為10001000Hz，在空氣中，在空氣中P點的聲波強度為點的聲波強度為1.591.5910105 5Wm-2-2，已知空氣，已知空氣的

47、密度為的密度為1.291.29kgm-3，波速為，波速為344344ms-1-1, ,求求P P點點的振幅和平均能量密度。的振幅和平均能量密度。2212IuA解：根據(jù)波的強度公式解：根據(jù)波的強度公式 ，可得，可得 3224.3 10 mIAu 2231462J m2IwAu三、波的吸收三、波的吸收1.1.平面波平面波的吸收衰減：的吸收衰減：ddII x其中：其中：吸收系數(shù)吸收系數(shù)與介質(zhì)的密度、黏性系數(shù)、波與介質(zhì)的密度、黏性系數(shù)、波速、波的頻率有關(guān)。速、波的頻率有關(guān)。 平面波在均勻介質(zhì)中傳播，通過厚度為平面波在均勻介質(zhì)中傳播，通過厚度為dx 的介的介質(zhì)后減少的強度質(zhì)后減少的強度dI與入射波的強度

48、與入射波的強度I 以及和所以及和所通過的厚度通過的厚度dx 成正比。成正比。0exII 00ddIxIIxI II0dxx2.2.球面波球面波的傳播衰減：的傳播衰減： 不考慮介質(zhì)的吸收、散射等原因，球面波因不考慮介質(zhì)的吸收、散射等原因，球面波因其波陣面隨傳播的距離增大而擴大，使得通過其波陣面隨傳播的距離增大而擴大，使得通過單位面積的能量與面積反比例減少，從而引起單位面積的能量與面積反比例減少，從而引起波的強度減弱。波的強度減弱。 1122I SI S12221244IRIR212221IRIR221,2IAu1222222212114422AuRAuR1221ARAR222kp1sin()2x

49、EEVAtu平均能量密度平均能量密度220d12Tw twAT2212SEPASut平均能流平均能流能流密度能流密度（波的強度）：（波的強度）：2212SEPIuASS twu平面波平面波的吸收衰減的吸收衰減0exII球面波球面波的傳播衰減的傳播衰減212221IRIR1221ARAR惠更斯原理惠更斯原理：介質(zhì)中波前上各點都可以看作是新的波：介質(zhì)中波前上各點都可以看作是新的波源，這些波源發(fā)出子波，子波的包絡(luò)面就是新的波前源，這些波源發(fā)出子波，子波的包絡(luò)面就是新的波前.內(nèi)容的理解：內(nèi)容的理解：子波概念子波概念 波面上任一點都是新的振源波面上任一點都是新的振源 發(fā)出的波叫子波發(fā)出的波叫子波子波面的

50、包絡(luò)線子波面的包絡(luò)線新波面新波面 t 時刻各子波波面的公共切面（包絡(luò)面）時刻各子波波面的公共切面（包絡(luò)面）就是該就是該時刻的新波面時刻的新波面作用：作用：已知一波面就可求出任意時刻的波面已知一波面就可求出任意時刻的波面t+ t時刻波面時刻波面u t波傳播方向波傳播方向t 時刻波面時刻波面 t + tt 在各向同性在各向同性介質(zhì)中傳播介質(zhì)中傳播例：例：u利用惠更斯原理可以解釋衍射、反射、折射等波的利用惠更斯原理可以解釋衍射、反射、折射等波的傳播現(xiàn)象傳播現(xiàn)象1.原理給出：原理給出：一切波動都具有衍射現(xiàn)象一切波動都具有衍射現(xiàn)象衍射衍射偏離原來直線傳播的方向偏離原來直線傳播的方向 所以：所以：衍射是波

51、動的判據(jù)衍射是波動的判據(jù)一一. .波的疊加原理波的疊加原理 1S2S121.波的獨立傳播原理波的獨立傳播原理各振源在介質(zhì)中獨立地激起與各振源在介質(zhì)中獨立地激起與自己頻率相同的波自己頻率相同的波每列波傳播的情況與其他波不每列波傳播的情況與其他波不存在時一樣存在時一樣實際例子實際例子: :紅綠光束交叉紅綠光束交叉 樂隊演奏樂隊演奏 空中無線電波等空中無線電波等波的獨立傳播原理：波的獨立傳播原理：有幾列波同時在媒質(zhì)有幾列波同時在媒質(zhì)中傳播時中傳播時, , 它們的傳它們的傳播特性（波長、頻率播特性（波長、頻率、波速、波形）不會、波速、波形）不會因其它波的存在而發(fā)因其它波的存在而發(fā)生影響生影響. .趣稱

