浙江省金華市2020—2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題【含解析】

1、浙江省金華市20202021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題【含解析】一、選擇題（共8小題，每題5分，共40分）.1已知集合A1，1，下列選項正確的是（）A1AB1ACAD0A2關(guān)于函數(shù)ysinx+cosx，以下說法正確的是（）A在區(qū)間上是增函數(shù)B在區(qū)間上存在最小值C在區(qū)間上是增函數(shù)D在區(qū)間上存在最大值3現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機取出2只，則取出的鞋都是左腳的概率是（）ABCD4四名同學(xué)各擲骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)并分別對每位同學(xué)擲得的點數(shù)進行統(tǒng)計處理，在四名同學(xué)以下的統(tǒng)計結(jié)果中，可以判斷出該同學(xué)所擲骰子一定沒有出現(xiàn)點數(shù)1的是（）A平均數(shù)為4，中位數(shù)為5B平均數(shù)為5，方差為2.4C中位

2、數(shù)為4，眾數(shù)為5D中位數(shù)為4，方差為2.85通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述所用的時間若用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（f（x）越大，表示學(xué)生的接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：min），長期的實驗和分析表明，f（x）與x有以下關(guān)系：f（x）則下列說法錯誤的是（）A講授開始時，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散B講課開始后第5分鐘比講課開始第20分鐘，學(xué)生的接受能力更強一點C講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學(xué)生的接受能力最強D需要13分鐘講解的復(fù)雜問題，老師可以在學(xué)生的注意力至

3、少達到55以上的情況下完成6我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺問積幾何？”這里的“羨除”，是指由三個等腰梯形和兩個全等的三角形圍成的五面體在圖1所示羨除中，ABCDEF，AB10，CD8，EF6，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分別為7和3，且這兩個等腰梯形所在的平面互相垂直按如圖2的分割方式進行體積計算，得該“羨除”的體積為（）A84B66C126D1057在ABC中，過中線AD的中點E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設(shè)，（m0，n0），則（）Am+n為定值Bmn為定值C4m+n的最小值為Dm+4n的最小值為68設(shè)函數(shù)f

4、（x）的定義域為I，如果對任意x1I，都存在x2I，使得f（x1）+f（x2）0，稱函數(shù)f（x）為“D函數(shù)”，則下列函數(shù)為“D函數(shù)”的是（）Af（x）3xBf（x）ex+lnxCf（x）x22xDf（x）sinxcosx+sinxcosx二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分9在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，點P是其所在平面內(nèi)一點，（）A若，則點P在ABC的中位線上B若3，則P為ABC的重心C若a2+b2c2，則ABC為銳角三角形D若ccosBbcosC，則ABC是等腰三角形10

5、甲、乙兩個質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時拋擲這兩個骰子一次，記事件A為“兩個骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A事件A、B是相互獨立事件B事件B、C是互斥事件CP（A）P（B）P（C）DP（ABC）11下列四個函數(shù)中，滿足對任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）f（a）+f（b）+f（c）的是（）Af（x）1+2sin2xBf（x）2xCf（x）Df（x）ln（x+1）12已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱AD，CD上的動點，滿足AEDF，則（）A四棱錐B1BEDF的體積為定值B四面體

6、D1DEF表面積為定值C異面直線B1E和AF所成角為90D二面角D1EFB1始終小于60三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13（i）（+i） 14已知某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取n名同學(xué)去某敬老院參加慈善活動，其中高一年級被抽取的人數(shù)為12，則n 15已知|2|2，1，則與的夾角為 16在四棱臺ABCDEFGH中，底面ABCD是邊長為1的正方形，DE平面ABFE，AEDE，P為側(cè)棱AE上的動點，若二面角HBCA與二面角PCDB的大小相等則PA的長為 四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

