數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)指導(dǎo)作用

1、分類號 O171 單位代碼 密 級 學(xué) 號 學(xué)生畢業(yè)論文題 目數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用作 者院 (系)數(shù)學(xué)系專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師答辯日期 2014年5月4日 榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文I摘摘要要數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)隨著數(shù)學(xué)改革的不斷進(jìn)行與發(fā)展，中學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)分析方面的知識在高考中所占得比例越來越大本文通過探討數(shù)學(xué)分析與中學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)系，著重論述數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)、幾何、代數(shù)等方面的應(yīng)用，以大量詳實的習(xí)題、范例為依據(jù)，分析不同方法的解題效果，從而說明數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)意義和作用關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想；數(shù)學(xué)方法IIABSTRCTMathema

2、tics is the study of space form and quantity relationshipWith the ongoing development of mathematics reform，the proportion of the mathematical analysis knowledge included middle school math in the university entrance exam is becoming increasing largerBy discussing the relationship between mathematic

3、al analysis with the middle school mathematics，this thesis focuses on the application of mathematical analysis in functions， geometry ， algebra in middle school mathematicsAt the same time with a large number of detailed examples， as the basis and analysis of effect of different methods of problem s

4、olving，the guiding significance and function of mathematical analysis to middle school mathematics is illustrated Key words: Mathematical analysis; Middle school mathematics;Mathematical thinking;Mathematical methods 榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文III目目 錄錄摘要.IABSTRCT.II目 錄.III1 引 言.12中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系.22.1中學(xué)數(shù)學(xué).22.2數(shù)學(xué)分析.22.3中

5、學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系.22.4數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的指導(dǎo)作用.33數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.43.1函數(shù)方面應(yīng)用.43.1.1 函數(shù)單調(diào)性和極限.43.1.2解三角函數(shù).53.1.3函數(shù)極值和最值.73.2幾何方面應(yīng)用.83.2.1曲邊圖形的面積、體積、弧長.83.2.2切線方程和相交問題.103.3代數(shù)方面的應(yīng)用.123.3.1證明代數(shù)式.123.3.2解不等式.143.3.3 解方程和證明恒等式.164高考中有關(guān)問題的解決.185小結(jié).22參考文獻(xiàn).23致 謝.24數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用01 引引 言言數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中所發(fā)揮的重大作用，越來越受到老師和學(xué)生的關(guān)注通過大學(xué)數(shù)

6、學(xué)分析的學(xué)習(xí)與深入，我們了解到數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中具有非常重要的指導(dǎo)意義在數(shù)學(xué)高速發(fā)展時期，數(shù)學(xué)分析的思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)的過程中占有舉足輕重的地位因此，本文通過具體實例說明數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)具有切實的指導(dǎo)意義和指導(dǎo)作用從而為學(xué)生找到一種簡便易行的方法去解決中學(xué)數(shù)學(xué)的一些問題，讓大家更加深入的了解數(shù)學(xué)分析的重要作用榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文12中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系2.1中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)時期我們所學(xué)的數(shù)學(xué)主要是常量數(shù)學(xué)，其次也包括變量數(shù)學(xué)的一些初步知識中學(xué)數(shù)學(xué)一般可以分為兩個層次：表層知識和深層知識表層知識包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識和基

7、本技能，深層知識主要指的是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法它的教學(xué)內(nèi)容大致可分為代數(shù)、幾何、微積分、概率統(tǒng)計、算法等幾個部分中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方法，除了有觀察、實驗、歸納、類比、分析、綜合、抽象、概括等理論方法外，還有邏輯推理、證明方法、以及化歸、遞推、等價轉(zhuǎn)化、推廣與限定等數(shù)學(xué)思想方法2.2數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析主要是以變量及變量之間的函數(shù)依賴關(guān)系作為研究對象的，并以微積分學(xué)和無窮級數(shù)為主要內(nèi)容，是一個較為完整的數(shù)學(xué)學(xué)科數(shù)學(xué)分析除了體現(xiàn)其嚴(yán)密的邏輯體系外，也反映了現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的發(fā)展趨勢，它吸收和采用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想觀點與處理方法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力數(shù)學(xué)分析的發(fā)展由微積分開始，并擴(kuò)展到函數(shù)的連