52、：趣稱：和平共處和平共處細雨綿綿細雨綿綿獨立傳播獨立傳播2. 疊加原理疊加原理 在各波的相遇區(qū)在各波的相遇區(qū), 各點的振動是各點的振動是 各列波單獨在此激起的振動的合成各列波單獨在此激起的振動的合成1S2SP21P線性疊加線性疊加滿足線性波動方程滿足線性波動方程相應(yīng)的介質(zhì)叫線性介質(zhì)相應(yīng)的介質(zhì)叫線性介質(zhì)只有各波都較弱時才滿足線性疊加只有各波都較弱時才滿足線性疊加波的疊加原理：波的疊加原理：概而言之：概而言之：獨立傳播，矢量疊加獨立傳播，矢量疊加。 幾列波在同一介質(zhì)中傳播時，無論是否相遇，幾列波在同一介質(zhì)中傳播時，無論是否相遇，都保持原有特性都保持原有特性( (如頻率、波長、振動方向等如頻率、波長

53、、振動方向等) )，各自按原傳播方向繼續(xù)前進，不受其他波的影響各自按原傳播方向繼續(xù)前進，不受其他波的影響；在相遇處任一質(zhì)點的位移是各波在該點所引起；在相遇處任一質(zhì)點的位移是各波在該點所引起位移的矢量和。位移的矢量和。 二二. . 波的干涉波的干涉 相干條件相干條件在波的疊加區(qū)域中各點合振動強弱形成穩(wěn)在波的疊加區(qū)域中各點合振動強弱形成穩(wěn)定分布的現(xiàn)象定分布的現(xiàn)象, , 稱為稱為波的干涉現(xiàn)象波的干涉現(xiàn)象得到干涉所要求的條件叫得到干涉所要求的條件叫相干條件相干條件滿足相干條件的滿足相干條件的波波 叫叫相干波相干波 波源叫波源叫相干波源相干波源 疊加叫疊加叫相干疊加相干疊加1.相干條件相干條件:參與疊加

54、的波必須參與疊加的波必須頻率相同（簡稱同頻率）頻率相同（簡稱同頻率）在確定的相遇點各分振動的在確定的相遇點各分振動的 振動方向相同（簡稱同方向）振動方向相同（簡稱同方向） 相位差恒定（簡稱相差恒定）相位差恒定（簡稱相差恒定）PO1O2r1 r22.2.波場中的強度分布波場中的強度分布質(zhì)點質(zhì)點P同時參與兩波源傳來的振動同時參與兩波源傳來的振動12112222cos()cos()rrAtAt111cos()OOAt222cos()OOAt波源的振動：波源的振動：12112222cos()cos()rrAtAtcos()At2212122cos()AAAA A其中：其中：212122()()rrtt

55、12212()rr波源的相位差波源的相位差 波程差波程差 12112212112222sin()sin()arctan22cos()cos()rrAArrAA2 (0,1,2,)kk12AAA(21)(0,1,2,)kk12AAA干涉加強干涉加強干涉減弱干涉減弱由于在波場中確定點有確定的相位差由于在波場中確定點有確定的相位差所以每一點都有確定的所以每一點都有確定的 A從而在波場中形成了穩(wěn)定的強度分布從而在波場中形成了穩(wěn)定的強度分布干涉的特點干涉的特點: :強度分布穩(wěn)定強度分布穩(wěn)定2212IAAA12AA如如果果1max4II21AAA12min0AAI如如果果O1O2最最大大最最小小最最大大最