7、驟17已知函數(shù)（）求函數(shù)f（x）的周期及圖象的對稱中心；（）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域18在直角坐標系中，O是坐標原點，向量（3，1），（2，1），（a，b），其中a0，b0（）若，求的最小值；（）若與的夾角不超過45，求的取值范圍19如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2（）求證：PCPD；（）求直線AB與平面PBC所成角的余弦值20一家保險公司決定對推銷員實行目標管理，即給推銷員確定一個具體的銷售目標確定的銷售目標是否合適，直接影響到公司的經(jīng)濟效益如果目標定的過高，多數(shù)推銷員完不成任務(wù)，會使推銷員失去信心；如果目標定的太低，將不利于

8、挖掘推銷員的工作潛力該保險公司隨機抽取50名保險推銷員，統(tǒng)計了其2020年的月均推銷額（單位：萬元），將數(shù)據(jù)按照12，14），14，16），22，24分成6組，制成頻率分布直方圖如下，其中14，16）組比12，14）組的頻數(shù)多4（）求頻率分布直方圖中a和b的值；（）為調(diào)動推銷員的積極性，公司設(shè)計了兩種獎勵方案方案一：獎勵月均推銷額進入前60%的員工；方案二：獎勵月均推銷額達到或超過平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）的員工你認為那種方案更好？21在一大型倉庫里，存有大量的原料臺球，其大小均勻，按紅色與白色分為兩堆，每種顏色中又有塑料和木頭兩種材質(zhì)，對球進行簡單隨機抽樣，獲得抽樣數(shù)據(jù)如

9、表：紅色白色塑料球木質(zhì)球塑料球木質(zhì)球68個136個153個51個（）分別估計等可能地從倉庫所有紅色球中隨機抽取1個得到塑料球的概率，等可能地從倉庫所有白色球中隨機抽取1個得到塑料球的概率；（）等可能地從倉庫所有紅色球中依次隨機抽取2個，等可能地從倉庫所有白色球中隨機抽取1個，估計這3個球中恰有2個塑料球的概率22函數(shù)f（x）|2x+a9|，g（x）x2+（5a）x+2a，其中aR（）若函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，求函數(shù)f（g（x）7）的值域；（）若不存在xR，使得f（x）6和g（x）6同時成立，求a的取值范圍參考答案一、選擇題（共8小題，每題5分，共40分）.1已知集合A1，1，下列選項正確的是（）

10、A1AB1ACAD0A【分析】直接利用元素與集合的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系，判斷選項即可解：1A，所以A正確；1A，所以B不正確；A，所以C不正確；0A，所以D不正確故選：A2關(guān)于函數(shù)ysinx+cosx，以下說法正確的是（）A在區(qū)間上是增函數(shù)B在區(qū)間上存在最小值C在區(qū)間上是增函數(shù)D在區(qū)間上存在最大值【分析】將原式化簡為y，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解解：ysinx+cosx，函數(shù)y的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選項A錯誤，選項C正確，當(dāng) 時，y取得最小值，故在區(qū)間上不存在最小值，故選項B錯誤，當(dāng)時，y取得最大值，故在區(qū)間上不存在最大值，故選項D錯誤故選：C3現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機取出2只，則取出

11、的鞋都是左腳的概率是（）ABCD【分析】基本事件總數(shù)n15，取出的鞋都是左腳包含的基本事件個數(shù)m3，由此能求出取出的鞋都是左腳的概率解：現(xiàn)有3雙不同的鞋子，從中隨機取出2只，基本事件總數(shù)n15，取出的鞋都是左腳包含的基本事件個數(shù)m3，則取出的鞋都是左腳的概率是P故選：D4四名同學(xué)各擲骰子5次，記錄每次骰子出現(xiàn)的點數(shù)并分別對每位同學(xué)擲得的點數(shù)進行統(tǒng)計處理，在四名同學(xué)以下的統(tǒng)計結(jié)果中，可以判斷出該同學(xué)所擲骰子一定沒有出現(xiàn)點數(shù)1的是（）A平均數(shù)為4，中位數(shù)為5B平均數(shù)為5，方差為2.4C中位數(shù)為4，眾數(shù)為5D中位數(shù)為4，方差為2.8【分析】依據(jù)數(shù)字特征的定義，依次對選項驗證即可解：對于選項A，1，2

