拉氏變換與反變換

1、-作者xxxx-日期xxxx拉氏變換與反變換【精品文檔】2.5 拉氏變換與反變換 機(jī)電控制工程所涉及的數(shù)學(xué)問題較多，經(jīng)常要解算一些線性微分方程。按照一般方法解算比較麻煩，如果用拉普拉斯變換求解線性微分方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，又能夠單獨(dú)地表明初始條件的影響，并有變換表可查找，因而是一種較為簡(jiǎn)便的工程數(shù)學(xué)方法。2.5.1 拉普拉斯變換的定義 如果有一個(gè)以時(shí)間 為自變量的實(shí)變函數(shù) ，它的定義域是 ，那么 的拉普拉斯變換定義為(2.10) 式中， 是復(fù)變數(shù)， （、均為實(shí)數(shù)）， 稱為拉普拉斯積分； 是函數(shù) 的拉普拉斯變換，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)，通常也稱 為 的象函數(shù)，而稱 為 的原函

2、數(shù)；L是表示進(jìn)行拉普拉斯變換的符號(hào)。 式（）表明：拉氏變換是這樣一種變換，即在一定條件下，它能把一實(shí)數(shù)域中的實(shí)變函數(shù)變換為一個(gè)在復(fù)數(shù)域內(nèi)與之等價(jià)的復(fù)變函數(shù) 。2.5.2 幾種典型函數(shù)的拉氏變換1.單位階躍函數(shù) 的拉氏變換單位階躍函數(shù)是機(jī)電控制中最常用的典型輸入信號(hào)之一，常以它作為評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能的標(biāo)準(zhǔn)輸入，這一函數(shù)定義為單位階躍函數(shù)如圖2.7所示，它表示在 時(shí)刻突然作用于系統(tǒng)一個(gè)幅值為1的不變量。單位階躍函數(shù)的拉氏變換式為當(dāng) ，則 。所以 （2.11）圖2.7 單位階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)的拉氏變換指數(shù)函數(shù)也是控制理論中經(jīng)常用到的函數(shù)，其中 是常數(shù)。令 則與求單位階躍函數(shù)同理，就可求得 （）3.正弦函

3、數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換設(shè)，則由歐拉公式，有所以(2.13）同理 (）4.單位脈沖函數(shù) (t) 的拉氏變換單位脈沖函數(shù)是在持續(xù)時(shí)間期間幅值為的矩形波。其幅值和作用時(shí)間的乘積等于1，即。如圖2.8所示。圖2.8 單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其拉氏變換式為此處因?yàn)闀r(shí)，故積分限變?yōu)椤?2.15) 5.單位速度函數(shù)的拉氏變換單位速度函數(shù)，又稱單位斜坡函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為見圖所示。圖2.9 單位速度函數(shù)單位速度函數(shù)的拉氏變換式為利用分部積分法令則所以當(dāng)時(shí)，,則（）6.單位加速度函數(shù)的拉氏變換單位加速度函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為如圖所示圖2.10 單位加速度函數(shù)其拉氏變換式為（）2.5.3 拉氏變換的主要

4、定理根據(jù)拉氏變換定義或查表能對(duì)一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)進(jìn)行拉氏變換和反變換，但利用以下的定理，則對(duì)一般的函數(shù)可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化。1.疊加定理拉氏變換也服從線性函數(shù)的齊次性和疊加性。（1）齊次性 設(shè)，則（2.18）式中常數(shù)。（2）疊加性 設(shè),，則（2.19）兩者結(jié)合起來，就有這說明拉氏變換是線性變換。2.微分定理設(shè)則式中函數(shù)在 時(shí)刻的值，即初始值。 同樣，可得的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換是（）式中,，原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在時(shí)刻的值。如果函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零（稱為零初始條件），則各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為（2.21）3.復(fù)微分定理若 可以進(jìn)行拉氏變換，則除了在 的極點(diǎn)以外，（）式中， 。同樣有一般地，有（）4.積分定理設(shè)

5、 ，則（）式中積分 在 時(shí)刻的值。當(dāng)初始條件為零時(shí)，（）對(duì)多重積分是（）當(dāng)初始條件為零時(shí)，則（）5.延遲定理設(shè) ，且 時(shí)， ，則（）函數(shù)為原函數(shù)沿時(shí)間軸延遲了，如圖2.11所示。圖2.11 函數(shù)6.位移定理在控制理論中，經(jīng)常遇到 一類的函數(shù)，它的象函數(shù)只需把 用代替即可，這相當(dāng)于在復(fù)數(shù)坐標(biāo)中，有一位移。設(shè)，則（）例如 的象函數(shù)，則的象函數(shù)為7.初值定理它表明原函數(shù)在 時(shí)的數(shù)值。（2.30）即原函數(shù)的初值等于 乘以象函數(shù)的終值。8.終值定理設(shè)，并且 存在，則（）即原函數(shù)的終值等于乘以象函數(shù)的初值。 這一定理對(duì)于求瞬態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值是很有用的。9.卷積定理設(shè)，則有（）即兩個(gè)原函數(shù)的卷積分的拉氏變換等

6、于它們象函數(shù)的乘積。式（2.32）中， 為卷積分的數(shù)學(xué)表示，定義為10.時(shí)間比例尺的改變（）式中 比例系數(shù)例如,的象函數(shù) ,則 的象函數(shù)為11.拉氏變換的積分下限在某些情況下,在 處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須明確拉普拉斯積分的下限是 還是 ，因?yàn)閷?duì)于這兩種下限， 的拉氏變換是不同的。為此，可采用如下符號(hào)予以區(qū)分：若在 處 包含一個(gè)脈沖函數(shù)，則因?yàn)樵谶@種情況下顯然，如果 在處沒有脈沖函數(shù)，則有2.5.4 拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換的公式為 （）式中 表示拉普拉斯反變換的符號(hào)通常用部分分式展開法將復(fù)雜函數(shù)展開成有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對(duì)應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù) 。1.部分

