拉普拉斯變換27530

1、14 拉普拉斯變換重點：1. 拉普拉斯反變換部分分式展開2. 基爾霍夫定律的運算形式、運算阻抗和運算導納、運算電路3. 應(yīng)用拉普拉斯變換分析線性電路的方法和步驟4. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的的定義和極點、零點的概念； *5. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點、極點與沖激響應(yīng)(ch7)的關(guān)系； *6. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點、極點與頻率響應(yīng)的關(guān)系難點： 1. 拉普拉斯反變換的部分分式展開法 2. 電路分析方法及定理在拉普拉斯變換中的應(yīng)用*3. 零點、極點與沖激響應(yīng)的關(guān)系 *4. 零點、極點與頻率響應(yīng)的關(guān)系本章與其它章節(jié)的聯(lián)系：1.是前幾章基于變換思想的延續(xù)。2.是疊加定理的一種表現(xiàn)預習知識：積分變換 卷積積分學時安排：教學方式：課件：

2、參考資料：141 拉普拉斯變換的定義1. 拉普拉斯變換法 拉普拉斯變換法是一種數(shù)學積分變換，其核心是把時間函數(shù) f(t) 與復變函數(shù) f(s) 聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學變換為復頻域問題，把時間域的高階微分方程變換為復頻域的代數(shù)方程，在求出待求的復變函數(shù)后，再作相反的變換得到待求的時間函數(shù)。由于解復變函數(shù)的代數(shù)方程比解時域微分方程較有規(guī)律且有效，所以拉普拉斯變換在線性電路分析中得到廣泛應(yīng)用。2. 拉普拉斯變換的定義一個定義在 0,+) 區(qū)間的函數(shù) f(t) ，它的拉普拉斯變換式 f(s) 定義為 式中s=+j為復數(shù)，被稱為復頻率；f(s)為f(t)的象函數(shù)，f(t)為f(s)的原函數(shù)。由 f

3、(s) 到 f(t) 的變換稱為拉普拉斯反變換，它定義為 式中 c 為正的有限常數(shù)。 注意：1）定義中拉氏變換的積分從 t=0- 開始，即： 它計及 t=0- 至 0+ ，f(t) 包含的沖激和電路動態(tài)變量的初始值，從而為電路的計算帶來方便。2）象函數(shù) f(s) 一般用大寫字母表示, 如i(s)，u(s) ，原函數(shù)f(t) 用小寫字母表示，如i(t),u(t)。3）象函數(shù) f(s) 存在的條件：3.典型函數(shù)的拉氏變換1) 單位階躍函數(shù)的象函數(shù) 2) 單位沖激函數(shù)的象函數(shù) 3) 指數(shù)函數(shù)的象函數(shù) 142 拉普拉斯變換的性質(zhì) 拉普拉斯變換的性質(zhì)列于表13.1中。 表 14-1 拉氏變換的若干性質(zhì)和

4、定理 特性和定理 表 達 式 條 件 和 說 明 線性 a 、 b 為常數(shù) 位移特性 時域延遲 為一非負實數(shù) 頻域延遲 微分 若所有初值為零，則有積分 初值定理 或 存在終值定理 或 所有奇點均在 s 平面左半部 卷積定理 為 與的卷積 應(yīng)用拉氏變換的性質(zhì)，同時借助于表13.2中所示的一些常用函數(shù)的拉普拉斯變式可以使一些函數(shù)的象函數(shù)求解簡化。 表 14-2 拉氏變換簡表 1 cos at sin( at ) cosh at sinh( at ) 例14-1 已知 ，求函數(shù) 的像函數(shù)。解：例14-2 已知 ，求 f(t)= 的象函數(shù)。 解： 根據(jù)積分性質(zhì)和時域延遲性質(zhì) 例14-3 求函數(shù) 的像函

5、數(shù)。 解： 例14-4 求函數(shù) 的像函數(shù)。 解： 根據(jù)微分性質(zhì)，因為 ，所以 例14-5 求函數(shù) 的像函數(shù)。 解： 例14-6 求 的像函數(shù)。 例14-7 求函數(shù) 的像函數(shù)。 143 拉普拉斯反變換的部分分式展開 1拉普拉斯反變換法 用拉氏變換求解線性電路的時域響應(yīng)時，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法有：1） 利用公式 2) 對簡單形式的 f(s) 可以查拉氏變換表得原函數(shù) 3) 把 f(s) 分解為簡單項的組合，也稱部分分式展開法。 則 2. 部分分式展開法用部分分式法求拉氏反變換(海維賽德展開定理)，即將展開成部分分式，成為可在拉氏變換表中查到的 的簡單

