第七章 測量誤差分析及數(shù)據(jù)處理

1、電電 子子 測測 量量授課教師：路輝聯(lián)系電話：82316487電子郵件：北 京 航 空 航 天 大 學(xué)第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理 7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類7.3 7.3 隨機(jī)誤差的分析隨機(jī)誤差的分析7.4 7.4 系統(tǒng)誤差的處理系統(tǒng)誤差的處理7.5 7.5 測量數(shù)據(jù)的處理測量數(shù)據(jù)的處理北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 測量是為確定被測對(duì)象的量值而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)過程。被測量的真實(shí)大小稱為真值。在不同的時(shí)、空條件下，被測量的真值往往是不同的；而又是客觀存在的確定數(shù)值。 在測量中，通過實(shí)驗(yàn)的方法求被測量的真值時(shí)，由于對(duì)客觀規(guī)律的局限性和其

2、它原因，會(huì)使測量結(jié)果與真值不同，該差別就是測量誤差。 測量的價(jià)值取決于測量的準(zhǔn)確程度。當(dāng)誤差超過一定程度，測量就變得毫無價(jià)值，甚至帶來很大危害。對(duì)測量誤差的控制是衡量測試技術(shù)水平乃至科技水平的標(biāo)志。 掌握一定的誤差理論和數(shù)據(jù)處理知識(shí)，是科技工作者的基本素質(zhì)之一。研究誤差理論的目的，就是要根據(jù)誤差的規(guī)律，合理的設(shè)計(jì)和組織實(shí)驗(yàn)，減小測量誤差，確切地評(píng)價(jià)測量結(jié)果中誤差的大小，以便得到科學(xué)的結(jié)論。第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學(xué)本章主要內(nèi)容： 測量誤差: 系統(tǒng)誤差；恒定系差；累進(jìn)性及周期性系差 ；難于消除； 粗大誤差：明顯偏離了真值的測量數(shù)據(jù)，用萊特準(zhǔn)則（3)等予以剔除。

3、隨機(jī)誤差：在實(shí)際相同條件下多次測量同一量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)測的方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。在多次測量中服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，具有單峰性、有界性、對(duì)稱性、抵償性等四大特性。據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的有關(guān)原理和實(shí)踐證明，很多測量結(jié)果的測量誤差服從正態(tài)分布，也有服從均勻分布或其他分布。第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學(xué)第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理隨機(jī)誤差處理方法北 京 航 空 航 天 大 學(xué)第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學(xué)第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學(xué)第七章 測量誤差分析與數(shù)據(jù)處理北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.1 7.

4、1 測量誤差的概念測量誤差的概念測量誤差：測量結(jié)果與被測量真值的差別。按誤差表示方法通?？煞譃榻^對(duì)誤差和相對(duì)誤差兩項(xiàng)。一、絕對(duì)誤差（又稱絕對(duì)真誤差）0XXX被測量的真值被測量的給出值絕對(duì)誤差1.精密的儀器-替代真值2.算術(shù)平均值-替代真值 3.理論給出或計(jì)量學(xué)作出規(guī)定-真值（理想值）測量值注意：x有大小、符號(hào)和量綱；直觀，但不反映測量的準(zhǔn)確程度。 實(shí)際應(yīng)用中常用實(shí)際值A(chǔ)（高一級(jí)以上的測量儀器或計(jì)量器具測量所得之值）來代替真值，即xxA (1)基本定義 北 京 航 空 航 天 大 學(xué)（2）修正值定義:與絕對(duì)誤差大小相等,符號(hào)相反的量為修正值C , 即xxxC0 測量儀器的修正值可以通過上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)

5、的檢定給出，它可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式；對(duì)自動(dòng)測量儀器，可將修正值編程貯于儀器中，測量時(shí)儀器自動(dòng)進(jìn)行修正。 被測量的實(shí)際值Cxx0絕對(duì)誤差的表示往往不能確切地反映測量的準(zhǔn)確程度。Hzf10001例：測量兩個(gè)頻率Hzf11絕對(duì)誤差Hzf6210Hzf10212ff%001.022ff%1.011ff7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念北 京 航 空 航 天 大 學(xué)二、相對(duì)誤差（相對(duì)真誤差）是絕對(duì)誤差與真值的比值7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念%1000XX示值相對(duì)誤差XX在誤差較小時(shí)作近似計(jì)算含有誤差分貝誤差相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表示。真值)dB(Alg20)dB(A0

6、0dBdBA)dB(A0dBAdBA)dB(0測量值分貝誤差0A電壓或電流的傳輸函數(shù)為20lg-；是功率傳輸函數(shù)時(shí)為10lg-相對(duì)誤差主要有三種形式：相對(duì)誤差、引用誤差、分貝誤差。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)0XRIRVRIVRX例：用圖中(a)、(b)兩種電路測電阻 的電壓和電流,若電壓表的內(nèi)阻為 電流表的內(nèi)阻為 ,求測量值 受電表影響產(chǎn)生的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差,并分析所得結(jié)果。解：設(shè)被測電阻真值為0XR對(duì)圖(a)給出值 000XVXVRVRVXRRRRVIVRVXVX2XXXXRRRRRR000%100RRRRRVXXXX00絕對(duì)誤差相對(duì)誤差7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念北