8、續(xù)、可微及可積等各種特性了解這些特性，有助于我們對物理世界的研究及對自然界規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，從而更好的去改造我們的生活，也為未來的發(fā)展奠定基礎(chǔ)2.32.3中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系中學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析的關(guān)系數(shù)學(xué)分析是初等數(shù)學(xué)發(fā)展到一定階段的必然產(chǎn)物，數(shù)學(xué)分析的形成扎根于初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上它的一些基本概念如導(dǎo)數(shù)、積分、無窮級數(shù)的收斂等都是在初等數(shù)學(xué)有關(guān)問題的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的導(dǎo)數(shù)是在用代數(shù)運算求直線斜率這一問題的基礎(chǔ)上發(fā)展成為用極限方法求曲線上某點的切線斜率而形成的，積分是在用代數(shù)運算求直線所圍成的平面圖形面積的基礎(chǔ)上發(fā)展成為用極限方法求曲線所圍成的面積而形成的，無窮級數(shù)求和則是在用代數(shù)運算求有限項之和的基礎(chǔ)

9、上發(fā)展成數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用2為求無限項之和而形成的從這些新概念的發(fā)展過程看都是為了解決初等代數(shù)、初等幾何不能解決的問題，由此可以看出，數(shù)學(xué)分析是在實踐中為了解決初等數(shù)學(xué)不能解決的問題而長期逐步發(fā)展起來的，從數(shù)學(xué)分析和中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看二者也是緊密聯(lián)系的2.42.4數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的指導(dǎo)作用數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的指導(dǎo)作用數(shù)學(xué)分析講求的是一種嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯性思維，解題具有很強(qiáng)的技巧性與靈活性數(shù)學(xué)分析思想對于提高個人的判斷和處事能力有很好的幫助，它是對數(shù)學(xué)及其研究對象以及各種數(shù)學(xué)概念、定理、法則、范例、數(shù)學(xué)方法等的根本性認(rèn)識數(shù)學(xué)分析對于中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)有著很好的指導(dǎo)作用在中學(xué)數(shù)學(xué)教

10、學(xué)中，數(shù)學(xué)分析思想方法有以下幾個指導(dǎo)作用：首先，可以有效地幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀念和優(yōu)秀的數(shù)學(xué)精神，是落實素質(zhì)教育的有效途徑；其次，可以提高教師的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平，恰當(dāng)?shù)匕盐罩袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要求的程度；最后，數(shù)學(xué)分析中的知識和方法可以用來檢驗學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)所犯的某些錯誤，對學(xué)生的發(fā)展也有很大的幫助榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文33數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用數(shù)學(xué)分析在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1函數(shù)方面應(yīng)用函數(shù)方面應(yīng)用函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)很重要的教學(xué)內(nèi)容，求函數(shù)的極值、極限、最值等很多知識都要用到數(shù)學(xué)分析方面的知識3.1.1 函數(shù)單調(diào)性和極限函數(shù)單調(diào)性和極限例 1 已知，求函數(shù)的單調(diào)性31( )3f xxx( )f x

11、解 ，=，31( )3f xxx2( )1fxx11xx所以，當(dāng)時，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減；1,1x ( )0fx1,1當(dāng)時，此時函數(shù)在和上單調(diào)遞增(, 1)(1,)x ( )0fx(, 1) 1,例 2 已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍13)(23xxaxxfRa解 ，因為在上是減函數(shù)，所以在上恒2( )361fxaxx)(xfR0)( xfR成立，所以且，即且所以0 0a 01236aa0a 3a 例 3 已知數(shù)列，都是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比分別為，nanbp其中，且，設(shè)，為數(shù)列的前 n 項和，求極qqp 1p 1q nnnbacnsnc限1limnnssn解 1) 1(1) 1(11

12、qqbppasnnn，) 1)(1() 1)(1() 1)(1() 1)(1(1111111nnnnnnqpbpqaqpbpqass下面分兩種情況討論求值:（1）當(dāng)時，由已知得，故則1p0 qp10pq數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用4nlim) 1)(1() 1)(1() 1)(1() 1)(1(1111111nnnnnnqpbpqaqpbpqass )1)(1()11)(1()1)(1()11)(1(lim111111111nnnnnnnnnnnppqpbpqapppqpbpqap 0) 1()01)(1(0) 1()01)(1(1111pbqapbqappqaqap) 1() 1(11（2）