6、函數(shù)，然后通過反查拉氏變換表求取原函數(shù)。設(shè) ，的階次不高于的階次，否則，用除 ，以得到一個的多項式與一個余式（真分式）之和。部分分式為真分式時，需對為分母多項式作因式分解，求出=0的根。設(shè)象函數(shù)的一般形式： 即 f（s）為真分式。下面討論 =0 的根的情況。 1） 若=0 有 n 個不同的單根 p1、p2pn 。利用部分分式可將f(s)分解為： 待定常數(shù)的確定： 方法一：按 ， i =1, 2, 3, , n 來確定。 方法二：用求極限方法確定ai的值 得原函數(shù)的一般形式為： 2） 若=0有共軛復根和 ，可將f(s)分解為： 則， 因為f(s)為實系數(shù)多項式之比，故和為共軛復數(shù)。設(shè)， 3） =

7、0 的具有重根時，因含有 的因式。 則， ； ； ；總結(jié)上述得由 f(s) 求 f( t) 的步驟： 1） n = m 時將 f(s) 化成真分式和多項式之和； 2） 求真分式分母的根，確定分解單元； 3） 將真分式展開成部分分式，求各部分分式的系數(shù)； 4） 對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換。例14-8 已知 求原函數(shù) 解法一： 設(shè) 其中 所以 解法二 例14-9 已知 求原函數(shù) 。 解： 因為 的根為： 所以 例14-10 已知 ，求原函數(shù) 解： ； ； ； 則， 例14-11 已知 ，求原函數(shù) 。 解： 原式 所以 144 運算電路 應(yīng)用拉普拉斯變換求解線性電路的方法稱為運算法。運算

8、法的思想是：首先找出電壓、電流的像函數(shù)表示式，而后找出 r 、 l 、 c 單個元件的電壓電流關(guān)系的像函數(shù)表示式，以及基爾霍夫定律的像函數(shù)表示式，得到用像函數(shù)和運算阻抗表示的運算電路圖，列出 復頻域的代數(shù)方程，最后求解出電路變量的象函數(shù)形式，通過拉普拉斯反變換，得到所求電路變量的時域形式。顯然運算法 與相量法的基本思想類似，因此，用相量法分析計算正弦穩(wěn)態(tài)電路的那些方法和定理在形式上均可用于運算法。1. 電路定律的運算形式 基爾霍夫定律的時域表示： 把時間函數(shù)變換為對應(yīng)的象函數(shù)： 得基爾霍夫定律的運算形式： 2.電路元件的運算形式 根據(jù)元件電壓、電流的時域關(guān)系，可以推導出各元件電壓電流關(guān)系的運算

9、形式。1) 電阻 r 的運算形式 圖 14.1（a） 圖14.1(a)所示電阻元件的電壓電流關(guān)系為：u=ri，兩邊取拉普拉斯變換，得電阻元件 vcr 的運算形式： 或 根據(jù)上式得電阻 r 的運算電路如圖（b）所示。 圖 14.1（b）2) 電感 l 的運算形式圖14.2(a)所示電感元件的電壓電流關(guān)系為 兩邊取拉普拉斯變換并根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)，得電感元件 vcr 的運算形式： 或 根據(jù)上式得電感l(wèi)的運算電路如圖(b)和圖(c)所示。圖中表示附加電壓源的電壓，表示附加電流源的電流。式中分別稱為電感的運算阻抗和運算導納。 圖 14.2（a） 圖 14.2（b） 圖 14.2（c） 3) 電容

10、c 的運算形式圖14.3(a)所示電容元件的電壓電流關(guān)系為： 兩邊取拉普拉斯變換并根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)，得電容元件 vcr 的運算形式： 或 根據(jù)上式得電容 c 的運算電路如圖(b)和圖(c)所示。圖中表示附加電流源的電流，表示附加電壓源的電壓。式中 分別為電容的運算阻抗和運算導納。 圖 14.3（a）圖 14.3（b）圖 14.3（c）4) 耦合電感的運算形式圖14.4（a）所示耦合電感的電壓電流關(guān)系為： 兩邊取拉普拉斯變換，得耦合電感 vcr的運算形式：圖14.4（a） 根據(jù)上式得耦合電感的運算電路如圖(b)所示。圖中和都是附加電壓源。式中 分別稱為互感運算阻抗和互感運算導納。 5) 受