7、京 航 空 航 天 大 學(xué)對(duì)圖(b)00XIXXRRRRIXXXRRRR000XIXIXRRIIRIRIVR給出值絕對(duì)誤差相對(duì)誤差(1).對(duì)(a)圖 時(shí)誤差 小時(shí),低阻測量，用圖(a) 對(duì)(b)圖 時(shí)誤差, 大時(shí),高阻測量，用圖(b)(2).對(duì)(a)圖測量不受RI 影響，表達(dá)式中不含有RI項(xiàng) 對(duì)(b)圖測量不受RV影響，- - RV-.0XVRR00XR0XIRR 00XR相對(duì)誤差=分?jǐn)?shù)法=0 xx百分法=0100 xx千分法=01000 xx7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念北 京 航 空 航 天 大 學(xué)引用誤差(滿度相對(duì)誤差)為了計(jì)算和劃分電表準(zhǔn)確程度等級(jí)的方便而定義mXX絕對(duì)誤

8、差儀表的量程（滿刻度值）電工儀表根據(jù)引用誤差大小分為七級(jí)： 0 . 55 . 25 . 10 . 15 . 02 . 01 . 0、表示引用誤差不超過的百分比。例：某表等級(jí)為S、滿讀值是Xm，被測量的真值是Xo則絕對(duì)誤差00000XsXsxxmm相對(duì)誤差絕對(duì)誤差正比于滿度值，Xo越接近Xm越準(zhǔn)確。滿度測量7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念用測量儀器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對(duì)誤差與該量程值（上限值下限值）之比來表示的相對(duì)誤差北 京 航 空 航 天 大 學(xué)例2：欲測一10伏左右電壓，兩表其一150伏、1.5級(jí)，其二15伏、2.5級(jí)，該選哪表？VVVVVSVVm375. 010;375

9、. 0)5 . 2(1525. 210;25. 2%5 . 1150002001解：用表一用表二應(yīng)選表二。故選擇測量儀表要兼顧級(jí)別和滿度值。7.1 7.1 測量誤差的概念測量誤差的概念北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類古典誤差理論：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差三大類。定義：相同條件下多次測量同一量，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持恒定，或在條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差，叫系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差簡稱“系差”，用來表示。 一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生原因：測量儀器設(shè)備在設(shè)計(jì)和制作上有缺陷 ，測量時(shí)環(huán)境條件與儀器要求不一致，測量方法不完善，測量設(shè)備的安裝、放置和使用不當(dāng)，測量人員的不

10、良習(xí)慣及生理上的限制。特點(diǎn)： 恒差系：就是當(dāng)測量條件一經(jīng)確定，系統(tǒng)誤差就是一個(gè)客觀上恒定的值，多次測量取平均值并不能改變其大小。 變系差：就是在測量條件改變時(shí)，一般來說系統(tǒng)誤差是變化的，其規(guī)律有累進(jìn)性的，也有周期性的，還有復(fù)雜規(guī)律變化的。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)1）累進(jìn)性系差：在測量過程中誤差數(shù)值逐漸變化的系統(tǒng)誤差（如溫漂、時(shí)漂）2）周期性系差：在測量過程中誤差數(shù)值周期性變化的系統(tǒng)誤差。恒溫箱隨環(huán)境溫度變化而周期性變化。3）按復(fù)雜規(guī)律變化的系差：盡管誤差變化規(guī)律復(fù)雜，重復(fù)測量仍有重復(fù)性。可用解析式、表格、曲線表達(dá)。處理方法：采用一定的技術(shù)措施來削弱或消除。（由特點(diǎn)決定的）7.2 7.2

11、測量誤差的分類測量誤差的分類北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類表中代表的隨機(jī)誤差與隨時(shí)間按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差有著本質(zhì)的區(qū)別。無規(guī)律。只有通過大量觀測，才能確定其統(tǒng)計(jì)規(guī)律。二、隨機(jī)誤差定義在實(shí)際相同的條件下多次測量同一量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)定的方式有時(shí)大(小)，有時(shí)為負(fù)(正)變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。（沒規(guī)律、不能預(yù)先確定） eg. 對(duì)某一頻率等精度測量10次，得下表：測量序號(hào)i 測量結(jié)果Xi(MHZ) 測量序號(hào)i 測量結(jié)果Xi(MHZ) 1 5.000032 6 5.000029 2 5.000029 7 5.000030 3 5.0000