13、當(dāng)時，由已知得則1p10pq111111(1)(1)(1)(1)limlim(1)(0 1)(1) (1)nnnnnnnsa qpb pqsa qb pq1111(1)(0 1)(1) (0 1)(1)(0 1)(1) (0 1)a qb pa qb p111111111a qbpa qbp3.1.2解三角函數(shù)解三角函數(shù)例 1 已知函數(shù)，求的值xarcxxfcotarctan)()(xf解 因為對，有Rx，01111)cot(arctan22xxxarcx所以（ 為常數(shù)）cxarcxcotarctanc為了確定 的值，令，有c0 x20cot0arctancarc即 2f x例 2 已知函數(shù)求

14、：22( )sin2sin cos3cos,f xxxxx xR（1）函數(shù)的最大值及取得最大值的自變量的集合；( )f xx（2）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間( )f x榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文5解（1）方法一 因為1 cos23(1 cos2 )( )sin222xxf xx ，2sin2cos222sin(2)4xxx所以當(dāng)，即時，取得最大值2242xk8xkkZ( )f x22因此取得最大值的自變量的集合是( )f xx|,8x xkkZ方法二 因為 222( )(sincos)sin22cosf xxxxx =1 sin21 cos2xx 22sin(2)4x所以當(dāng)，即時，取得最大值，2242xk8x

15、kkZ( )f x22因此取得最大值的自變量的集合是( )f xx|,8x xkkZ（2）方法一 ，由題意得( )22sin(2)4f xx222()242kxkkZ即32()848kxkkZ那么函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為( )f x3,88kk()kZ方法二 ，故( )22sin(2)4f xx( )2 2cos(2)4fxx求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，即只需，故有，則有( )f x( )0fx2 2cos(2)04x 222()242kxkkZ因此3()88kxkkZ函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為( )f x3,88kk()kZ數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用63.1.3函數(shù)極值和最值函數(shù)極值和最值例 1 已知在時取得極

16、值，且)0(31)(23acxbxaxxf1x 32) 1 (f（1）試求常數(shù)、 的值；abc（2）試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說明理由1x 解 （1），2( )2fxaxbxc因為是函數(shù)的極值點，1x 所以是方程，即的根，1x ( )0fx220axbxc即有 2131010fff 12332020abcabcabc 將上面三式聯(lián)立求得1, 0, 1cba（2）因為，所以3( )f xxx2( )1(1)(1)fxxxx 而又當(dāng)時，；當(dāng)時，1,1xx ( )0fx11x ( )0fx所以函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減數(shù) f x, 1 1,1,1所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值；1x 11f 當(dāng)時

17、，函數(shù)取得極小值1x 11f 注 1 利用導(dǎo)數(shù)這一工具，我們很容易解決了一元三次函數(shù)的極值問題例 2 已知函數(shù)，求函22( )(0,)af xxxaRx22( )(0,)af xxxaRx數(shù)在的上的最小值( )f x1,)解 ， 222afxxx1x （1）當(dāng)時，在上恒成立，那么在上單調(diào)遞1a ( )0fx1,)( )f x1,)增所以的最小值為( )f x 112fa （2）當(dāng)時，若，; ;若恒成立因為在1a 1x 0fx1,( )0 xfx( )f x榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文7上單調(diào)遞增，所以在時，取得最小值 1, + )( )f x1x 112fa （3）當(dāng)時，令，得，且在上，；在1a (

18、)0fx3xa31,a( )0fx上，3,a( )0fx因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增( )f x31,a3,a所以在處取得最小值，且( )f x3xa3233min32( )()3af xfaaaa綜上所述，當(dāng)時，在上的最小值為; 1a ( )f x1,x12a當(dāng)時，在上的最小值為1a ( )f x1,x323 a3.2幾何方面應(yīng)用幾何方面應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)課本只是簡單的給出了我們一些基本的幾何公式、定理，而沒有給出具體的證明過程，數(shù)學(xué)分析為此提供了理論依據(jù)和證明方法，能讓學(xué)生對這些知識更加深入的理解和記憶3.2.1曲邊圖形的面積、體積、弧長曲邊圖形的面積、體積、弧長1 由連續(xù)曲線，以及直線和軸所

19、圍曲邊梯形( )( 0)yf x,()xa xb abx的面積為：，如果在上不都是非負(fù)的，( )baAf x dx( )f x, a b則( )baAf x dx2 由兩條連續(xù)曲線與以及兩直線與所圍成2( )yfx1( )yf xxa()xb ab圖形的面積為：12( )( )baSf xfx dx3 設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，是由平面圖形繞軸f, a b0( ) ,yf xaxbx一周所得旋轉(zhuǎn)體，易知截面面積函數(shù)為則旋轉(zhuǎn)體的2( )( ) ,A xfxxa b體積為：2( )( )bbaaVA x dxf xdx4 設(shè)平面曲線由參數(shù)方程，構(gòu)成，若為一光滑曲線且C( )yf x,xa bC數(shù)學(xué)分析對中

