空間向量知識點

1、空間向量知識點1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）。 ;運算律：加法交換律：加法結(jié)合律：數(shù)乘分配律：3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，平行于，記作。當(dāng)我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。（2）共線向量定理：空間任意兩個向量、（）

2、，/存在實數(shù)，使。4. 空間向量的直角坐標(biāo)系： （1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任一點，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，有序?qū)崝?shù)組叫作向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，叫橫坐標(biāo)，叫縱坐標(biāo)，叫豎坐標(biāo)。（2）空間向量的直角坐標(biāo)運算律：若，則， ， 。若，則。一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)。（4）模長公式：若，則，（5）夾角公式：。（6）兩點間的距離公式：若，則，或 5. 空間向量的數(shù)量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：。（2）向量

3、的模：設(shè)，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：。（3）向量的數(shù)量積：已知向量，則叫做的數(shù)量積，記作，即。（4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：。（5）空間向量數(shù)量積運算律：。（交換律）。（分配律）。要點考向1：利用空間向量證明空間位置關(guān)系例1 已知四棱錐的底面為直角梯形，底面，且，是的中點 （）證明：面面；（）求與所成的角；（）求面與面所成二面角的大小 要點考向2：利用空間向量求線線角、線面角（1）異面直線所成角設(shè)分別為異面直線的方向向量，則（2）線面角設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則2運用空間向量坐標(biāo)運算求空間角的一般步驟為：（1）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)（2）求出相關(guān)點的坐標(biāo)（3）寫出向量

4、坐標(biāo)（4）結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算（5）轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論例2：（遼寧高考理科19）已知三棱錐PABC中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.（）證明：CMSN；（）求SN與平面CMN所成角的大小.要點考向3：利用空間向量求二面角其計算公式為：設(shè)分別為平面的法向量，則與互補(bǔ)或相等， 例3：（2010天津高考理科9）如圖，在長方體中，、分別是棱,上的點，,（1） 求異面直線與所成角的余弦值；（2） 證明平面（3） 求二面角的正弦值。 要點考向4：利用空間向量求點面距求點面距： （為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）。4 如圖所示的多面體

5、是由底面為的長方體被截面所截面而得到的，其中 （）求的長； （）求點到平面的距離 考情聚焦：立體幾何中已知結(jié)論尋求結(jié)論成立的條件（或是否存在問題），能較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力和空間想象能力，是今后考查的重點，也能很好地體現(xiàn)新課標(biāo)高考的特點。例4：（2010福建高考理科18）如圖，圓柱OO1內(nèi)有一個三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑。（I）證明：平面A1ACC1平面B1BCC1；（II）設(shè)ABAA1,在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點，記該點取自三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為p。（i）當(dāng)點C在圓周上運動時，求p的最大值；（ii）記平面A1ACC1

6、與平面B1OC所成的角為（）。當(dāng)p取最大值時，求cos的值。【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想?！舅悸伏c撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計算出幾何概率。立體幾何中我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角：有異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等。關(guān)于角的計算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角。對于空間向量，有，利用這一結(jié)論，

7、我們可以較方便地處理立體幾何中的角的問題?！疽?guī)范解答】 （I）平面，平面，又是的直徑，又，平面，而平面，所以平面平面；（II）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時取得最大值。又因為點在圓周上運動，所以當(dāng)時，的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為； （ii）由（i）知，取最大值時，于是，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面，是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，由于，所以平面的一個法向量為，?！痉椒记伞苛Ⅲw幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（II）（i）也可

8、以采用向量法進(jìn)行證明：以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)圓柱的底面半徑為， ，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1,的體積為，所以，所以當(dāng)取得最大值時取得最大值。，所以當(dāng)時的的面積最大，進(jìn)而，三棱柱ABC-A1B1C1,的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；【高考真題探究】 1. （2010廣東高考理科0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件=-2,則= .【命題立意】本題考察空間向量的坐標(biāo)運算及向量的數(shù)量積運算.【思路點撥】 先算出、，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出【規(guī)范解答】，由得，即，解得【答案】22. （2010浙江高考理科20）