12、，5，6，6符合條件，故A錯，對于選項B，若平均數(shù)為5且出現(xiàn)點數(shù)1，則只能為1，6，6，6，6，此時方差為4，故B對，對于選項C，1，2，4，5，5符合條件，故C錯，對于選項D，1，4，4，5，6符合條件，故D錯，故選：B5通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述所用的時間若用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力（f（x）越大，表示學(xué)生的接受能力越強），x表示提出和講授概念的時間（單位：min），長期的實驗和分析表明，f（x）與x有以下關(guān)系：f（x）則下列說法錯誤的是（）A講授開始時，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力

13、開始分散B講課開始后第5分鐘比講課開始第20分鐘，學(xué)生的接受能力更強一點C講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學(xué)生的接受能力最強D需要13分鐘講解的復(fù)雜問題，老師可以在學(xué)生的注意力至少達到55以上的情況下完成【分析】分段研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性，由此可判斷選項A，求出f（5）和f（20），比較大小即可判斷選項B，由函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可判斷選項C，計算學(xué)生注意力至少達到55以上的持續(xù)時間，與13分鐘比較即可判斷選項D解：由題意，f（x）當(dāng)0x10時，f（x）0.1x2+2.6x+430.1（x13）2+59.9，故函數(shù)f（x）在（0，10上單調(diào)遞增，最大值為f（10）59.9；當(dāng)10x16時

14、，f（x）59，故f（x）為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)16x30時，f（x）3x+107，故f（x）單調(diào)遞減，所以f（x）f（16）59，則講授開始時，學(xué)生的興趣遞增；中間有段時間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學(xué)生的注意力開始分散，故選項A正確；因為f（5）0.1（513）2+59.959.96.453.5，f（20）320+1074753.5，所以講課開始后第5分鐘比講課開始第20分鐘，學(xué)生的接受能力更強一點，故選項B正確；由選項A的分析可知，講課開始后第10分鐘到第16分鐘，學(xué)生的接受能力最強，故選項C正確；當(dāng)0x10時，令f（x）55，則0.1（x13）24.9，所以（x13）249，解得x20或

15、x6，又0x10，故x6，當(dāng)16x30時，令f（x）55，則3x+10755，解得x，因此學(xué)生達到（或超過）55的接受能力的時間為6，所以需要13分鐘講解的復(fù)雜問題，老師不可以在學(xué)生的注意力至少達到55以上的情況下完成，故選項D錯誤故選：D6我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺問積幾何？”這里的“羨除”，是指由三個等腰梯形和兩個全等的三角形圍成的五面體在圖1所示羨除中，ABCDEF，AB10，CD8，EF6，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分別為7和3，且這兩個等腰梯形所在的平面互相垂直按如圖2的分割方式進行體積計算，得該“羨除”的

16、體積為（）A84B66C126D105【分析】由圖可知，中間部分為棱柱，兩側(cè)為兩個全等的四棱錐，再由棱柱與棱錐體積公式求解得答案解：按圖2中的分割方式，中間為直三棱柱，直三棱柱的底面為直角三角形，兩條直角邊長分別為7和3，直三棱柱的高為6，則直三棱柱的體積；兩側(cè)為全等的兩個四棱錐，四棱錐的底面為直角梯形，直角梯形的面積S，四棱錐的高為h3，則兩個四棱錐的體積該“羨除”的體積為VV1+V263+2184故選：A7在ABC中，過中線AD的中點E任作一直線分別交AB，AC于M，N兩點，設(shè)，（m0，n0），則（）Am+n為定值Bmn為定值C4m+n的最小值為Dm+4n的最小值為6【分析】用 表示出 和