11、控源的運算形式圖14.5（a）所示 vcvs 的電壓電流關(guān)系為： 兩邊取拉普拉斯變換，得運算形式為： 圖14.4（b）根據(jù)上式得 vcvs 的運算電路如圖（b）所示。 圖14.5（a） 圖14.5（b）3. 運算電路模型 圖14.6（a）圖14.6（b）圖14.6為rlc 串聯(lián)電路，設(shè)電容電壓的初值為，電感電流的初值為，其時域方程為： 取拉普拉斯變換，得運算方程 或?qū)憺?即： 上式稱運算形式的歐姆定律，式中稱運算阻抗。根據(jù)上式得圖（b）所示的運算電路。因此，運算電路實際是：（1） 電壓、電流用象函數(shù)形式（2） 元件用運算阻抗或運算導納表示；（3） 電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。例14

12、-12 給出圖（a）所示電路的運算電路模型。已知 例 14-12 圖（a）例 14-12 圖（b）解： 運算電路如圖（b）所示。 例14-13 給出圖（a）所示電路的運算電路模型，已知 t=0 時打開開關(guān)。 例 14-13 圖（a）例 14-13 圖（b）解：由圖（a）可知：uc(0-)=25v，il(0-)=5a，則運算電路模型如圖（b）所示。 注意圖中的附加電源。145 應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路 應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路計算步驟為： 1. 由換路前的電路計算 uc(0-) , il(0-) 。 2. 畫運算電路模型，注意運算阻抗的表示和附加電源的作用。 3. 應(yīng)用電路分析方法求

13、象函數(shù)。 4. 反變換求原函數(shù)。 注意：1）運算法直接求得全響應(yīng)；2）用 0- 初始條件，躍變情況自動包含在響應(yīng)中；例14-14 電路如圖（a）所示，開關(guān) s 原來閉合，求 s 在 0 時刻打開后電路中的電流及電感元件上的電壓。其中，r1=2，r2=2，l1=0.3h，l2=0.1h，us=10v 。 例 14-14 圖（a）例 14-14 圖（b）解：圖（b）是開關(guān) s 打開后的運算電路圖。 l1 中的初始電流為 us/r1=5a 。則 故 a 所以 v v例14-15電路如圖(a)所示，t=0 時刻開關(guān) s 閉合，用運算法求 s 閉合后電路中感元件上的電壓及電流。已知 。 例 14-15

14、圖（a）解： (1)首先計算初值由已知條件和圖(a)得： (2)畫運算電路如圖(b)所示。其中 例 14-15 圖（b） (3)應(yīng)用回路法，回路電流方向如圖示，得回路方程： 從中解得： (4) 反變換求原函數(shù)有三個根： 令 注意： 例14-16 電路如圖（a）所示，已知，用運算法求電路中電容元件上的電壓及電流。 例 14-16 圖（a）例 14-16 圖（b） 解： 由已知條件知：，運算電路如圖（b）所示。有： 例14-17 電路如圖（a）所示，t=0 時打開開關(guān) k , 求電流 i1,i2。 已知： 例 14-17 圖（a）例 14-17 圖（b）解： 由 圖（b）所示的運算電路得： 所以

15、14.6 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義 1. 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義 電路在單一的獨立激勵下，其零狀態(tài)響應(yīng) r(t) 的象函數(shù) r(s)與激勵e(t)的象函數(shù)e(s)之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)h(s)，即： 2 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的類型 設(shè)圖 14.1 中，為激勵電壓、為激勵電流；為響應(yīng)電壓、為響應(yīng)電流。 根據(jù)激勵 可以是獨立的電壓源或獨立的電流源，響應(yīng) 可以是電路中任意兩點之間的電壓或任意一支路的電流，故網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以有以下幾種類型： 圖 14.1 驅(qū)動點阻抗： ； 驅(qū)動點導納： ； 轉(zhuǎn)移阻抗： ； 轉(zhuǎn)移導納： ；電流轉(zhuǎn)移函數(shù)： ； 電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)： 。 注意： 1）根據(jù)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義，若 e(s)=1 ，即e(t)=(t)，

