一種難找的珍珠魅力無窮的完全數(shù)

1、一種難找的珍珠魅力無窮的完全數(shù)公元前 3 世紀(jì)時，古希臘數(shù)學(xué)家對數(shù)字情有獨鐘。他們在對數(shù)的因數(shù)分解中，發(fā)現(xiàn)了一些奇妙的性質(zhì)，如有的數(shù)的真因數(shù)之和彼此相等，于是誕生了親和數(shù)；而有的真因數(shù)之和居然等于自身，于是發(fā)現(xiàn)了完全數(shù)。6 是人們最先認(rèn)識的完全數(shù)。發(fā)現(xiàn)完全數(shù)研究數(shù)字的先師畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)6 的真因數(shù) 1、2、 3 之和還等于 6，他十分感興趣地說：“6象征著完滿的婚姻以及健康和美麗，因為它的部分是完整的，并且其和等于自身?！惫畔ＥD哲學(xué)家柏拉圖在他的共和國一書中提出了完全數(shù)的概念。約公元前 300 年，幾何大師歐幾里得在他的巨著 幾何原本第九章最后一個命題首次給出了尋找完全數(shù)的方法，被譽為歐幾里得

2、定理： “如果 2n1 是一個素數(shù)， 那么自然數(shù) 2n-1 一定是一個完全數(shù)?！辈⒔o出了證明。公元 1 世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成員、古希臘著名數(shù)學(xué)家尼可馬修斯在他的數(shù)論專著算術(shù)入門一書中，正確地給出了6、28、496、8128 這四個完全數(shù)，并且通俗地復(fù)述了歐幾里得尋找完全數(shù)的定理及其證明。他還將自然數(shù)劃分為三類：富裕數(shù)、不足數(shù)和完全數(shù)，其意義分別是小于、大于和等于所有真因數(shù)之和。第 1頁千年跨一步完全數(shù)在古希臘誕生后，吸引著眾多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者像淘金般去尋找?？墒?，一代又一代人付出了無數(shù)的心血，第五個完全數(shù)沒人找到。后來，由于歐洲不斷進(jìn)行戰(zhàn)爭，希臘、羅馬科學(xué)逐漸衰退，一些優(yōu)秀的科學(xué)家?guī)е麄?/p>

3、的成果和智慧紛紛逃往阿拉伯、印度、意大利等國，從此，希臘、羅馬文明一蹶不振。直到 1202 年才出現(xiàn)一線曙光。意大利的斐波那契，青年時隨父游歷古代文明的希臘、埃及、阿拉伯等地區(qū)，學(xué)到了不少數(shù)學(xué)知識。他才華橫溢，回國后潛心研究所搜集的數(shù)學(xué)，寫出了名著算盤書 ，成為 13 世紀(jì)在歐洲傳播東方文化和系統(tǒng)將東方數(shù)學(xué)介紹到西方的第一個人，并且成為西方文藝復(fù)興前夜的數(shù)學(xué)啟明星。斐波那契沒有放過完全數(shù)的研究，他經(jīng)過推算宣布找到了一個尋找完全數(shù)的有效法則，可惜沒有人共鳴，成為過眼煙云。光陰似箭， 1460 年，還當(dāng)人們迷惘之際，有人偶然發(fā)現(xiàn)在一位無名氏的手稿中，竟神秘地給出了第五個完全數(shù)33550336。這比

4、起第四個完全數(shù)8128 大了 4000 多倍?？缍热绱酥螅谟嬎懵浜蟮墓糯上氚l(fā)現(xiàn)者之艱辛了，但是，手稿里沒有說明他用什么方法得到的，又沒有公布自己的姓名，這更使人迷惑不解了。發(fā)現(xiàn)非一帆風(fēng)順第 2頁在無名氏成果鼓勵下，15 至 19 世紀(jì)是研究完全數(shù)不平凡的日子，其中17 世紀(jì)出現(xiàn)了小高潮。16 世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家塔塔利亞小時曾被法國入侵者用刀砍傷舌頭，落下了口吃的疾患，后來靠自學(xué)成為一位著名數(shù)學(xué)家。他研究發(fā)現(xiàn)： 當(dāng) n 2 和 n=3 至 39 的奇數(shù)時， 2n-1(2n-1)是完全數(shù)。17 世紀(jì)“神數(shù)術(shù)”大師龐格斯在一本洋洋700 頁的巨著數(shù)的玄學(xué)中，一口氣列出了28 個所謂“完全數(shù)”，他

5、是在塔塔利亞給出的20 個的基礎(chǔ)上補充了8 個?？上扇硕紱]有給出證明和運算過程，后人發(fā)現(xiàn)其中有許多是錯誤的。1603 年，數(shù)學(xué)家克特迪歷盡艱辛，終于證明了無名氏手稿中第五個完全數(shù)是正確的，同時他還正確地發(fā)現(xiàn)了第六個和第七個完全數(shù)216(217-1) 和 218(219-1) ，但他又錯誤地認(rèn)為222(223-1) 、228（ 229-1 ）和 236（237-1 ）也是完全數(shù)。這三個數(shù)后來被大數(shù)學(xué)家費爾馬和歐拉否定了。1644 年，法國神甫兼大數(shù)學(xué)家梅森指出，龐格斯給出的28個“完全數(shù)”中，只有 8 個是正確的，即當(dāng) n2，3，5，7，13，17， 19， 31 時， 2n-1(2n-1)