17、，由于、共線，可得，且0，解出 m，n，依次驗證四個選項即可解：由題意可得+m，（m ），同理可得（n）由于、共線，且0（m ）（n），m，（n）故 m，n，m+n+，mn均與取值有關(guān)，故AB錯誤；4m+n1+（）+2，當(dāng)且僅當(dāng)時成立，故C正確；m+4n+（）+2，當(dāng)且僅當(dāng)2時成立，故D錯誤故選：C8設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為I，如果對任意x1I，都存在x2I，使得f（x1）+f（x2）0，稱函數(shù)f（x）為“D函數(shù)”，則下列函數(shù)為“D函數(shù)”的是（）Af（x）3xBf（x）ex+lnxCf（x）x22xDf（x）sinxcosx+sinxcosx【分析】由條件知D函數(shù)f（x）的值域關(guān)于原點對稱，從

18、而求選項中函數(shù)的值域并觀察即可解：對任意x1I，都存在x2I，使得f（x1）+f（x2）0，函數(shù)f（x）的值域關(guān)于原點對稱，f（x）3x的值域為（0，+），故A錯誤，f（x）ex+lnx的值域為（，+），故B正確，f（x）x22x的值域為1，+），故C錯誤，f（x）sinxcosx+sinxcosxsinxcosx+（sinxcosx）2+（sinxcosx）+，sinxcosx，f（x）1，故D錯誤，故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分9在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c

19、，點P是其所在平面內(nèi)一點，（）A若，則點P在ABC的中位線上B若3，則P為ABC的重心C若a2+b2c2，則ABC為銳角三角形D若ccosBbcosC，則ABC是等腰三角形【分析】設(shè)AC的中點為E，BC的中點為F，由已知可得判定A；設(shè)BC中點為G，由3，得判定B；舉例說明C錯誤；利用正弦定理及兩角差的正弦判定D解：對于A，由，得，即，設(shè)AC的中點為E，BC的中點為F，可得，則P、E、F三點共線，即點P在ABC的中位線上，故A正確；對于B，設(shè)BC中點為G，由3，得，即P為ABC的重心，故B正確；對于C，取a3，b5，c4，滿足a2+b2c2，但a2+c2b2，ABC為直角三角形，故C錯誤；對于D

20、，由ccosBbcosC，得sinCcosBsinBcosC，sin（CB）0，0C，0B，CB，可得CB0，即BC，ABC為等腰三角形，故D正確故選：ABD10甲、乙兩個質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時拋擲這兩個骰子一次，記事件A為“兩個骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件B為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，事件C為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A事件A、B是相互獨立事件B事件B、C是互斥事件CP（A）P（B）P（C）DP（ABC）【分析】利用列舉法分別求出事件A，B，C，AB，ABC的概率，結(jié)合互斥事件、相互獨立事件的定義直接求解解：甲、乙兩個質(zhì)地均勻且完全一樣的骰子，同時拋擲這兩個

21、骰子一次，基本事件總數(shù)n6636，記事件A為“兩個骰子朝上一面的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則事件A包含的基本事件有18個，分別為：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），P（A），事件B為“甲骰子朝上一面的數(shù)字為奇數(shù)”，則事件B包含的基本事件有18個，分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5

22、，3），（5，4），（5，5），（5，6），P（B），事件C為“乙骰子朝上一面的數(shù)字為偶數(shù)”，則事件C包含的基本事件有18個，分別為：（1，2），（2，2），（3，2），（4，2），（5，2），（6，2），（1，4），（2，4），（3，4），（4，4），（5，4），（6，4），（1，6），（2，6），（3，6），（4，6），（5，6），（6，6），P（C），事件AB包含的基本事件有9個，分別為：（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），P（AB），P（AB）P（A）P（B），事件A、B是相互獨立事件，故A正確；事件B與C能同時發(fā)

23、生，故事件B與C不是互斥事件，故B錯誤；P（A）P（B）P（C），故C正確；ABC包包含的基本事件有9個，分別為：（1，2），（1，4），（1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4），（5，6），P（ABC）故D錯誤故選：AC11下列四個函數(shù)中，滿足對任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）f（a）+f（b）+f（c）的是（）Af（x）1+2sin2xBf（x）2xCf（x）Df（x）ln（x+1）【分析】將a+b+c，a，b，c依次代入四個函數(shù)中，依次驗證是否滿足條件即可解：若f（x）1+2sin2x，則f（a+b+c）1+2sin2（a+b+c），f（a）+f（b）