9、如圖， 在矩形中，點分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值；（）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長。 【命題立意】本題主要考察空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和運算求解能力。 【思路點撥】方法一利用相應(yīng)的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題。 【規(guī)范解答】方法一：（）取線段EF的中點H，連結(jié)，因為=及H是EF的中點，所以,又因為平面平面.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則（2，2，），C（10，8，0），F(xiàn)（4，0，0），D（10，0

10、，0）. 故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個法向量，所以。取，則。又平面的一個法向量，故。所以二面角的余弦值為（）設(shè)，則， 因為翻折后，與重合，所以， 故， ，得， 所以。3. （2010陜西高考理科8）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB=2， BC=，E，F(xiàn)分別是AD,PC的中點.（）證明：PC平面BEF；（）求平面BEF與平面BAP夾角的大小?！久}立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直、以及二面角的求解問題，考查了同學(xué)們的空間想象能力以及空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧?！舅悸伏c撥】

11、思路一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.【規(guī)范解答】解法一 （）如圖，以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AP所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.AP=AB=2， BC=，四邊形ABCD是矩形.A，B，C，D的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, ,0)，D(0，0)，P(0,0,2)又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點，E(0，0),F(1，1).=（2，-2）=（-1，1）=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，PCBF,PCEF, ,PC平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP 的法向量 設(shè)平面BEF與平面BAP的

12、夾角為，則， 平面BEF與平面BAP的夾角為4. （2010重慶高考文科20）如題圖，四棱錐中，底面為矩形，點是棱的中點. （I）證明：；（II）若，求二面角的平面角的余弦值.【命題立意】本小題考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，考查余弦定理及其應(yīng)用，考查空間向量的基礎(chǔ)知識和在立體幾何中的應(yīng)用，考查空間想象能力，推理論證能力，運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合的思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.【思路點撥】（1）通過證明線線垂直證明結(jié)論：線面垂直，（II）作出二面角的平面角，再利用三角函數(shù)、余弦定理等知識求余弦值.或建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算證明垂直和求出有關(guān)角的三角函數(shù)值.【規(guī)范解答】（

13、I）以為坐標(biāo)原點，射線分別為軸、軸、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.設(shè)設(shè)，則，。于是，則，所以，故.（II）設(shè)平面BEC的法向量為，由（）知，故可取.設(shè)平面DEC的法向量，則，由，得D，G，從而，故，所以，可取，則，從而.【方法技巧】（1）用幾何法推理證明、計算求解；（2）空間向量坐標(biāo)法，通過向量的坐標(biāo)運算解題.5. （2010江西高考文科）如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直線與平面所成的角的大?。唬?）求平面與平面所成的二面角的正弦值. 【命題立意】本題主要考查空間幾何體的線線、線面與面面垂直關(guān)系及平行關(guān)系，考查空間線面角、二面角的問題以及有關(guān)的計算問題，

14、考查空間向量的坐標(biāo)運算，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查考生的空間想象能力、推理論證能力、劃歸轉(zhuǎn)化能力和運算求解能力。 【思路點撥】本題主要有兩種方法，法一：幾何法（1）直接找出線面角，然后求解；（2）對二面角的求法思路， 一般是分三步“作”，“證”，“求”. 其中“作”是關(guān)鍵， “證”是難點.法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.【規(guī)范解答】取CD中點O，連OB，OM，則OBCD，OMCD，又平面平面,則MO平面.以O(shè)為原點，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖.OB=OM=，則各點坐標(biāo)分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0）

15、，A（0，-，2），（1）設(shè)直線AM與平面BCD所成的角為.因（0，），平面的法向量為.則有，所以.（2），.設(shè)平面ACM的法向量為，由得.解得，取.又平面BCD的法向量為，則設(shè)所求二面角為，則.6. （2010四川高考理科18）已知正方體的棱長為1，點是棱的中點，點是對角線的中點.（）求證：為異面直線和的公垂線；（）求二面角的大?。唬ǎ┣笕忮F的體積.【命題立意】本題主要考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體、三棱錐體積等基礎(chǔ)知識，并考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.【思路點撥】方法一：幾何法 問題（），分別證明，即可. 問題（I