6、是完全數(shù)，同時又增加了 n 67， 127 和 257。在未證明的情況下他武斷地說：當(dāng)n257 時，只有這11 個完全數(shù)。這就是著名的“梅森猜測”。“梅森猜測”吸引了許多人的研究，哥德巴赫認(rèn)為是對的；第 3頁微積分發(fā)現(xiàn)者之一的德國萊布尼茲也認(rèn)為是對的。他們低估了完全數(shù)的難度。1730 年，被稱為世界四大數(shù)學(xué)家雄獅之一的歐拉，時年23 歲，正值風(fēng)華茂盛。他出手不凡，給出了一個出色的定理：“每一個偶完全數(shù)都是形如2n-1(2n-1)的自然數(shù)，其中n 是素數(shù)， 2n-1 也是素數(shù)”，并給出了他一直沒有發(fā)表的證明。這是歐幾里得定理的逆定理。有了歐幾里得與歐拉兩個互逆定理，公式 2n-1(2n-1)成為

7、判斷一個偶數(shù)是不是完全數(shù)的充要條件了。歐拉研究“梅森猜測”后指出：“我冒險斷言：每一個小于50 的素數(shù)，甚至小于100 的素數(shù)使 2n-1(2n-1)是完全數(shù)的僅有 n 取 2，3，5，7，13，17，19，31，41，47，我從一個優(yōu)美的定理出發(fā)得到了這些結(jié)果，我自信它們具有真實性?！?772 年，歐拉因過度拼命研究雙目已經(jīng)失明了，但他仍未停止研究，他在致瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾的一封信中說：“我已經(jīng)心算證明n31 時， 230(231-1) 是第 8 個完全數(shù)。”同時，他發(fā)現(xiàn)他過去認(rèn)為n=41 和 n47 時是完全數(shù)是錯誤的。歐拉定理和他發(fā)現(xiàn)的第8 個完全數(shù)的方法，使完全數(shù)的研究發(fā)生了深刻變化，

8、可是，人們?nèi)圆荒軓氐捉鉀Q“梅森猜測”。1876 年，法國數(shù)學(xué)家魯卡斯創(chuàng)立了一種檢驗素數(shù)的新方法，證明 n 127 時確實是一個完全數(shù)，這使“梅森猜測”之一變成事實，魯卡斯的新方法給研究完全數(shù)者帶來生機，同時第 4頁也動搖了“梅森猜測”。因數(shù)學(xué)家借助他的方法發(fā)現(xiàn)猜測中n 67，n 257 時不是完全數(shù)。在以后 1883 1931 年的 48 年間，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)“梅森猜測”中 n257 范圍內(nèi)漏掉了n 61，89， 107 時的三個完全數(shù)。至此，人們前仆后繼，不斷另辟新路徑，創(chuàng)造新方法，用筆算紙錄，耗時二千多年，共找到12 個完全數(shù)，即n 2， 3，5，7，13， 17，19，31，61， 89，1

9、07，127 時， 2n-1(2n-1)是完全數(shù)。笛卡爾曾公開預(yù)言：“能找出完全數(shù)是不會多的，好比人類一樣，要找一個完全人亦非易事?！睔v史證實了他的預(yù)言。從 1952 年開始，人們借助高性能計算機發(fā)現(xiàn)完全數(shù)，至 1985年才找到18 個，多么可憐！等待揭穿之謎迄今為止，發(fā)現(xiàn)的30 個完全數(shù)，統(tǒng)統(tǒng)都是偶數(shù)，于是，數(shù)學(xué)家提出猜測：存不存在奇數(shù)完全數(shù)。1633 年 11 月，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾給梅森一封信中，首次開創(chuàng)奇數(shù)完全數(shù)的研究，他認(rèn)為每一奇完全數(shù)必具有PQ2的形式，其中 P 是素數(shù)，并聲稱不久他會找到，可不僅直到他死時未能找到，而且至今，沒有任何一個數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一個奇完全數(shù)。它成為世界數(shù)論又一大難

10、題。雖然，誰也不知道它們是否存在，但經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)家第 5頁研究 算，有一點是明確的。那就是如果存在一個奇完全數(shù)的 ，那么它一定是非常大的。有多大呢？ 的不 ，當(dāng)代大數(shù)學(xué)家奧 1018 以下自然數(shù)，沒有一個奇完全數(shù)； 1967 年，塔克曼宣布， 如果奇完全數(shù)存在， 它必 大于 1036， 是一個 37 位數(shù)； 1972 年，有人 明它必大于 1050； 1982年，有人 明，它必 大于 10120； 種 于捉摸的奇完全數(shù)也 可能有，但它 在太大，以至超出了人 能 用 算機 算的范 了。 奇完全數(shù)是否存在， 生如此多的估 ，也是數(shù)學(xué)界的一大奇 ！關(guān)于完全數(shù) 有 多待揭之 ，比如：完全數(shù)之 有什么關(guān)系？完全數(shù)是有限 是無 多個？存在不存在奇完全數(shù)？人 完全數(shù)的一個奇妙 象，把一個完全數(shù)的各位數(shù)字加起來得到一個數(shù)，再把 個數(shù)的各位數(shù)字加起來，又得到一個數(shù)， 一直 做下去， 果一定是 1。例如， 于 28，2