16、則 r(s)=h(s) ，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)就是該響應(yīng)的象函數(shù)。所以，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù) h(t) 為電路的單位沖激響應(yīng)，因此如果已知電路某一處的單位沖激響應(yīng) h(t) ，就可通過拉氏變換得到該響應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)。 2）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)僅與網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和電路參數(shù)有關(guān)，與激勵的函數(shù)形式無關(guān)，因此如果已知某一響應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù) h(s)，它在某一激勵 e(s) 下的響應(yīng) r(s) 就可表示為r(s)=h(s)e(s)例141 圖示電路中，已知時，。求時， 例 14-1 圖解： 網(wǎng)絡(luò)函數(shù) = 當 時， 所以 例142 圖示 電路激勵 i(t)= d(t) ，求沖擊響應(yīng) h(t) ，即電容電壓 uc(t) 。 例 14-2 圖（

17、a）解： 電路的運算圖如圖（b）所示，有： 例 14-2 圖（b） 注意：h(s) 僅取決于網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)與結(jié)構(gòu)，與輸入e(s)無關(guān)，因此網(wǎng)絡(luò)函數(shù)反映了網(wǎng)絡(luò)中響應(yīng)的基本特性。例143 圖(a)所示電路激勵為，響應(yīng)為 求階躍響應(yīng) 。 例 14-2 圖（a）例 14-2 圖(b) 解： 電路的運算圖如圖（b）所示，有： 14.7 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點和零點 網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的 h(s) 的分母和分子都是 s 的多項式，故一般形式為 其中，h0是一個常數(shù)，zi(i=1,2,m )是n(s)=0 的根，pj(j =1,2, n)是d(s)=0 的根。當s =zi時，h(s)=0，故zi(i =1,2, m )稱為網(wǎng)絡(luò)函

18、數(shù)的零點；當s =pj時，h(s)=，故 pj( j=1,2, n )稱為網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點。在復平面（也稱為 s 平面）中， h(s) 的零點用“ ”表示，極點用“ ”表示，構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點分布圖如圖 14.2 所示。 圖 14.2例 14-4 圖例144 已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)， 繪出其極零點圖。解： 即 的零點為： 即 的極點為： 零極點圖如例 14-4 圖所示。 14.8 零點、極點與沖激響應(yīng)h(s) 和 e(s) 一般為有理分式，因此可寫為 式中，而、都是 s 的多項式。用部分分式法求響應(yīng)的原函數(shù)時，的根將包含和的根。 令分母d(s)=0，解出根pi,( i=1, n )， 同時，令分母q(

19、s)=0，解出根 pj,(j=1, m ) 。那么， 則響應(yīng)的時域形式為： + 其中響應(yīng)中包含的根，屬于自由分量或瞬態(tài)分量；響應(yīng)中包含的根（即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點），屬于強制分量。因此，自由分量是由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)決定的，強制分量是由強制電源決定的?？梢姡琩(s)=0 的根對決定r(s)的變化規(guī)律起決定性的作用。由于單位沖激響應(yīng)h(t) 的特性就是時域響應(yīng)中自由分量的特性，所以分析網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點與沖激響應(yīng)的關(guān)系就可預見時域響應(yīng)的特點。若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)為： 上式說明： 1)若的極點 都位于負實軸上，為負實根時，為衰減指數(shù)函數(shù)，則將隨t 的增大而衰減，稱這種電路是穩(wěn)定的；若有一

20、個極點為正實根時，為增長的指數(shù)函數(shù)，則將隨t 的增長而增長；而且越大，衰減或增長的速度越快，稱這種電路是不穩(wěn)定的。 2)當極點 為共軛復數(shù)時，由于 是以指數(shù)曲線為包絡(luò)線的正弦函數(shù)，其實部的正或負確定增長或衰減的正弦項。 3)當 為虛根時，則將是純正弦項。 圖14.3畫出了網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點分別為負實數(shù)、正實數(shù)、虛數(shù)以及共軛復數(shù)時，對應(yīng)的時域響應(yīng)的波形。注意：僅由網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)及元件值確定，因而將稱為該網(wǎng)絡(luò)變量的自然頻率或固有頻率。圖 14.3例145 已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有兩個極點分別在 s=0 和 s=-1 處，一個單零點在 s=1 處，且有 ，求 h(s) 和 h(t）。 解： 由已知的零、極點可知： 所以 由于 ， 解得： k =-10 所以 14.9 零點、極點與頻率響應(yīng)令網(wǎng)絡(luò)函數(shù) h(s) 中復頻率 s