12、30 8 5.000033 4 5.000019 9 4.999927 5 4.999931 10 5.000028北 京 航 空 航 天 大 學(xué)產(chǎn)生原因：主要是那些對(duì)測量影響微小而又互不相關(guān)的多種因素共同造成的，也就是隨機(jī)因素的影響。 就一次測量而言，隨差沒有規(guī)律、不可預(yù)定、不能控制，也不能用實(shí)驗(yàn)的方法加以消除。但當(dāng)測量次數(shù)足夠多時(shí)，隨差總體服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，多數(shù)情況下接近正態(tài)分布，部分屬均勻分布或其它分布。7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類 有界性：（絕對(duì)值不會(huì)超過一定界限） 對(duì)稱性：（正負(fù)值出現(xiàn)的幾率相等） 具有抵償性: （當(dāng)測量次數(shù)N趨于無窮時(shí)，算術(shù)平均值為零）特點(diǎn): 在多次等精

13、度測量中，隨即誤差體現(xiàn)了如下特性：處理方法：多次測量取平均值來削弱，即數(shù)據(jù)處理，而非測量技術(shù)。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)三、粗大誤差定義：在一定測量條件下，測量示值明顯偏離被測實(shí)際值所形成的誤差 。粗大誤差又叫疏失誤差 。產(chǎn)生原因：有測量條件突然變化的客觀原因，如測量過程中供電電源的瞬時(shí)跳變；也有測量人員疏忽的原因，如測錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)等。(就其性質(zhì)而言，粗大誤差可能是過分大的系差，也可能是過分大的隨差，因其誤差值太大分類時(shí)被單獨(dú)劃分為一類誤差。）7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類測量方法不當(dāng)（方法誤差）例：測量圖中恒流式差動(dòng)放大電路中T1管的集電極電位，在集電極與地之間用一臺(tái)內(nèi)阻

14、為10M的數(shù)字電壓表來測量，示值為5V，而用電壓靈敏度為20K/V的萬用表直流電壓6V檔來測量，示值只有3V(儀表的準(zhǔn)確度影響不計(jì)）這可以用圖中等效電路來說明。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)處理方法：粗大誤差對(duì)應(yīng)的測量值稱為壞值，在測量結(jié)果中應(yīng)予以剔除。此時(shí)電表的內(nèi)阻Rv=20K/V6V=120KRv與等效電阻Ro的分壓就是電表的示值V35EV120801200RRRV0V%40%100553%100EEV00V由此可以算出其相對(duì)誤差可見由于萬用表內(nèi)阻較低，在測量高內(nèi)阻回路的電壓時(shí)將會(huì)造成很大的方法誤差。這時(shí)應(yīng)當(dāng)選用高內(nèi)阻儀表等方法測量。隨機(jī)因素影響，如環(huán)境強(qiáng)躁聲等測量人員的粗心7.2 7.2

15、 測量誤差的分類測量誤差的分類北 京 航 空 航 天 大 學(xué)下圖是三種誤差的相互關(guān)系示意圖Xk:含有粗大誤差的測量示值，應(yīng)剔除。：系統(tǒng)誤差，其定義為 =M(x)-A ：隨機(jī)誤差，其定義為 =Xi-M(x)A:實(shí)際值（真值）M(x):數(shù)學(xué)期望，其定義為： 因此,測量絕對(duì)誤差為Xi:第i次測量示值。)Xn1(lim)x(Mn1iiniiiAXXi7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類四、誤差對(duì)測量結(jié)果的影響及測量結(jié)果評(píng)價(jià)北 京 航 空 航 天 大 學(xué)當(dāng)=0時(shí),則iiXAxM)(此條件見下圖7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)：系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)：規(guī)律性：盡管非常復(fù)雜；仍有規(guī)

16、律可循。系統(tǒng)誤差規(guī)律更難于掌握消除方法：系統(tǒng)誤差沒有比較有效的方法（利用計(jì)算機(jī)技術(shù)加修正值加以修正）；隨機(jī)誤差只可用統(tǒng)計(jì)方法北 京 航 空 航 天 大 學(xué)正確度、精密度和準(zhǔn)確度來評(píng)價(jià)。正確度：指測量值與被測量真值的接近程度，也就是系統(tǒng)誤差大小的程度。 當(dāng)系統(tǒng)消除了粗大誤差和隨機(jī)誤差的影響后，可以用系統(tǒng)誤差=M(x)-A表示測量的正確性。精密度：用來表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的大小程度。精度指測量值重復(fù)一致的程度。相同條件下多次測量同一量，每次測量的值越接近，則測量的精密度就越高。因此，精密度表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差的分散程度。準(zhǔn)確度：是測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的總和，表示測量結(jié)果與真值的一致程度

