2.4鏡像法求解靜電場

1、第第 四四 節(jié)節(jié)鏡鏡 象象 法法 求求 解解 靜靜 電電 場場課的類型課的類型：講授課講授課教學(xué)目的：教學(xué)目的：學(xué)習(xí)一種求解靜電場學(xué)習(xí)一種求解靜電場的特殊方法的特殊方法鏡像法（簡潔明了）鏡像法（簡潔明了）教學(xué)方法教學(xué)方法：講解法講解法重點(diǎn)：重點(diǎn)：用鏡像法求解靜電場。用鏡像法求解靜電場。難點(diǎn)：難點(diǎn)：確定像電荷的數(shù)目、每確定像電荷的數(shù)目、每個像電荷的電量的大小與位置。個像電荷的電量的大小與位置。v一、相關(guān)內(nèi)容回顧一、相關(guān)內(nèi)容回顧v四、總結(jié)與討論四、總結(jié)與討論v三、鏡像法應(yīng)用舉例三、鏡像法應(yīng)用舉例v二、鏡像法求解靜電場的基本思想二、鏡像法求解靜電場的基本思想、相關(guān)內(nèi)容回顧、相關(guān)內(nèi)容回顧唯一性定理：唯

2、一性定理：在可均勻分區(qū)的區(qū)在可均勻分區(qū)的區(qū)域域V V內(nèi)給定自由電荷分布內(nèi)給定自由電荷分布，區(qū)域區(qū)域V V內(nèi)的電場由內(nèi)的電場由V V的邊界的邊界S S上的電勢或上的電勢或者電勢法向?qū)?shù)唯一地確定。者電勢法向?qū)?shù)唯一地確定。 如果如果V V內(nèi)含有導(dǎo)體區(qū)域內(nèi)含有導(dǎo)體區(qū)域 ，將導(dǎo)體表，將導(dǎo)體表面視為邊界面。如果不是給定導(dǎo)體面視為邊界面。如果不是給定導(dǎo)體邊界上的電勢或者電勢法向?qū)?shù)，邊界上的電勢或者電勢法向?qū)?shù)，而是給定每個導(dǎo)體上的總電荷，唯而是給定每個導(dǎo)體上的總電荷，唯一性定理同樣成立。這是由電荷與一性定理同樣成立。這是由電荷與電場之間的制約關(guān)系決定的。電場之間的制約關(guān)系決定的。（1 1）分離變量法）

3、分離變量法（ ）（2 2）鏡象法（）鏡象法（? ?）（3 3）格林函數(shù)法（）格林函數(shù)法（? ?）（4 4）多極矩展開法（）多極矩展開法（? ?）靜電學(xué)的基本問題是求滿足給定靜電學(xué)的基本問題是求滿足給定邊界條件的泊松方程的解。主要邊界條件的泊松方程的解。主要方法有四種：方法有四種：分離變量法：分離變量法：適用于所考慮的區(qū)域適用于所考慮的區(qū)域內(nèi)沒有自由電荷分布的情況，求解內(nèi)沒有自由電荷分布的情況，求解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。鏡像法適用范圍？鏡像法適用范圍？a)a)所求區(qū)域內(nèi)有少許幾個點(diǎn)電荷所求區(qū)域內(nèi)有少許幾個點(diǎn)電荷; ;b)b)導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有導(dǎo)體邊界面形狀比較規(guī)則，具有 一定對稱

4、性一定對稱性; ; c)c)給定邊界條件。給定邊界條件。1. 1. 鏡像法概念鏡像法概念二、鏡象法求解靜電場的基本思想二、鏡象法求解靜電場的基本思想 用假想點(diǎn)電荷來等效地代替用假想點(diǎn)電荷來等效地代替導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然導(dǎo)體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷疊后用空間點(diǎn)電荷和等效點(diǎn)電荷疊加給出空間電勢分布。這種等效加給出空間電勢分布。這種等效電荷稱為電荷稱為鏡像電荷鏡像電荷，這種求解方，這種求解方法稱為法稱為鏡像法鏡像法。2. 2. 鏡象法的理論依據(jù)鏡象法的理論依據(jù) 唯一性定理是鏡像法的理論依唯一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。據(jù)。3. 3. 鏡象法的基本思想鏡象法的基本思想

5、在求解區(qū)域之外引入像電荷取在求解區(qū)域之外引入像電荷取代感應(yīng)電荷，但不改變求解區(qū)域代感應(yīng)電荷，但不改變求解區(qū)域的邊值關(guān)系和邊界條件。的邊值關(guān)系和邊界條件。三、鏡象法應(yīng)用舉例三、鏡象法應(yīng)用舉例例例1 1 接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近接地?zé)o限大平面導(dǎo)體板附近有一點(diǎn)電荷有一點(diǎn)電荷Q Q，求空間中的電勢。，求空間中的電勢。 Q 解：解：電荷電荷：一個點(diǎn)電荷：一個點(diǎn)電荷界面界面：接地?zé)o窮大導(dǎo)體：接地?zé)o窮大導(dǎo)體區(qū)域區(qū)域：上半空間（下半空間：上半空間（下半空間電勢為零）電勢為零）已知界面電勢為零，滿足唯已知界面電勢為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定一性定理的要求，可以確定電勢。電勢。上半空間電勢特征：上半空間電

