(完整版)初中數(shù)學(xué)一元二次方程知識點總結(jié)與練習(xí)

1、知識點總結(jié)：一元二次方程知識框架知識點、概念總結(jié)1. 一元二次方程：方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。2. 一元二次方程有四個特點：(1) 含有一個未知數(shù)；(2) 且未知數(shù)次數(shù)最高次數(shù)是2 ；(3) 是整式方程。要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理。如果能整理為 ax2+bx+c=0(a豐0)的形式，則這個方程就為一元二次方程；將方程化為一般形式：ax2+bx+c=0 時，應(yīng)滿足(a豐0);3. 一元二次方程的一般形式 ：一般地，任何一個關(guān)于x 的一元二次方程，經(jīng)過整理，？都能化成如下

2、形式 ax2+bx+c=0(0)。一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0 (a* 0)后，其中 ax2是二次項，a 是二次項系數(shù)；bx 是一次項，b 是一次項系數(shù)；c 是常數(shù)項。4. 一元二次方程的解法(1) 直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如(X a)2b的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，x a是 b 的平方根，當(dāng)b 0時，x a. b,x a. b，當(dāng) b0時，方程沒有實數(shù)根。ix4-i + =0數(shù)學(xué)問題實莓問題升平壽補式法數(shù)學(xué)問題的琳實際問題的答秦(2) 配方法x配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元

3、二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。配方法的理論根據(jù)是完全平方公式a22ab b2(a b)2，把公式中的a 看做未知數(shù) x，并用 x 代替，則有x22bx b2(x b)2。配方法解一元二次方程的一般步驟：現(xiàn)將已知方程化為一般形式；化二次項系數(shù)為 1；常數(shù)項移到右邊；方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；變形為(x+p)2=q 的形式，如果 q0,方程的根是 x=-pVq；如果 qv0,方程無實根.(3) 公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。一元二次方程ax2bx c 0(a0)的求根公式：b、b24

4、ac2x(b 4ac 0)2a(4) 因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。5. 一元二次方程根的判別式2 2 2根的判別式：一元二次方程ax bx c 0(a 0)中，b4ac叫做一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根的判別式，通常用“ ”來表示，即b24ac6. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系bc如果方程ax bx c 0(a 0)的兩個實數(shù)根是, x2，那么論x2,XM2。也就是說，對于任何一個aa有實數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項 除以二次項系

5、數(shù)所得的商。7. 分式方程分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。8. 分式方程的一般解法解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。它的一般解法是：(1) 去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母(2) 解所得的整式方程(3) 驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)該舍去；若不等于零，就是原方程的根。知識點 1只含有一個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的最高次數(shù)是2 的整式方程叫一元二次方程。例題：x1、判別下列方程是不是一元一次方程，是的打，不是的打“X”，并說明理由(1)2x2-x-3=0.-y2=0.4(3) t2=0.x3-x2=1.x2-2y-1=0.(6)-g -3=0.(2)

6、 配方法：要先把二次項系數(shù)化為1，然后方程兩變同時加上一次項系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全平方式,x23x =2.(8)(x+2)(x-2)=(x+1)2(9)3x2-44+6=0.(10)3x2=x-3.x41、若關(guān)于 x 的方程 a(x 1) =2x 2 疋兀 1 次方程，則 a 的值是()(A) 2(B) 2(C) 0(D)不等于 2項系數(shù)，c是常數(shù)項。特別警示：(1) “a 0”是一元二次方程的一般形式的一個重要組成部分；(2)二次項系數(shù)、是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項系數(shù)時，必須先將方程化為一般形式。知識點三一元二次方程的解使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，

7、叫方程的解。例題：21、已知方程3x 9x m 0的一個根是 1,則 m 的值是_22、設(shè)a是一元二次方程x 5x0的較大根，b是x3x 20較小根，那么a b的值是()(A) -4(B) -3(C) 1(D) 223、已知關(guān)于x的一元二次方程xkx 2 0 x的一個解與方程13的解相同。x 1(1) 求k的值；2(2)求方程x kx 2 0的另一個解。知識點四一元二次方程的解法一元二次方程的四種解法：2、已知關(guān)于x的方程m1 x23x時，方程為一次方程；當(dāng)時，兩根中有一個為零a。3、已知關(guān)于x的方程m(1) m 為何值時方程為元一次方程;(2) m 為何值時方程為一元二次方程。知識點二一元二

8、次方程的一般形式元二次方程的一般形式是：ax2bx20，其中ax是二次項，a叫二次項系數(shù);bx是一次項，b叫一次一次項系數(shù)及常數(shù)項都2(1) 直接開平方法：如果x2k k 0，則x右邊是非負(fù)常數(shù)的形式，然后用直接開平方法求解;（3） 公式法：一元二次方程ax2bx c 0 a 0的求根公式是x -b24ac 0；2a（4） 因式分解法：如果x a x b 0則x1a,x2b。溫馨提示：一元二次方程四種解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的頻率最高，在具體應(yīng)用時，要注意選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ń狻＠}：解方程：1、解下列方程：(1) 2.3 y22.3 y（2）12x 1丄x 132（3）（x 3)2

9、2x523 y26y 22y 2知識點五一元二次方程根的判別式對于一元二次方程ax2bx c 0 a 0的根的判別式是b24ac:（1） 當(dāng)b24ac 0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2） 當(dāng)b24ac 0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；（3） 當(dāng)b24ac 0時，方程無實數(shù)根。溫馨提示：若方程有實數(shù)根，則有b24ac 0。例題：21、 已知方程x 3x k 0有兩個不相等的實數(shù)根，則k= _ 。22、當(dāng) m 滿足何條件時，方程mx 2 m 1 x 9m 10有兩個不相等實根？有兩個相等實根？有實根？22 23、關(guān)于x的方程mx 2 m 2 x m 50無實根，試解關(guān)于x的方程m5x 2 m 2