7、分式展開法在控制理論中，常遇到的象函數(shù)是的有理分式 為了將 寫成部分分式，首先將 的分母因式分解，則有式中， ， ， 是的根的負(fù)值，稱為的極點(diǎn)，按照這些根的性質(zhì)，可分為以下幾種情況來研究。2. 的極點(diǎn)為各不相同的實(shí)數(shù)時(shí)的拉氏反變換 （）式中， 是待定系數(shù)，它是 處的留數(shù)，其求法如下（2.38）再根據(jù)拉氏變換的迭加定理，求原函數(shù)例 2.1 求的原函數(shù)。解: 首先將 的分母因式分解，則有 即得 3.含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)的拉氏反變換如果 有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) , ，其余極點(diǎn)均為各不相同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)。將 展成式中, 和 可按下式求解即（）因?yàn)?或 ）兩邊都應(yīng)是復(fù)數(shù)，令等號(hào)兩邊的實(shí)部、虛部分別相等，得兩個(gè)方程

8、式，聯(lián)立求解，即得， 兩個(gè)常數(shù)。例 2.2 已知,試求其部分分式。 解: 因?yàn)椋ǎ┖幸粚?duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn), 和一個(gè)極點(diǎn) ，故可將式（2.40）因式分解成（2.41）以下求系數(shù) 、 和 。由式（2.40）和式（2.41）相等，有（2.42） 用乘以上式兩邊，并令，得到上式可進(jìn)一步寫成由上式兩邊實(shí)部和虛部分別相等，可得聯(lián)立以上兩式，可求得為了求出系數(shù),用乘方程（2.42）兩邊，并令,將 代入，得 將所求得的 , 值代入（2.41），并整理后得的部分分式查拉氏變換表便得， 結(jié)果見式（3.16）。例 2.3 已知求。解: 將的分母因式分解，得利用方程兩邊實(shí)部、虛部分別相等得解得，所以這種形式再作適當(dāng)變換

9、：查拉氏變換表得4.中含有重極點(diǎn)的拉氏反變換 設(shè)有r個(gè)重根，則將上式展開成部分分式（2.43） 式中，的求法與單實(shí)數(shù)極點(diǎn)情況下相同。，的求法如下：則） 例 2.4 設(shè) ，試求 的部分分式。 解: 已知（2.45）含有2個(gè)重極點(diǎn)，可將式（2.45）的分母因式分解得（2.46） 以下求系數(shù)、和。將所求得的、值代入式（2.46），即得的部分分式查拉氏變換表可得。例 2.5 求的拉氏反變換。 解: 將展開為部分分式上式中各項(xiàng)系數(shù)為 于是查拉氏變換表，得5.用MATLAB展開部分分式(1) 概述MATLAB是美國Math Works公司的軟件產(chǎn)品，是一個(gè)高級(jí)的數(shù)值分析、處理與計(jì)算的軟件，其強(qiáng)大的矩陣運(yùn)算

10、能力和完美的圖形可視化功能，使得它成為國際控制界應(yīng)用最廣的首選計(jì)算機(jī)工具。SIMULINK是基于模型化圖形的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)仿真軟件，是MATLAB的一個(gè)工具箱，它使系統(tǒng)分析進(jìn)入一個(gè)嶄新的階段，它不需要過多地了解數(shù)值問題，而是側(cè)重于系統(tǒng)的建模、分析與設(shè)計(jì)。其良好的人機(jī)界面及周到的幫助功能使得它廣為科技界和工程界所采用。(2) 用MATLAB進(jìn)行部分分式展開MATLAB有一個(gè)命令用于求B(s)/A(s)的部分分式展開式。 設(shè)s的有理分式為式中 （i=）和(j=）的某些值可能為零。在MATLAB的行向量中，num和den分別表示F(s)分子和分母的系數(shù)，即num=den=1 命令r,p,k=residue

11、(num,den)MATLAB將按下式給出F(s)部分分式展開式中的留數(shù)、極點(diǎn)和余項(xiàng)： 上式與式（2.37）比較，顯然有p(1)=-p1，p(2)=-p2，p(n)=-pn；r(1)=A1,r(2)=A2，r(n)=An；k（s）是余項(xiàng)。例2.6 試求下列函數(shù)的部分分式展開式解：對(duì)此函數(shù)有num=1 11 39 52 26den= 1 10 35 50 24命令r,p,k=residue(num,den)于是得到下列結(jié)果r,p,k=residue(num,den) r=2.5000 p=k= 1則得如果F(s)中含重極點(diǎn)，則部分分式展開式將包括下列諸項(xiàng)式中，p(j)為一個(gè)q重極點(diǎn)。例2.7 試將下列函數(shù)展開成部分分式解：對(duì)于該函數(shù)有num=0 1 4 6den =1 3 3 1命令r,p,k=residue(num,den)將得到如下結(jié)果：r,p,k=residue(num,den)r=p=k= 所以可得注意，本例的余項(xiàng)k為零。2.5.5 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程時(shí)，采用下列步驟：(1) 對(duì)線性微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變?yōu)?的代數(shù)方程；(2) 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；(3) 用拉