常微分方程第二版答案第三章

1、習(xí)題31 1 判斷下列方程在什么區(qū)域上保證初值解存在且唯一.1）； 2）； 3）.解 1）因為及在整個平面上連續(xù)，所以在整個平面上滿足存在唯一性定理的條件，因此在整個平面上初值解存在且唯一.2）因為除軸外，在整個平面上連續(xù)，在在整個平面上有界，所以除軸外，在整個平面上初值解存在且唯一.3）設(shè)，則故在的任何有界閉區(qū)域上，及都連續(xù)，所以除軸外，在整個平面上初值解存在且唯一.2 求初值問題 r：.的解的存在區(qū)間.并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計.解 設(shè)，則，所以.顯然，方程在r上滿足解的存在唯一性定理，故過點的解的存在區(qū)間為：.設(shè)是方程的解，是第二次近似解，則，.在區(qū)間上，與的誤差為

2、.取，故.3 討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件.并求通過點的一切解.解 設(shè)，則.故在的任何有界閉區(qū)域上及都是連續(xù)的，因而方程在這種區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件.顯然，是過的一個解.又由解得.其中.所以通過點的一切解為及如圖.4 試求初值問題，的畢卡序列，并由此取極限求解.解 按初值問題取零次近似為，一次近似為 ，二次近似為 ,三次近似為 ,四次近似為 ，五次近似為 ，一般地，利用數(shù)學(xué)歸納法可得次近似為 ，所以取極限得原方程的解為.5 設(shè)連續(xù)函數(shù)對是遞減的，則初值問題，的右側(cè)解是唯一的.證 設(shè)，是初值問題的兩個解，令，則有.下面要證明的是當(dāng)時，有.用反證法.假設(shè)當(dāng)時，不恒

3、等于0，即存在，使得，不妨設(shè)，由的連續(xù)性及，必有，使得，.又對于，有，則有，.由（）以及對是遞減的，可以知道：上式左端大于零，而右端小于零.這一矛盾結(jié)果，說明假設(shè)不成立，即當(dāng)時，有.從而證明方程的右側(cè)解是唯一的.習(xí)題331 利用定理5證明：線性微分方程 （） 的每一個解的（最大）存在區(qū)間為，這里假設(shè)在區(qū)間上是連續(xù)的.證 在任何條形區(qū)域（其中）中連續(xù)，取，則有.故由定理5知道，方程的每一個解在區(qū)間中存在，由于是任意選取的，不難看出可被延拓到整個區(qū)間上.2 討論下列微分方程解的存在區(qū)間： 1）； 2）； 3）.解 1）因在整個平面上連續(xù)可微，所以對任意初始點，方程滿足初始條件的解存在唯一.這個方程

4、的通解為.顯然，均是該方程在上的解.現(xiàn)以，為界將整個平面分為三個區(qū)域來討論.）在區(qū)域內(nèi)任一點，方程滿足的解存在唯一.由延伸定理知，它可以向左、右延伸，但不能與，兩直線相交，因而解的存在區(qū)間為.又在內(nèi)，則方程滿足的解遞減，當(dāng)時，以為漸近線，當(dāng)時，以為漸近線.）在區(qū)域中，對任意常數(shù)，由通解可推知，解的最大存在區(qū)間是，又由于，則對任意，方程滿足的解遞增.當(dāng)時，以為漸近線，且每個最大解都有豎漸近線，每一條與軸垂直的直線皆為某解的豎漸近線.）在區(qū)域中，類似，對任意常數(shù)，解的最大存在區(qū)間是，又由于，則對任意，方程滿足的解遞增.當(dāng)時，以為漸近線，且每個最大解都有豎漸近線.其積分曲線分布如圖（ ）.2）因在整

5、個平面上連續(xù)，且滿足不等式，從而滿足定理5的條件，故由定理5知，該方程的每一個解都以為最大存在區(qū)間.3）變量分離求得通解，故解的存在區(qū)間為.3設(shè)初值問題： ，的解的最大存在區(qū)間為，其中是平面上的任一點，則和中至少有一個成立.證明 因在整個平面上連續(xù)可微，所以對任意初始點，方程滿足初始條件的解存在唯一.很顯然，均是該方程在上的解.現(xiàn)以，為界將整個平面分為三個區(qū)域來進行討論.）在區(qū)域內(nèi)任一點，方程滿足的解存在唯一.由延伸定理知，它可以向左、右延伸，但不能與，兩直線相交，因而解的存在區(qū)間為.這里有，.）在區(qū)域中，由于，積分曲線單調(diào)上升.現(xiàn)設(shè)位于直線的下方，即，則利用的右行解的延伸定理，得出的解可以延

6、伸到的邊界.另一方面，直線的下方，積分曲線是單調(diào)上升的，并且它在向右延伸時不可能從直線穿越到上方.因此它必可向右延伸到區(qū)間.故至少成立.類似可證，對，至少有成立.4 設(shè)二元函數(shù)在全平面連續(xù).求證：對任何，只要適當(dāng)小，方程 的滿足初值條件的解必可延拓到.證明 因為在全平面上連續(xù)，令，則在全平面上連續(xù)，且滿足.對任何，選取，使之滿足.設(shè)方程經(jīng)過點的解為，在平面內(nèi)延伸為方程的最大存在解時，它的最大存在區(qū)間為，由延伸定理可推知，或或為有限數(shù)且.下證后一種情形不可能出現(xiàn).事實上，若不然，則必存在，使.不妨設(shè).于是必存在，使，（）.此時必有，但，從而矛盾. 因此，即方程的解（）必可延拓到.acknowle

7、dgements my deepest gratitude goes first and foremost to professor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. she has walked me through all the stages of the writing of this thesis. without her consistent and illuminating instruction, this thesis could not havereached its pres

8、ent form. second, i would like to express my heartfelt gratitude to professor aaa, who led me into the world of translation. i am also greatly indebted to the professors and teachers at the department of english: professor dddd, professor ssss, who have instructed and helped me a lot in the past two

9、 years. last my thanks would go to my beloved family for their loving considerations and great confidence in me all through these years. i also owe my sincere gratitude to my friends and my fellow classmates who gave me their help and time in listening to me and helping me work out my problems durin

10、g the difficult course of the thesis. my deepest gratitude goes first and foremost to professor aaa , my supervisor, for her constant encouragement and guidance. she has walked me through all the stages of the writing of this thesis. without her consistent and illuminating instruction, this thesis c

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