20、學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用8可求長，則的弧長為C21( )basfx dx5 設(shè)平面光滑曲線的方程為，（不妨設(shè)） 則這C( )yf x,xa b( )0f x 段曲線繞旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)曲面的面積為：x22( ) 1( )baSf xfx dx例 1 求由橢球面所圍立體（橢球）的體積2222221xyzabc解 以平面截橢球面，得橢圓（它在平面上的正投影）：)(00axxxyOz1)1 ()1 (2202222022axczaxby所以截面面積函數(shù)為：22( )(1),(, )xA xbcxa aa 于是求得橢球體積為：224(1)3aaxVbcdxabca于是顯然當(dāng)時，這時等于球的體積rcba334r

21、例 2 已知函數(shù)，求兩函數(shù)在區(qū)間上所圍成3212( )41,( )22f xxfxx2,3的不規(guī)則圖形的面積解 如果用不規(guī)則圖形算還要進(jìn)行分割求和很麻煩，但我們可以用積分的形算就很快得出結(jié)論：12( )( )baSf xfx dx 3322(41)(22)xxdx3322(421)xxdx 433()|2xxx47例 3 求與所圍成的圖形的面積223xyyx榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文9解 先求其交點的橫坐標(biāo)，解方程組，得，在223xyyx11x 23x 內(nèi)由，所以1,32322xx 2313()22xSxdx 23313|262xxx163例 4 求曲線由到的弧長229(3 )ayx xa0 x 3

22、xa解 用公式，且曲線關(guān)于軸對稱，21baly dxx故有曲線在區(qū)間內(nèi)的弧長為： 2223220(43)2136axaxaldxa y230(1)24aadxax4 3a例 5 求曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所得曲面的面積,0,1yx xx解 用公式，所以2=21baSyy dx側(cè)120121 ()2Sxdxx側(cè)102412xxdxx31202(41) |4 3xA5 516數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用103.2.2切線方程和相交問題切線方程和相交問題例 1 求雙曲線的漸近線方程14922yx解 雙曲線方程可化為，漸近線的斜率為：2293yx ， 22923limlimlim3xxxxf xyaxxx 在軸上

23、的截距：y，22limlim(9)03xxbyaxxx故所求漸進(jìn)線方程為23yx 例 2 已知曲線：及點，求過點的曲線的切線Sxxxy43223)0 , 0(PPS方程解 設(shè)過點的切線與曲線切于點，則過點的曲線的切線斜PS),(00yxQPS0200224x xkyxx 又，所以00PQyKx 00020422xyxx因為點在曲線上，所以QS 320000243yxxx 將代入得002030020432422xxxxxx化簡得3200403xx所以或00 x034x 榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文11若則過點的切線方程為；, 00 x, 4kPxy4若則，過點的切線方程為,430 x358k P358y

24、x例 3 雙曲線與拋物線，相交，求的取221:241Cxy22:Cyxb(1)x b值范圍解 與相交等價于方程組有實數(shù)解，聯(lián)立可得1C2C222241(1)xyxyxb ，224410(0)xxbx 解出，21124bxx將視為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)易知當(dāng)時，此函數(shù)為增函數(shù)，故bx1x ，1131244b 由此可受到啟發(fā)，尋求到該題的初等解法，即通過配方法，213(1)24bx易見時此函數(shù)為增函數(shù)，故所以的取值范圍為1x min3,4b b3,)43.3代數(shù)方面的應(yīng)用代數(shù)方面的應(yīng)用代數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)好數(shù)學(xué)首先要學(xué)好代數(shù)，數(shù)學(xué)分析為中學(xué)代數(shù)中的一些問題提供了解題方法和思路，中學(xué)代數(shù)方面的問題用數(shù)