17、。亦稱精確度。(a)彈著點(diǎn)很分散 -(b)彈著點(diǎn)很集中但偏向一方- -(c)彈著點(diǎn)集中靶心-7.2 7.2 測量誤差的分類測量誤差的分類北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析前提：認(rèn)為系統(tǒng)誤差不存在前提：認(rèn)為系統(tǒng)誤差不存在一、隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性定理：根據(jù)概率理論的中心極限定理可知，如果被研究的隨機(jī)變量是由大量互相獨(dú)立、分布規(guī)律是任意的隨機(jī)變量共同作用的結(jié)果。而其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用，則一般可以認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，即高斯(Gauss)分布。測量中隨機(jī)誤差的分布及在隨機(jī)誤差影響下，測量數(shù)據(jù)的分布大多接近于服從正態(tài)分布。 這時(shí)測量隨機(jī)誤差及測量數(shù)據(jù)分布的概率

18、密度分別為)(2)(22)(1)(XXMXeX2X)(2)(1)(222e 隨機(jī)誤差X 測量值 測量值分布均方差 MxX的數(shù)學(xué)期望北 京 航 空 航 天 大 學(xué)正態(tài)分布曲線的特性誤差方程)(2)(22)(1)(XXMXeX2X)(2)(1)(222e 與X的分布形狀相同，坐標(biāo)差M(x),分散程度一樣，標(biāo)準(zhǔn)偏差也完全相等。可討論一個(gè)。 概率密度7.3 隨機(jī)誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學(xué)隨機(jī)誤差分布成軸對(duì)稱單峰曲線；標(biāo)準(zhǔn)偏差小，峰點(diǎn)高，幾率大， X集中，精密度高； -大，-低，-小，-分散，-低；7.3 隨機(jī)誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學(xué)結(jié)論：由圖可見，按正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有

19、如下特性：按正態(tài)分布的隨機(jī)誤差具有如下特性：絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同對(duì)稱性絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大單峰性在一定測量條件下，絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率近于零，亦即可以認(rèn)為誤差的絕對(duì)值實(shí)際上不超過一定界限。 有界性從對(duì)稱性可以推出，當(dāng)n時(shí)，正負(fù)誤差相互抵消，則各誤差的代數(shù)和隨著測量次數(shù)n的無限增加而趨于零。抵償性上述四個(gè)特點(diǎn)，有時(shí)也稱為隨機(jī)誤差的四個(gè)公理。（前面講過三個(gè)）須注意的是：對(duì)隨機(jī)誤差作概率統(tǒng)計(jì)處理時(shí)， =0 隨機(jī)誤差不可能做逐個(gè)消除地技術(shù)性處理。7.3 隨機(jī)誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析二、數(shù)學(xué)期望和算術(shù)平均值 1、

20、數(shù)學(xué)期望：M(x) 如果等精度測量某一被測量n次，所得測量值 ,該被測量的算術(shù)平均值為niixnx11nixxxx,21當(dāng)測量次數(shù)n時(shí)，平均值 的極限就是測量值的數(shù)學(xué)期望 )()()()(21XMXiMXMXMx)1(lim)(1niinxnXM北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析算術(shù)平均值的意義： 在進(jìn)行等精度測量時(shí)，對(duì)真值為A的物理量進(jìn)行 次獨(dú)立的測量，測量值為 其隨機(jī)誤差分別為 ，雖然其中任意一次測量值對(duì)它的數(shù)學(xué)期望都有一定的偏離，而且偏離的大小和方向沒有規(guī)律。但是從統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)看，這一系列測量中的隨機(jī)誤差分布以及在隨機(jī)誤差影響下測量數(shù)據(jù)的分布是完全確定的。即 一定。則各次

21、測量應(yīng)有相同的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。既nxxx,21n,21n)()()()(21XMXiMXMXM單次測量=m個(gè)測量值次測量值平均值的數(shù)學(xué)期望n XMXnMnxMnxnMxMniinii11111根據(jù)概率論中關(guān)于“ 個(gè)隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望等于各個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望之和”n舉例：和之期望 期望之和北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析2、有限次測量時(shí)測量值數(shù)學(xué)期望的估計(jì)若用 作為未知參數(shù) 的估計(jì)值，判斷這種估計(jì)值是否恰當(dāng)。最常用的有兩個(gè)原則，即估計(jì)的一致性和無偏性。 當(dāng)樣本容量 無限增大，若估計(jì)值 依概率收斂于 ，則稱 為 的一致估計(jì)值。 若估計(jì)值 的數(shù)學(xué)期望等于 ，則稱 為 的

22、無偏估計(jì)值，這種估計(jì)叫無偏估計(jì)。nxxx x x xx xxniixnx11 XMniixnXM11XMnx時(shí)依概率收斂于在即1XMxP符合估計(jì)的一致性 XMx 給定值作為的估計(jì)值是符合這兩個(gè)原則的x 北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析 XMxM所以：算術(shù)平均值 可作為最后的測量結(jié)果，并稱為最佳估計(jì)值。又x3、剩余誤差各次測量值與算術(shù)平均值之差稱為剩余誤差xxvii01111xnxnxnxnnxxvniiniinii兩個(gè)性質(zhì)：兩個(gè)性質(zhì)： 剩余誤差的代數(shù)和等于零。（可檢驗(yàn) 是否正確） 剩余誤差的平方和為最小。即x min12niiv北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差