56、最小小最最大大水波盤中水波的干涉水波盤中水波的干涉21212rr12所以所謂相位差恒定就是波源初相差恒定所以所謂相位差恒定就是波源初相差恒定實際波：波源振一次發(fā)出一列波實際波：波源振一次發(fā)出一列波實現(xiàn)干涉的實現(xiàn)干涉的艱難艱難任務(wù)是實現(xiàn)初相差恒定任務(wù)是實現(xiàn)初相差恒定在確定的場點在確定的場點P )(12rr 確定確定干涉結(jié)果取決于干涉結(jié)果取決于波源的初相差波源的初相差討論討論1）關(guān)于相位差恒定）關(guān)于相位差恒定12AAA21(2)21(1),1m 1 、 21 、 221m2112212rr121(2.52)0.52rrmm而12AAA2.52221一一. .相干波源：相干波源： 頻率相同、振動方向

57、相同、振幅相同、頻率相同、振動方向相同、振幅相同、傳播方向相反傳播方向相反 二二. .駐波表達式：駐波表達式：cos()cos()xxAtAtcccos2 ()cos2 ()txtxAATT2 cos2cos2xtAT從一特例導(dǎo)出，其它情況導(dǎo)出的方程形從一特例導(dǎo)出，其它情況導(dǎo)出的方程形式略有不同式略有不同2At = 00 x0t = T/8xx0t = T/20 xt = T/4波波節(jié)節(jié)波波腹腹/4- -/4x02A-2A/2xt = 3T/80各質(zhì)點都作同頻率的簡諧振動各質(zhì)點都作同頻率的簡諧振動。2 cos2xA各質(zhì)點的振幅不同各質(zhì)點的振幅不同2A2A，波腹，波腹0 0，波節(jié)，波節(jié)2(0,1

58、,2)4xkk(21)(0,1,2)4xkk相鄰兩波節(jié)（或波腹）空間間隔都是相鄰兩波節(jié)（或波腹）空間間隔都是2駐波特點：駐波特點：2 cos2cos xAt相位：相位：2 cos2cos xAt 駐波是分段的振動，設(shè)兩相鄰波節(jié)間為一段。駐波是分段的振動，設(shè)兩相鄰波節(jié)間為一段。相位中沒有相位中沒有x 坐標坐標， 故相位并不傳播故相位并不傳播駐波。駐波。t cos 相鄰兩段中各點振動相位相反。相鄰兩段中各點振動相位相反。（為什么？）（為什么？）因為，相鄰兩段的因為，相鄰兩段的 必一正一負。必一正一負。2cos2 xA同一段中各點振動相位相同；同一段中各點振動相位相同；能量：能量：總能流密度為總能流

59、密度為0， 沒有能量的傳播。沒有能量的傳播。但是，在同一段中波腹波節(jié)質(zhì)元之間有能量但是，在同一段中波腹波節(jié)質(zhì)元之間有能量的流動；有動能勢能之間的轉(zhuǎn)化。的流動；有動能勢能之間的轉(zhuǎn)化。三三. .兩端固定的弦中的駐波兩端固定的弦中的駐波 只有弦長正好等于半波長的整數(shù)倍時只有弦長正好等于半波長的整數(shù)倍時, 振振動才能在弦中顯著激發(fā)起來動才能在弦中顯著激發(fā)起來2,(1,2,3)2nnllnnn即,uT是弦中的波速是弦中的張力是弦的線密度如琴弦上的駐波如琴弦上的駐波(1,2,3)2nnunlTu管弦樂都利用了駐波原理。管弦樂都利用了駐波原理。 由振動頻率為由振動頻率為400HZ400HZ的音叉在兩端固定拉

60、緊的弦的音叉在兩端固定拉緊的弦線上建立駐波，這個駐波共有三個波腹，其振幅為線上建立駐波，這個駐波共有三個波腹，其振幅為0.30cm0.30cm，波在弦上的速度為，波在弦上的速度為320320ms-1-1。（。（1 1）求此弦）求此弦線的長度。（線的長度。（2 2）若以弦線中點為坐標原點，試寫出）若以弦線中點為坐標原點，試寫出駐波的方程式。駐波的方程式。 解：解：(1)u由30.81.22Lm得(2) 弦的中點是波腹弦的中點是波腹, 故故323 10cos()cos(800)()0.8xytSI 式中式中可可 由初始條件來選擇。由初始條件來選擇。32L 又由3200.8400umm得從駐波實驗知