6、勢特征：導(dǎo)體表面是等勢面導(dǎo)體表面是等勢面電場線垂直于導(dǎo)體電場線垂直于導(dǎo)體表面表面 +Q 點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷Q Q使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號的感應(yīng)使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號的感應(yīng)電荷電荷 Q Q 。整個電場是由。整個電場是由Q Q和和 Q Q共同共同產(chǎn)生的。產(chǎn)生的。QQ/Pzrra從物理問題的對稱從物理問題的對稱性和邊界條件考慮，性和邊界條件考慮，假想電荷應(yīng)在左半假想電荷應(yīng)在左半空間空間 z z 軸上。軸上。)()(412222220azyxQazyxQQ和和a如何確定？如何確定？22222200ayxQayxQz舍去正號解？舍去正號解？aaQQ,)(1)(142222220azyxazyxQQ接地導(dǎo)接地導(dǎo)體外有體外

7、有一點(diǎn)電一點(diǎn)電荷的電荷的電勢分布勢分布圖圖例例2 2 真空中有一半徑為真空中有一半徑為R0的接地導(dǎo)體的接地導(dǎo)體球，距球心為球，距球心為a（aR0）處有一點(diǎn)電處有一點(diǎn)電荷荷Q，求空間各點(diǎn)的電勢（如圖）。，求空間各點(diǎn)的電勢（如圖）。 Q 解：解：電荷：電荷：一個點(diǎn)電荷一個點(diǎn)電荷界面：界面：導(dǎo)體球面導(dǎo)體球面區(qū)域：區(qū)域：球面外區(qū)域球面外區(qū)域已知界面電勢為零，滿足唯已知界面電勢為零，滿足唯一性定理的要求，可以確定一性定理的要求，可以確定電勢。電勢。點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷Q使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號的使導(dǎo)體表面產(chǎn)生異號的感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷Q。 +Q 整個電勢是由整個電勢是由Q和和Q共同產(chǎn)生的。共同產(chǎn)生的。（1）根據(jù)對稱）根據(jù)

8、對稱性分析，假想電性分析，假想電荷應(yīng)在圓心和點(diǎn)荷應(yīng)在圓心和點(diǎn)電荷的連線上，電荷的連線上，即極軸上。即極軸上。410rQrQrr球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系PROZQQQr和和 如何確定？如何確定？0000222200RRRRRRRrQrQrQrQ（2 2）由邊界條件確定）由邊界條件確定222200()2cosQRbQ R b222200()2cosQRaQ R a 任意，可得任意，可得 200RR QbQaa baQQ 解取解取200RRQbQaa？)(0)(/cos2/cos214002024020220RRRRaRRaRRaRRaaRQ點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷和接地和接地導(dǎo)體球?qū)w球之間電之間電場線示場線示意圖意

9、圖 ？討論討論： 2/3020202020)cos2(40aRRaRRaQRRRaQRdSQRR00QQ 導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零？導(dǎo)體球接地后，感應(yīng)電荷總量不為零？ 球面感應(yīng)電荷分布球面感應(yīng)電荷分布 （4 4）若導(dǎo)體不接地，電勢不為零，）若導(dǎo)體不接地，電勢不為零， 該怎么分析？該怎么分析？（5 5）若導(dǎo)體不接地，導(dǎo)體上帶上自）若導(dǎo)體不接地，導(dǎo)體上帶上自由電荷，又如何分析？由電荷，又如何分析？（6 6）點(diǎn)電荷和導(dǎo)體球之間的相互作）點(diǎn)電荷和導(dǎo)體球之間的相互作用力，如何求解用力，如何求解? ? 根據(jù)唯一性定理要求的條件求解電磁場根據(jù)唯一性定理要求的條件求解電磁場泊松方程邊值問題；泊松方程邊

10、值問題； 在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電在求解區(qū)域之外引入象電荷取代感應(yīng)電荷，保持求解區(qū)域電荷分布不變；荷，保持求解區(qū)域電荷分布不變； 引入鏡象電荷，不改變求解區(qū)域邊值關(guān)引入鏡象電荷，不改變求解區(qū)域邊值關(guān)系和邊界條件。系和邊界條件。1 1、鏡象法的基本要領(lǐng)、鏡象法的基本要領(lǐng)四、總結(jié)與討論四、總結(jié)與討論 兩種方法都是根據(jù)邊值關(guān)系和邊兩種方法都是根據(jù)邊值關(guān)系和邊界條件進(jìn)行求解；界條件進(jìn)行求解； 可解的條件都是唯一性定理所要可解的條件都是唯一性定理所要求的分區(qū)均勻介質(zhì)和邊界條件。求的分區(qū)均勻介質(zhì)和邊界條件。2 2、與分離變量法比較、與分離變量法比較共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：不同點(diǎn)：不同點(diǎn)： 求解區(qū)域沒有（或求