23、的分析三、標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算隨機(jī)誤差離散程度的表示方法 1、測量數(shù)據(jù)組中某單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差標(biāo)準(zhǔn)偏差的定義：對(duì)某一量進(jìn)行多次等精度測量，測量值為： ，當(dāng)n時(shí)，測量值與數(shù)學(xué)期望之差的平方取統(tǒng)計(jì)平均后再開平方所得值x)即為標(biāo)準(zhǔn)偏差。 稱為方差。nixxxx21,)(2x從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看；只要系統(tǒng)、條件、被測量不變，那么該系列測量具有相同的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。i的符號(hào)可以是“+”或是“-”，取其平方使其負(fù)值變?yōu)檎?，使得較大的作用更明顯。nnniiniinXMxnX122121)(1)(niinX121)( XXXXn21北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析2、算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差在有限

24、次等精度測量條件下，如果測量分為m組，每組測量n次，共得m個(gè)算術(shù)平均值 、 。但它們并不相同，也是隨機(jī)變量。因而也有一定的分散性，其分散性用算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 來評(píng)價(jià)。mxx1x2x因是等精度測量，所以具有相同的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差：n21測量值平均值的方差 XnXnnxnxnxniinii2221221221111nXnmmnmxm)()(222221當(dāng)n為有限次數(shù)時(shí)，則用標(biāo)準(zhǔn)偏差估值代替標(biāo)準(zhǔn)偏差。所以算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差估值為()( )Xxn北 京 航 空 航 天 大 學(xué)上式說明： 次測量值平均值的方差比總體或單次測量的方差小n倍，或者說比標(biāo)準(zhǔn)偏差小 倍。物理意義：若被測量的總體中，各測量

25、值由于隨機(jī)誤差的影響，分布在M（x）附近，分散的程度可以用x)來描述。由于在平均過程中隨機(jī)誤差相互抵消，所以x 的分布相對(duì)集中了，既 比x)變小了。（P39例5）nn3、用有限次測量數(shù)據(jù)估計(jì)測量值的方差-標(biāo)準(zhǔn)偏差的估值貝塞爾公式N-1自由度證明見P36-37) 1()( 1)( 1)( 1)(12212212122nnxnxxnxnxxnxnXniiniiniinii貝塞爾公式是用有限次測量值估計(jì)方差的公式；廣范應(yīng)用于科研當(dāng)中，較好的計(jì)算器都有 按鍵，用符號(hào)S表示。通過按鍵輸入幾個(gè)數(shù)據(jù)，即可算出X及 的值。 7.3 隨機(jī)誤差的分析)(x北 京 航 空 航 天 大 學(xué)用剩余誤差表示算術(shù)平均值的標(biāo)

26、準(zhǔn)偏差的估值為：) 1(12nnvxnii在n次等精度測量中算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差估值 比單次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差估值小 倍。當(dāng)n愈大時(shí)，則 愈小，測量的精密度愈高。估計(jì)值愈接近實(shí)際值)(xn1)(x 取多大，一方面取決于測量精密度的要求，一方面還要保證測量條件不變（溫度、電源電壓等） 值隨n增大而下降。但當(dāng)n10以后， 值減小變得緩慢，又因測量次數(shù)n愈大，則測量時(shí)間愈長，這樣就愈難以保證等精度的測量條件，故一般n為8-12較為適宜。7.3 隨機(jī)誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學(xué)四、極限誤差的確定與粗大誤差的判別1、置信概率與置信區(qū)間 通過以前的方法求得數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差以后，就可以討論置信問題

27、。 為與通常意義上的概率相區(qū)別而稱為置信概率。當(dāng)知道了某被測量的分布曲線后，就希望知道測量數(shù)據(jù)處于m(x)附近的某區(qū)間內(nèi)的可能性（概率）有多大；或知道多次測量的標(biāo)準(zhǔn)偏差，而根據(jù)被測值估計(jì)其數(shù)學(xué)期望在什么范圍（區(qū)間）內(nèi)。 測量值x處于區(qū)間m(x)c(x)的概率與m(x)處于區(qū)間xC(x)的概率是相等的。 置信概率與置信區(qū)間總是聯(lián)系在一起的。明確一方才能討論另一方。減小c(x)可剔除異常數(shù)據(jù)7.3 隨機(jī)誤差的分析北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析dxxdxxxCxMxPxCxMxxCxMPxxMxxCxMxCxMxCxMxCxMe)(2)()()()()()()()()(222)