16、I）首先利用三垂線定理，作出二面角的平面角， 然后通過平面角所在的直角三角形，求出平面角的一個三角函數(shù)值，便可解決問題.問題（）選擇便于計算的底面和高，觀察圖形可知，和都在平面內(nèi)，且，故，利用三棱錐的體積公式很快求出.方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的法向量求解.【規(guī)范解答】(方法一)：（I）連結(jié).取的中點，則為的中點，連結(jié). 點是棱的中點，點是的中點， 由，得.，. .又與異面直線和都相交， 故為異面直線和的公垂線，（II）取的中點，連結(jié)，則，過點 過點作于，連結(jié)，則由三垂線定理得，.為二面角的平面角.在中.故二面角的大小為.（III）易知，,且和都在平面內(nèi)，點到平面的距離，.(方

17、法二)：以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則，（I） 點是棱的中點，點是的中點， , ，, ,. ,又與異面直線和都相交， 故為異面直線和的公垂線，（II）設(shè)平面的一個法向量為，.即 取，則. 取平面的一個法向量.，由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的大小為.（III）易知，設(shè)平面的一個法向量為， , 即取，則，從而.點到平面的距離.【跟蹤模擬訓(xùn)練】一、選擇題(每小題6分，共36分)1.已知點A（-3,1,-4），則點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為( )(A)（-3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)2.在正三棱柱ABCA1B1C1

18、中，D是AC的中點，AB1BC1，則平面DBC1與平面CBC1所成的角為( )(A)30 (B)45 (C)60 (D)903. 設(shè)動直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點，則的最大值為（ ） A B C2 D34. 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)，沿軸把坐標(biāo)平面折成的二面角后，的長為（ ）A B C D5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角BACD，則四面體ABCD的外接球的體積為（ ）ABCD6. 如圖：在平行六面體中，為與的交點。若，則下列向量中與相等的向量是（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空題（每小題6分，共18分）7，是空間交于同一點的互相垂直的三條直線

19、，點到這三條直線的距離分別為,，則,則_ _。8平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB、AD、AA1兩兩之間夾角均為600，則= 9將正方形沿對角線折成直二面角后，有下列四個結(jié)論：（1）； （2）是等邊三角形；（3）與平面成60 ；（4）與所成的角為60其中正確結(jié)論的序號為_（填上所有正確結(jié)論的序號）三、解答題（共46分）10. 如圖，在四棱錐PABCD中，底面是邊長為 2的菱形，BAD=60，對角線AC與BD相交于點O，,E、F分別是BC、AP的中點 （1）求證：EF平面PCD； （2）求二面角ABPD的余弦值 11. 某組合體由直三棱柱與正三棱錐組成

20、，如圖所示，其中，它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積分別為+1，+1（1）求直線與平面所成角的正弦；（2）在線段上是否存在點，使平面，若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由12. 如圖，三棱柱中，面，,，為的中點。 (I)求證：面；()求二面角的余弦值參考答案1【解析】選A.點A關(guān)于x軸對稱點的規(guī)律是在x軸上的坐標(biāo)不變，在y軸，z軸上的坐標(biāo)分別變?yōu)橄喾磾?shù)，點A（-3，1，-4）關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為（-3,-1,4）.2【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點，AC、AA1分別為y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)底面邊長為2a.側(cè)棱長為2b.3D 4D 5C 6A 764 83 9（1）（2）（4）10解：（1）證明：取PD的中點G，連接FG、CG FG是PAD的中衛(wèi)縣，F(xiàn)G，在菱形ABCD中，ADBC，又E為BC的中點，CEFG，四邊形EFGC是平行四邊形，EFCG又EF面PCD，CG面PCD，EF面PCD （2）法1：以O(shè)為原點，OB，OC，OP所在直線分別為、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。則0（0，0，0），A（0，0），B（1，0，0）（0，0，）=（1，0）=（0，）設(shè)面ABP的發(fā)向量為，則，即即取 又，OA面PBD，為面PBD的發(fā)向量，=（0，0） .所以所求二面角的余弦值為 法2：在菱形ABCD中，ACBD，OP面ABCD，AC面ABCD，ACOP，OPBD=0，AC面PB