二面角問題求解方法大全

1、證明：A丄PD;(U)若為為刃上的動點，胡與平面如所成最大角的正切值為,求二面角你一的余弦值.五法衣二面斥一、定義法：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條宜線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面，在棱 上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與梭垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。例1如圖，四棱錐S ABCD中，底面AECD為矩形，SD丄底面ABCD. AD = /2DC = SD = 29 點m在側(cè)棱SC匕 ZABM =60(I)證明：M在側(cè)棱SC的中點 (II)求二面角S-AM-B的大小二、三垂線法三垂線定雪：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂

2、直，那么它也和這條斜線垂直.通常當(dāng)點P在一個 半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小例2 如圖，在宜四棱柱ABCD-A j B ! JD中.底面 AB | I I i IP-ABCDAB = 3, AD = 2, PA = 2、PD = ZPAB = 60 AQ 丄 PC AD P-BD-A (I)證明：平面磁丄平面如；/7OP V 77 所以二面和B-FC -c的余弦值為 cos Z.OPB = “ 二=7腫加 7練習(xí)2 （2008天津）分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD丄平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB丄 平面ABCD,點P就是二面角P-BD-A的半平面上的一

3、個點，于是可過點P作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線.于是可形成三 V39 垂線定理中的斜線與射形內(nèi)容，從而可得本解法.（答案：二面角P-BD-A的大小為arctan）三補棱法例3 （2008湖南）分析：本題的平面卻和平面 磁沒有明確的交線，依本法顯然要補充 完整（延長仏 龐相交于點E連結(jié)丹：）再在完整圖形中的彤 上找一個適合的點形成二面 角的平面角解之。（I）證略解：（II延長妙、磁相交于點尺 連結(jié)朋過點4作個丄丹于從由（I ）知,平面磁丄平面如所以肋丄平面磁在Rt妙中，因為ZA4F=60 ,所以，侶2Q2二弘在等腰RtAB4F中，取M的中點G連接戲G則AGLPF.連結(jié)HG.由三垂線定理

4、的逆定理得，PFLHG.所以是平面加和平面PBE 所成二面角的平面角（銳角）FB在等腰Rt E4F中.APABAPABAH 一 4AP2+AB2 ?5AG = 222y/5PA = /2.在Rt 加中，25V V10=故平面加和平面PBE所以，在Rt伽中，sin Z.AGH =產(chǎn)AG V2頂所成二面角（銳角）的大小是arcsm練習(xí)3提示：本題需要補棱，可過A點作CB的平行線L （答案：所成的二面角為45。）四、射影而積法（COS0 =）例4（2008北京理）分析：木題要求二而角B-AP-C的大小，如果利用射影面積法解題,不難想到在平面ABP與平面ACP 中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原

5、與S射于是得到下而解法。解：（I）證略（n -ac = bc9 ap = bp9 /.AAPCABPC又PC丄AC, /. PC丄BC又ZACB = 90 ,即AC丄BC 且4CflPC = C3C丄平面PAC 取AP 中點E連結(jié)EE, CE *： AB = BP 9 :.BE丄AP/ EC是BE在平面PAC內(nèi)的射:.CE丄AP.ACE是ZXABE在平面ACP內(nèi)的射影.于是可求得：AB = BP = AP = J AC? +CB】 =2、Q ,BE = yjAB2 -AE2 =、仏,AE = EC =運則 S討= 2S總= AE EB = y/2 、/ = y3 S 牡1J3設(shè)二面角B-AP-

6、C的大小為9,則cos C(14,0),D(020),E(0丄 J F(0,0,l M 解3 = (-1,0,1),反=(0,-口打j麗帰麗56_0+0+1_1所以異面直線BF與 心co怦DE)-岡科d邁-2BFDE （） + 0+1DE所成的角的大小為60.(H)證明：由=CE = (-1,0,1), AD =(0,2,0 可得圧 AM=0,丞AB = 0岡此，CE丄AM, CE丄AD 又A MAAD = A,故CE丄平面AMD. 而CE u平而CDE,所以平fliAMD丄平而CDE.it CE = 0.十口 f-x + z = O .th于是令x = h 口J伽=(hbl).de = o

7、.L.y+z又由題設(shè)，平面ACD的一個法向嚴為v = (0,0,1).練習(xí)5. (2008湖北分析：由已知條件可知：平面ABBiA：丄平面BCGBl丄平面ABC于是很容易想到以B點為空間坐標原點 建立坐標系，并將相關(guān)線段寫成用坐標表示的向量.先求出二面角的兩個半平面的法向量，再利用兩向量夾角公式求解。G(IC 一 U(答案：= arcs in yja2 +c2總之，上述五種二面角求法中，擇使用。(111)解：設(shè)平而CDE的法向雖知=(川y, z)，則ffby a2 +c2yja2 +c2前三種方法可以說是三種增添輔助線的一般規(guī)律，后兩種是兩種不同的解題技巧，考生可選PB = PD1. s AB

8、=AD=a PA 丄 ADnPB = PD, BC = DCAPBD = APDC f 過 B 作 BH丄PC 于 H,連結(jié) DHPC = PCAB = AD = a=DH 丄 PC 故 ZBHD 為二面角 B-PC-D 的平面角 因 PB=/2 a, BC=a, PC= 3 a, - PB BC=SAPBC= - PC BH2則昨半DHW屈，在觀中由余弦定理，得:,二面角B-PC-D的大小是cosZBHD =+DH._ RDi 普十烽卜S）又。VZBHOG則卡2故ZPHA是二面角P-BC-A的2弊：（三垂線法）如圖PA丄平面BD,過A作AH丄BC于H,連結(jié)PH,則PH1BC又AH丄BC,平面

9、角，在 RtAABH 中，AH=ABsinZABC=aSin30aa=-, 在 RtAPHA 中,tanZPHA=PA/AH= = 2 ,則 ZPHA=arctan2.2a23侶(垂而法)如圖 PA丄平面BD BD丄AC =BD丄BC=i BD作平面BDH丄PC于H=PC丄DH、BH=ZBHD為二面角B-PC-D 的平面角，因際屁1PB.BC=SAPBC=1PC.BH, WBH=DH,又屈在觀中由余弦定理，得：cosZBHD=2xTxT2龍1 又 0 VZBHDV 口 則 ZBHD=2 3二面角 B-PC-D2tt的大小是-亍AD 丄 PA1解（面枳法）如圖 AD丄AB =/!）丄于人 同時，BC丄平面BPA于B ,故APBA是APCD在平面PBA上的PAfAB = A的射影，設(shè)平面PBA與平