25、學(xué)分析的知識往往會使解題更加簡單明了3.3.1證明代數(shù)式證明代數(shù)式例 1 設(shè)，都是正數(shù)，且，判斷代數(shù)式的正負(fù), ,x y z1xyz1118xyz解 判斷 11180 xyz由知:1xyz=111xyz111xyzxyz數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用12 222222111xyzxyz 由施瓦茲不等式知: 222222111xyzxyz =92111xyzxyz21 1 1 故而，因此為正111810 xyz 1118xyz例 2 已知其中求證：，并指出與22,5,AaBaa2a 0BAA的大小關(guān)系B證明 法一 =2(5)(2)BAaaa223aa(2)a 令，則，故當(dāng)時，因此函數(shù)2( )23f

26、 aaa( )22faa2a ( )0fa在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)則有，因此有( )f a( )(2)4430f af，因此0BABA法二 2(5)(2)BAaaa223aa=2(1)2a(2)a 當(dāng)時恒大于零， 故，因此2a 2(1)2a0BABA例 3 已知矩形紙片中，將矩形ABCD6ABcm12ADcm紙片的右下角折起，使該角的頂點落在矩形的邊上，且折痕BADMN的兩端點，、分別位于邊、上，設(shè) MNABBC,MNBMNl（1）試將 表示成的函數(shù)； l（2）求 的最小值 l解 （1）如圖所示，則=，902APMMBsinlPABCDMN榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文13sinsin 90AMl 由題

27、設(shè)得+=6，從而得sinlsinsin 902l6sinsinsin 902l 6sinsincos223sincos（2）設(shè)，則有，即，sint231utttt 3utt 04，21 3ut 令，得0u 33t 當(dāng)時，；當(dāng)時，33t 0u 33t 0u所以當(dāng)時，33t max3132 333 39u那么min39 322 39l3.3.2解不等式解不等式例 1 解不等式1312xx 解 原不等式的定義域為，令，那么1,3 1312f xxx 的兩個根為 0f x 1231311,188xx 由此可分為三個區(qū)間：，12331313131( 1,1),(1,1),(1,3)8888III ，取，

28、 1312f xxx 1,2301,2III數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用14可得：，從而原不等式的解集為(0)0,(1)0,(2)0fff311,18這是一個解不等式的問題，若采用中學(xué)數(shù)學(xué)的常規(guī)方法，就是兩邊同時開方，當(dāng)這樣做很可能導(dǎo)致開平方后，要進(jìn)行討論，所以比較復(fù)雜而上述先把不等式轉(zhuǎn)化成方程，然后構(gòu)造一個函數(shù)，再利用數(shù)學(xué)分析中介質(zhì)性定理來確定區(qū)間，就很容易解決了例 2 設(shè)，并且 nxaxaxaxfnsin.2sinsin21為常數(shù)求證： xxfsinnaaa,211221nnaaa證明 因為，所以，即 xxfsin xxxxfsinxxxnxaxxaxxansinsin2sinsin21上

29、述兩邊令，根據(jù)重要極限，則0 x0sinlim1xxx1221naana例3 已知，求證x0ln(1)1xxxx證明 令，( )ln(1)f xx 11fxx由在上滿足拉格朗日中值定理，故 使( )f x0 x，0,bx ， ( )(0)0f xffbx=即 1ln(1)1xbx(0)bx由知，那么0bx11111xb1ln(1)11xxx再由知得證x0ln(1)1xxxx例 4 如果都是正數(shù)，那么, ,a b c3333abcabc證明 設(shè)則，333( )3,0,.f xxabxabx 233fxxab令，在內(nèi)，求得駐點( )0fx0,xab榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文15所以當(dāng)函數(shù)在處有極小值，極

30、小值是( )f xxab 3333fababab abab 332aab abb 3330ab由于在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)只有一個極值點，因此極小值就是它的0,( )f x最小值，于是對于上的任何值恒有0,x， 23333330f xxabxabab取，得所以0 xc33330cabcab3333abcabc3.3.3 解方程和證明恒等式解方程和證明恒等式例 1 解方程01555223xxx分析 此題若按三次方程的求解相當(dāng)困難，若將“”看做“未知數(shù)” ， x5x看作常數(shù)，則是一個關(guān)于“”的“一元二次方程” 5解 原方程整理為，判別式 0) 1(5) 12(5322xxx，0) 12() 1(4122

31、322xxxx故方程有兩個根根據(jù)二次方程解得求根公式， 故原方程的0 x1-5152xxxx或解為123512 52512 5215,22xxx 若將本題中的換成字母則可將方程看作由 與兩個“變量”所確定的5axa隱函數(shù)，求 是將表示為的函數(shù)，自然也可將表示為的函數(shù)從而很容易解xxaax決本題這是非常好的一種解題思路從中學(xué)數(shù)學(xué)的角度看，本題可以看作是函數(shù)與反函數(shù)的應(yīng)用例 2 證明：4cos44cos238sinxxx數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用16證明 法一 令4( )cos44cos23 8sinf xxxx 3( )4sin48sin28 4sincosfxxxxx =28sin228si