28、(1)()(| )(|)()()()(CZxCxMxCZxCxMxxdxdZxxMxZ,)()(,)()()(,)()(時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)則令 從數(shù)學(xué)上講M(x)-C(x)xM(x)+C(x)與X-C (x)M(x)x+C(x)是完全等價(jià)的)(2)(222)(1)(xxMxexx正態(tài)分布的測量值在對(duì)稱區(qū)間的置信概率北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析CCCZPdZCZCPxCxMxxCxMPe22121)()()()(于是：置信概率：描述測量值的誤差處于某一范圍內(nèi)的可靠程度，用Pc表示。置信區(qū)間：置信概率的相應(yīng)誤差范圍的值。 求概率Pc既是求正態(tài)分布曲線在對(duì)稱區(qū)間的積分，即概率密度曲線在

29、對(duì)稱區(qū)間-c,c內(nèi)的面積。 選擇不同的系數(shù)，就有不同的區(qū)間寬度，對(duì)應(yīng)不同的面積，既不同的概率。從附錄1正態(tài)分布在對(duì)稱區(qū)間的積分表A (P118)，可由不同的系數(shù)，查到對(duì)應(yīng)的概率；根據(jù)不同的概率，就可以查到相應(yīng)的系數(shù)C,確定相應(yīng)的區(qū)間。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析Eg:已知某被測量的測量值服從正態(tài)分布,測量中系統(tǒng)誤差可以忽略。分別求出置信區(qū)間為真值附近的三個(gè)區(qū)間Xo(x),Xo2(x), Xo3(x)時(shí)的置信概率。解：Xo=M(x),C=1,2,3 經(jīng)查表，得置信概率為 P|X-Xo|(x)=P|Z|1=68.3% P|X-Xo|2(x)=P|Z|2=95.5% P|X-

30、Xo|3(x)=P|Z|3=99.73% 超出此范圍的概率=1-Pc：表示測量可靠性，稱置信水平。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析C=1 311%74.31n221%56.43701%27. 0C=2 C=3 說明:當(dāng)系數(shù)為1時(shí)，置信水平約為1/3，既約有2/3的測量數(shù)據(jù)可能在區(qū)間內(nèi)，1/3的數(shù)據(jù)落在區(qū)間外。查閱誤差函數(shù)表，可求出在給定區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的概率，如圖陰影區(qū)域。其曲線數(shù)據(jù)如下：C=1 P-+=P|=0.682689C=2 P-2+2=P|2=0.954500C=3 P-3+3=P|3=0.997300C=4 P-4+4=P|4=0.999937由此可知，一組等精度測量

31、數(shù)據(jù)中，大約有68.3%的誤差值不超過，絕對(duì)值小于2的誤差約占95.5%，絕對(duì)值小于3的誤差約占99.7%。如能求出一組等精度測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差值，就可給出任一次測量數(shù)據(jù)大致不會(huì)超出的誤差范圍。這個(gè)誤差范圍稱為:北 京 航 空 航 天 大 學(xué)CXmaxC置信因數(shù)，取決于分布律和置信概率誤差極限Eg2.已知某電壓的測量中不存在系統(tǒng)誤差。測量值屬于正態(tài)分布，電壓的真值Vo=10V,測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差(v)=0.2V,求測量值出現(xiàn)在9.7V-10.3V之間的置信概率。解：由于測量中不存在系統(tǒng)誤差，真值Vo等于數(shù)學(xué)期望M(v),由題可知置信區(qū)間在Vo附近的范圍。 C(v)=10.3-10=10-9.7=

32、0.3V 則系數(shù) 查附錄I表A可得置信概率： P9.7VV10.3V=P(|Z|20,t分布和正態(tài)分布曲線接近, n時(shí),t分布與正態(tài)分布完全相同。K20,有限次測量，t分布更符合實(shí)際。采用t分布可使置信區(qū)間估計(jì)值更精確。可認(rèn)為t分布中包括了正態(tài)分布，正態(tài)分布是t分布中的一個(gè)特例。由t分布概率密度，可用積分方法求其概率：aattaaadtktxtxxMxtxPttP),()( )()( |P47例9 北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析4、有限次測量的單次測量值極限誤差的確定當(dāng)測量次數(shù)n20時(shí)，其t分布接近正態(tài)分布，故可運(yùn)用正態(tài)分布求得 t其t取值t=3,即按正態(tài)分布的Pc=99

33、.73%取t值。被測量實(shí)際值可以表示為3ixA5、粗大誤差的判別準(zhǔn)則:根據(jù)隨機(jī)誤差的第三條公理“有界性”介紹兩種常用的判別準(zhǔn)則：北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析萊特準(zhǔn)則（3準(zhǔn)則）定義：假設(shè)對(duì)某量進(jìn)行n次等精度測量得 ,其剩余誤差 當(dāng)其中 則認(rèn)為測量值 是壞值，應(yīng)給予剔除。上述判斷法稱為萊特準(zhǔn)則，也稱3準(zhǔn)則。nkxxxx、 21nkvvvv、213|xxvkkkx 格茹布斯(Grubbs)準(zhǔn)則:根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法推出，含義明確、較科學(xué)。 在n次等精度測量中，如果某個(gè)測量值Xk的剩余Vk值為),(|nPGvCk則認(rèn)為Xk是壞值，應(yīng)給予剔除。系數(shù)G除包含n外，還給出置信概率，使用更