24、+f（c）1+2sin2a+1+2sin2b+1+2sin2c3+2sin2a+2sin2b+2sin2c，故1+2sin2（a+b+c）33+2sin2a+2sin2b+2sin2c，故對任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）f（a）+f（b）+f（c），故A正確，若f（x）2x，令abc1，f（a+b+c）f（3）8，f（a）+f（b）+f（c）2+2+26，故B錯誤，若f（x），則f（a+b+c），f（a）+f（b）+f（c）+，且（）2（+）2（a+b+c）（a+b+c+2+2+2）0，故+，故對任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）f（a）+f（b）+f（c），故C正確，若f（x）l

25、n（x+1），則f（a+b+c）ln（a+b+c+1），f（a）+f（b）+f（c）ln（a+1）+ln（b+1）+ln（c+1）ln（a+1）（b+1）（c+1）ln（a+b+c+1+abc+ab+ac+bc），故ln（a+b+c+1）ln（a+b+c+1+abc+ab+ac+bc），故對任意正數(shù)a，b，c都有f（a+b+c）f（a）+f（b）+f（c），故D正確，故選：ACD12已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱AD，CD上的動點，滿足AEDF，則（）A四棱錐B1BEDF的體積為定值B四面體D1DEF表面積為定值C異面直線B1E和AF所成角為90D二面角D1EFB

26、1始終小于60【分析】A，利用SSABCDSABESBCF1FC1（AE+BF），即可判斷；B，過D作DHEF，連接D1H，則D1HEF，設(shè)AEDFx，四面體D1DEF表面積為Sx1+1即可判斷；C，建立空間直角坐標系，設(shè)AEx，利用xx+00，即可判斷；D，可得二面角D1EFD就是DHD1，求得cosDHD1的范圍即可判定解：對于A，因為四邊形BEDF的面積為SSABCDSABESBCF1FC1（AE+BF）1（定值）四棱錐B1BEDF的體積為定值，故正確；對于B，過D作DHEF，連接D1H，則D1HEF，設(shè)AEDFx，則DH，D1H，S，四面體D1DEF表面積為Sx1+1，四面體D1DEF

27、表面積為定值，故正確對于C，如圖建立空間直角坐標系，設(shè)AEx，則E（1x，0，0），F(xiàn)（0，x，0），B1（1，1，1），A（1，0，0），則，xx+00，異面直線B1E和AF所成角為90，故正確；對于D，由B可得二面角D1EFD就是DHD1，則cosDHD1，x（1x），cosDHD1，故錯故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13（i）（+i）5【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則求解即可解：（i）（+i）故答案為：514已知某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取n名同學(xué)去某敬老院參加慈善活動，其中高一年級被抽取的人數(shù)為1

28、2，則n28【分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解解：某校高一、高二、高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240，160，160采用分層抽樣的方法從中抽取n名同學(xué)去某敬老院參加慈善活動，其中高一年級被抽取的人數(shù)為12，則n12，解得n28故答案為：2815已知|2|2，1，則與的夾角為 【分析】利用向量的數(shù)量積公式，轉(zhuǎn)化求解向量的夾角即可解：|2|2，1，|設(shè)與的夾角為，則cos，0，所以故答案為：16在四棱臺ABCDEFGH中，底面ABCD是邊長為1的正方形，DE平面ABFE，AEDE，P為側(cè)棱AE上的動點，若二面角HBCA與二面角PCDB的大小相等則PA的長為 【分析】如圖，作輔助線，可得PDM為二面角

29、PCDB的平面角，HKN為二面角HBCA的平面角，再根據(jù)題意可得，設(shè)PAx，由此建立關(guān)于x的方程，解出即可解：DE平面ABFE，DEAB，又ABAD，AB平面ADHE，過點P作PMAD，過點H作HNAD，則PM平面ABCD，HN平面ABCD，過點N作NKBC，則PDM為二面角PCDB的平面角，HKN為二面角HBCA的平面角，又AEDE，PAD45，由題意，設(shè)PAx，則，解得故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17已知函數(shù)（）求函數(shù)f（x）的周期及圖象的對稱中心；（）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域【分析】利用二倍角公式和輔助角公式化簡解析式，再通過ys