10、 x m 0。24、已知關(guān)于x的一元二次方程x 4 m 1 x 2m 1 0，求證：不論 m 為任何實數(shù)，總有兩個不相等的實數(shù)根。知識點六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系溫馨提示：利用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，一元二次方程必須有實數(shù)根。例題:（D）不存在0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足 -1，則 m 的(D) -3 或 1m,n 滿足m26m 4, n26n 4，貝 U mn 的值為2px q 0的兩個根，X11,X21是關(guān)于X的一元二次方程X qx p 0的兩個根，則p,q的值分別等于多少?知識點七一元二次方程的實際應(yīng)用列一兀二方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列方程（4）解方程（5

11、）檢驗（6）寫出答案。在檢驗時，應(yīng)從方程本身和實際問題兩個方面進行檢驗。1、有一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字大3，而此兩位數(shù)比這兩個數(shù)字之積的二倍多5,求這個兩位數(shù)。( )33(A)1或(B)1(C)442、已知，X的一元二.次方程X2m23 x m是關(guān)于值是()(A) 3 或-1(B) 3(C)11、關(guān)于x的一元二次方程23、方程x 3x 60與方程x26x 30的所有根的乘積是_若一元二次方程ax2bx c 0 a0的兩個實數(shù)根為 為，X2，則捲X2bc,xix2aa2 2x kx 4k 3 0的兩個實數(shù)根分別是Xi,X2，且滿足為X2X1X2，貝y k的值為:4、兩個不相等的實數(shù)5、設(shè)X

12、1, X2是關(guān)于X的一元二次方程X222、市政府為了解決市民看病難的問題，決定下調(diào)藥品的價格， 某種藥品經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，由每盒 200 元下調(diào)至 128元，求這種藥品平均每次降價的百分率是多少？1、下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是A.3 x 122 x 1B.l1x x22 0C.ax2 22、方程(m 1) x + mx 5 = 0是關(guān)于一元二次方程綜合復(fù)習(xí)2 2bx c 0D.x 2x x 1兀二次方程， 則 m 滿足的條件是()(A) mz1( B) mz0(C)3、右x 1疋兀2:二次方程axbx 2 0的K4、實數(shù) b24ac是方程的根2a(A)ax2bxc 0(B)ax2bx

13、(C)ax2bxc 0(D)ax2bx25、方程x250的解是：A.x1x25B.x1x225C.x15兀(D) m= 1| m|豐1，則D.x125, x2250兩個不相等的實數(shù)根，則k 的取值范圍是()(A)k1(B)k17、在下列方程中，有實數(shù)根的是A)x 3x 10 B) 4x118、關(guān)于x的一元2二次方程2x2x( )/八51(A) m-(B)m3226、關(guān)于x的一元二次方程kx 2x 1(C)k0(D)k1且k0()2x1C)x2x 30D)x 1x 13m10有兩個實數(shù)根X1,X2, 且mx2551(C)m-(D)m332x1x24，貝U m的取值范圍是9.若(x+y ) (1

14、x y) +6=0，貝 U x+y 的值是()A . 2 B . 3 C. 2 或 3 D . 2 或310、若(m+1)xm(m 2) 1+2mx 仁 0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的值是 _11、填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立：x25x _=(x_)2.12、 當(dāng)x=_時，代數(shù)式x23x比代數(shù)式2x2x 1的值大 2 .13、 某商品原價每件25 元，在圣誕節(jié)期間連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在商品每件16 元，則該玩具平均每次降價的百分率成本共 24 元，該經(jīng)營戶要想每天盈利200 元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元?m 1 x m 0 m 0的兩個根，且滿足丄丄x-ix219、已知關(guān)于 x

15、的一元二次方程x2kx 1 0。(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根;17、設(shè)XjX?是關(guān)于X的方程X2|，求m的值。成本共 24 元，該經(jīng)營戶要想每天盈利200 元，應(yīng)將每千克小型西瓜的售價降低多少元?設(shè)的方程有兩根分別為x1,x2，且滿足x1x2x-ix2求 k 的值。221.已知： ABC 的兩邊 AB、AC 的長是關(guān)于x的一元二次方程x22k 3 x k 3k 20的兩個實數(shù)根，第三邊 BC 的長為 5,問：k 取何值時， ABC 是以 BC 為斜邊的直角三角形?22、 一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍， 四角各截去一個正方形， 制成高是5求這塊鐵皮的長和寬。cm，容積是5 0 0cm3的

16、無蓋長方體容器。23、如圖，有一面積為 150 m2的長方形雞場，雞場的一邊靠 圍成，如果竹籬笆的長為 35 m,求雞場的長與寬各為多少米？墻(墻長 18 m),另三邊用竹籬笆lBnjF24、西瓜經(jīng)營戶以 2 元/千克的價格購進一批小型西瓜，以 3 元/千克的價格出售，每天可售出 200 千克，為了促銷, 該經(jīng)營戶決定降價，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種小西瓜每降價0.1 元/千克，每天可多售出 40 千克，另外，每天的房租等固定25、在矩形 ABCD 中，AB=6cm , BC=3cm。點 P 沿邊 AB 從點 A 開始向點 B 以 2cm/s 的速度移動，點 Q 沿邊 DA 從點 D 開始向點 A 以 1cm/s 的速度移動。如果 P、Q 同時出發(fā)，用 t (s)表示移動的時間(OwtX1+ X2成立？請說明理由.3.已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2-2x+m- 1=0 有兩個實數(shù)根 X1, X2.(