34、加方便。參見附錄三(P123)北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析五、隨機(jī)誤差的均勻分布-正態(tài)分布之外的一種最主要分布均勻分布的特點(diǎn)：在其分布范圍內(nèi)，測量值或測量誤差出現(xiàn)的概率密度相等。22iixxx產(chǎn)生的主要原因： 儀器最小分辨力限制引起的誤差; 數(shù)字顯示儀器的 個(gè)字；四舍五入處理； 對(duì)誤差分布并不了解，只知大致范圍時(shí)。1分辨力測量儀器可能檢測出被測信號(hào)最小變化(準(zhǔn)確值)的能力。靈敏門值測量儀器不能檢測出的被測信號(hào)最大變化范圍值。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析(一)均勻分布的概率密度概率密度x)為 x)=k a x b =0 xb 由于均勻分布的范圍是由

35、a到b，因此概率為：1)(babakdxdxxPabkx1)(a x b)a-b之間的概率密度：(二)數(shù)學(xué)期望與標(biāo)準(zhǔn)誤差 對(duì)于測量值x連續(xù)取值，其數(shù)學(xué)期望定義式為：dxxxxM)()(（定義式）北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.3 隨機(jī)誤差的分析21)(baxdxabxkdxxMbaba所以對(duì)于測量值x連續(xù)取值，其標(biāo)準(zhǔn)誤差定義式為：dxxxMxx)()()(21212)(12)(22ababdxabbaxxba所以Eg:用滿量程為250mA，分辨力的靈敏門值為2mA，問測量電流的示值為200mA時(shí)，其實(shí)際值的范圍及標(biāo)準(zhǔn)誤差為多少？ 解:由于分辨力造成的隨機(jī)誤差，其出現(xiàn)的概率密度是屬于均勻分布的

36、。因此對(duì)于示值為x=200mA,其實(shí)際值是在范圍之內(nèi)mAmAmAmAxA201199222002 其隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)誤差為mAmAmAab6 .01219920112北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.4 系統(tǒng)誤差的處理大多具有不易掌握的規(guī)律，沒有通用處理方法可用。一般是先檢驗(yàn)誤差是否存在，判斷產(chǎn)生原因及誤差范圍。一、系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)當(dāng)測量次數(shù)為n時(shí)，其算術(shù)平均值為：niiniiniinnAxnx1011111當(dāng)測量次數(shù)n足夠多時(shí)，由于隨機(jī)誤差的抵償性011niinniinAx1011、恒定系差的檢驗(yàn) 送檢，給出校正后的修正值。 可用同類型儀器進(jìn)行測量。 自校準(zhǔn)。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.4

37、 系統(tǒng)誤差的處理2、變值系差的檢驗(yàn)(1)剩余誤差觀察法xxvii使某一條件（如溫度）有規(guī)律的變化，記錄測量值。作成表格或曲線。(2)馬列科夫判據(jù)該判據(jù)用來發(fā)現(xiàn)累進(jìn)性系差。其方法是將n次等精度測量的剩余誤差按先后次序排列為V1,V2,.,Vi,.,Vn,把它們按先后等分為兩部分并求其差值。ii0ii0北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.4 系統(tǒng)誤差的處理 (3)阿貝赫梅特判據(jù) 該判據(jù)用以判別周期性系差是否存在。若 則說明該測量數(shù)據(jù)列中存在周期性系差。21111nvvniii當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)求2112ninniiivvM當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)求2)1(12)3(ninniiivvM若M0，則認(rèn)為該測量數(shù)據(jù)列不存在

38、累進(jìn)性；若M值明顯地不為零，而且 |M| |則說明存在累進(jìn)性系差。maxiV注意：變系差使測量值偏離正態(tài)分布，因而有變系差的測量數(shù)據(jù)原則上應(yīng)舍棄不用，重新測量。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)代替法交換法7.4 系統(tǒng)誤差的處理二、系統(tǒng)誤差的消弱法1、消除產(chǎn)生系差的根源。(儀器、環(huán)境、人身和方法）2、修正測量值。（利用儀器的修正值）3、利用典型的測量技術(shù)零示法使被測量對(duì)儀表的作用與已知標(biāo)準(zhǔn)量的作用相平衡，使儀表示零。無電流，不需讀數(shù)，無負(fù)載效應(yīng)，只取決于標(biāo)準(zhǔn)電池、電阻和G的靈敏度。系統(tǒng)誤差可忽略不計(jì)的準(zhǔn)則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對(duì)值不超過測量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。

39、北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.5 測量數(shù)據(jù)的處理 一、有效數(shù)字的概念若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對(duì)值不超過近似數(shù)末位的半個(gè)單位，則該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如： 3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差0.0005 8.700 四位有效數(shù)字，極限誤差0.0005 8.7103二位有效數(shù)字，極限誤差0.05103 0.0807三位有效數(shù)字，極限誤差0.00005中間和末尾的0都是有效數(shù)字，而開頭的零不是有效數(shù)字。 絕對(duì)值比較大（或比較?。┒行?shù)字又比較少的測量數(shù)據(jù)，應(yīng)采用科學(xué)計(jì)數(shù)法，即a10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。北 京 航