30、inx的性質(zhì)求f（x）的周期、對稱中心、值域；解：（I），所以最小正周期為，所有的周期為k，kZ且k0；令，得，所以對稱中心為；（II）因為，所以，所以f（x）的值域為1，218在直角坐標系中，O是坐標原點，向量（3，1），（2，1），（a，b），其中a0，b0（）若，求的最小值；（）若與的夾角不超過45，求的取值范圍【分析】（）利用向量垂直的坐標表示，得到a+2b5，然后變形為（a+1）+2b6，將所求式子變形為（），利用基本不等式求解最值即可；（）利用平面向量夾角的坐標表示以及向量夾角的取值范圍，得到a，b的不等式關(guān)系，利用換元法，令，則t0，得到，求解不等式組，即可得到答案解：（）因為向

31、量（3，1），（2，1），（a，b），則，因為，則0，故a+2b5，則（a+1）+2b6，所以（），當(dāng)且僅當(dāng)且a+2b5，即時取等號，所以的最小值為；（）因為（2，1），（a，b），則，因為與的夾角不超過45，則，即，令，則t0，所以，故，解得，又t0，所以的取值范圍為19如圖，在四棱錐PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2（）求證：PCPD；（）求直線AB與平面PBC所成角的余弦值【分析】（）由AD平面PDC，得ADPD，由BCAD，得PDBC，再由PDPB，得到PD平面PBC即可證明PCPD（）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，則DF與平

32、面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，由PD平面PBC，得到DFP為直線DF和平面PBC所成的角，由此能求出直線AB與平面PBC所成角的正弦值解：（）證明：因為AD平面PDC，直線PD平面PDC，所以ADPD又因為BCAD，所以PDBC，又PDPB，所以PD平面PBC解：（）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角因為PD平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1，由已知，得CFBCBF2又ADDC，故BCDC，在RtDPF中，可得sinDFP所以，

33、直線AB與平面PBC所成角的正弦值為20一家保險公司決定對推銷員實行目標管理，即給推銷員確定一個具體的銷售目標確定的銷售目標是否合適，直接影響到公司的經(jīng)濟效益如果目標定的過高，多數(shù)推銷員完不成任務(wù)，會使推銷員失去信心；如果目標定的太低，將不利于挖掘推銷員的工作潛力該保險公司隨機抽取50名保險推銷員，統(tǒng)計了其2020年的月均推銷額（單位：萬元），將數(shù)據(jù)按照12，14），14，16），22，24分成6組，制成頻率分布直方圖如下，其中14，16）組比12，14）組的頻數(shù)多4（）求頻率分布直方圖中a和b的值；（）為調(diào)動推銷員的積極性，公司設(shè)計了兩種獎勵方案方案一：獎勵月均推銷額進入前60%的員工；方案

34、二：獎勵月均推銷額達到或超過平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表）的員工你認為那種方案更好？【分析】（1）根據(jù)已知條件14，16）組比12，14）組的頻數(shù)多4，以及圖中所有小矩形的面積之和等于1，即可求解（2）根據(jù)已知條件，分別求出方案一的人數(shù)，并與方案二的人數(shù)比較，即可求解解：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，圖中所有小矩形的面積之和等于1，又14，16）組比12，14）組的頻數(shù)多4，解得a0.03，b0.07（2）方案一，獎勵月均推銷額進入前60%的員工，樣本容量為50，能獲得獎勵員工人數(shù)為5060%30，方案二，獎勵月均推銷額達到或超過平均數(shù)，根據(jù)頻率分布直方圖，可得月均推銷額的平均數(shù)為（0.03213+0.07215+0.12217+0.14219+0.1221+0.04223）18.32，月均推銷額低于18萬的頻率為2（0.03+0