32、n216sinsin20 xcos xxxx即為一個常數(shù)取特值令，則( )f x0 x (0)0f xf故有，即4cos44cos23 8sin0 xxx 4cos44cos238sinxxx法二 4cos44cos23 8sinxxx =2222cos 21 4cos232(2sin)xxx =222cos 24cos222(1 cos2 )xxx =222cos 21 4cos232(1 cos2 )xxx =222cos 24cos222(1 2cos2cos 2 )xxxx = 222cos 24cos2224cos22cos 2 )xxxx0則得證4cos44cos238sinxxx

33、例3 已知，求證1x 212212xarctgxarctgx證明 當(dāng)是，由知x1212021xarctgxarctgx（待定常數(shù)） 21221xarctgxarctgcx令，,c/ 2x 則，212212xarctgxarctgx ,1x 榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文174高考中有關(guān)問題的解決高考中有關(guān)問題的解決例 1（2006 陜西卷）設(shè)函數(shù)32( )31,(0)f xkxxk（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；( )f x（2）若函數(shù)的極小值大于，求的取值范圍( )f x0k解 （1）函數(shù)，故當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)為，所以2( )36fxkxx0k ( )6fxx 的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為( )f x,00)當(dāng)時，

34、0k 22( )363()fxkxxkx xk令，解得或當(dāng)變化時，的變化情況如下表：( )0fx0 x 2xkx( ),( )f xfxx(,0)02(0,)k2k2(,)k( )fx+0-0+( )f x增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為( )f x,02,k20,k（2）當(dāng)時，函數(shù)不存在極小值；當(dāng)時，由上題知在取0k ( )f x0k 2xk極小值，即，由條件，所以的取值范圍為222212( )10fkkk 24k 0k k(2,)例 2 設(shè)，點是函數(shù)和的圖像的一個公0t ( ,0)P t3( )f xxax2( )g xbxc共點，兩函數(shù)的圖像在點處有相

35、同的切線P（1）用 表示；t, ,a b c（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求 的取值范圍 yf xg x1,3t解（1）因為函數(shù)和的圖像都經(jīng)過，所以，( )f x g x,0t( )0f t 0g t 即，因為，所以，30tat20btc0t 2at cab數(shù)學(xué)分析對中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用18又因為函數(shù)和的在處有相同的切線，所以而( )f x g x,0t( )( )f tg t，所以將代入上式得，因此2( )3,( )2fxxa g xbx232tabt2at bt有故3,cabt 23,3atbt ct (2)，3223( )( )yf xg xxt xtxt2232(3)()yxtxtxtxt

36、因為函數(shù)在（-1，3）上單調(diào)遞減，且是開口向上( )( )yf xg x(3)()yxtxt 的拋物線，所以13|0|0 xxyy即( 3)( 1)0(9)(3)0tttt 解得或所以 的取值范圍是9t 3t t(,0)3,)例 3 （2006 年福建文） 已知是二次函數(shù)，不等式的解集是)(xf0)(xf，)5 , 0(且在區(qū)間的最大值是 12)(xf4 , 1(1)求的解析式；)(xf(2)是否存在自然數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有m037)(xxf 1,mm兩個不等的實根？若存在，求出所有的值；若不存在說明理由m解 （1）因為是二次函數(shù)，且的解集是，可設(shè)( )f x0)(xf)5 , 0()0)(5()(axaxxf而函數(shù)在區(qū)間的最大值是由已知得故)(xf4 , 1( 1)6fa612,a 2a 所以2( )2 (5)210 ()f xx xxx xR（2）方程等價于方程，設(shè)037)(xxf)0(03710223xxx，則32( )21037h xxx2( )6202 (310)h xxxxx榆林學(xué)院本科畢業(yè)論文19當(dāng)時，是減函數(shù)；當(dāng)時，)310, 0(x, 0)( xh)(xh),310(x0)( xh是增函數(shù))(xh因為，101(3)10, ()0, (4)50327hhh 所以方程在區(qū)間內(nèi)分別有唯一實根，而在區(qū)間，0)(xh1010(3,),