40、空 航 天 大 學(xué)(1)第n+1位小于5則第n位不變(2)第n+1位大于5則第n位為1(3)第n+1位等于5時(shí) (A)在第n+2位有不為“0”的數(shù)則第n位加1. (B)在第n+2位為“0”或無數(shù)字時(shí)，當(dāng)?shù)趎位為偶數(shù)則第n位不變；當(dāng)?shù)趎位為奇數(shù)則第n位加1。為了增加尾數(shù)為偶數(shù)的機(jī)會(huì)。 二、有效數(shù)字的處理1、數(shù)字的舍入規(guī)則例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.434412.43 63.7350163.740.694990.69 25.325025.3217.695517.70 123.1150123.12注意：舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。 上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69 ，錯(cuò)誤做法是：

41、 0.694990.69500.6950.70。7.5 測量數(shù)據(jù)的處理北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.5 測量數(shù)據(jù)的處理例：用一最小刻度為 的米尺來量一長度如圖，對(duì)X的讀數(shù)有各種寫法如：101cmcmx5 . 21cmx50. 22哪一種合理？cmx500. 231R的寫法是最合理的，2R的寫法是不合理的。109.378,108 . 3221RR伏1592. 4V安011. 0I?011. 01592. 4IVR例：北 京 航 空 航 天 大 學(xué)有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則：1）加、減法運(yùn)算 加法、減法運(yùn)算：以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最小的為準(zhǔn)（各項(xiàng)無小數(shù)點(diǎn)則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位；2）乘、除

42、法運(yùn)算 兩個(gè)量相乘（相除）的積（商），其有效數(shù)字位數(shù)與各因子中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。3）乘方、開方運(yùn)算 其結(jié)果可比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。4）對(duì)數(shù)運(yùn)算 對(duì)數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)應(yīng)與其真數(shù)相同。 在所有計(jì)算式中，常數(shù),e的數(shù)值的有效數(shù)字位數(shù)，認(rèn)為是無限制，需要幾位就取幾位。表示精度時(shí)，一般取一位有效數(shù)字，最多取兩位有效數(shù)字。7.5 測量數(shù)據(jù)的處理北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.5 測量數(shù)據(jù)的處理三、等精度測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理步驟步驟 : : (1)將測量結(jié)果列成表格 (2)求出算術(shù)平均值 (3)檢查計(jì)算有無錯(cuò)誤，先計(jì)算每一個(gè)Xi的相應(yīng)的剩余誤差 。如果計(jì)算無錯(cuò)誤，理論上應(yīng)滿足niixnx11orn

43、vxxnii1xxvii01niiv如上式不等于0，就說明計(jì)算有錯(cuò)誤。但是這個(gè)結(jié)論只有當(dāng) 為可除盡的小數(shù)時(shí)才是嚴(yán)格成立的。一般情況下，由于四舍五入引入了一定誤差，上式不會(huì)完全等于零。不等于零時(shí)可用下式檢驗(yàn)。設(shè)Vi以 的最后一位的單位為單位，測量次數(shù)n如滿足可認(rèn)為計(jì)算無誤。反之，說明計(jì)算有誤。xx北 京 航 空 航 天 大 學(xué)7.5 測量數(shù)據(jù)的處理 (4)在每個(gè)Vi旁列出相應(yīng)的Vi2值。求出標(biāo)準(zhǔn)偏差。nivn1211(5)檢查有無粗大誤差(差錯(cuò)),使用萊特準(zhǔn)則,肖維涅準(zhǔn)則或格茹布斯準(zhǔn)則進(jìn)行。如果發(fā)現(xiàn)有粗大誤差,應(yīng)剔除后重新從步驟(2)開始再計(jì)算。(6)檢查有無系統(tǒng)誤差。使用馬利科夫準(zhǔn)則或阿卑赫梅特準(zhǔn)則進(jìn)行。如果判明有系統(tǒng)誤差存在，則測量結(jié)果不能再用，應(yīng)查明原因，并在消除系統(tǒng)誤差后重新測量取得數(shù)據(jù)。再進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。(7)計(jì)算出算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差。nx (8)寫出測量結(jié)果的最后表達(dá)式xatxA這里ta為置信因數(shù)，應(yīng)根據(jù)所要求的置信概率來選取。當(dāng)不加注明時(shí)，置信概率為0.95。當(dāng)n足夠多時(shí)， 取ta=3。北 京 航 空 航 天 大 學(xué)等精度測量某電壓10次，其數(shù)據(jù)列于表中，將此列數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，步驟如下：1、將測量數(shù)據(jù)列入表中1 1 2.593 2.593+0.