第五章 平穩(wěn)時(shí)間序列模型建立

1、引言：對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列建立模型一般要經(jīng)過(guò)以下幾步：1.模型識(shí)別：根據(jù)系統(tǒng)性質(zhì)，以及所提供的時(shí)序據(jù)的概貌，提出一個(gè)相適的類型的模型、模型的定階等。2.模型參數(shù)估計(jì)：就是根據(jù)實(shí)際的觀測(cè)數(shù)據(jù)具體地確定該數(shù)學(xué)模型所包含的項(xiàng)數(shù)以及各項(xiàng)系數(shù)的數(shù)值。3.模型的診斷檢驗(yàn)：包括模型的適應(yīng)性檢驗(yàn)等。4.模型的應(yīng)用：如預(yù)測(cè)。本章主要介紹前三部分的內(nèi)容。第五章 平穩(wěn)時(shí)間序列模型的建立第五章 平穩(wěn)時(shí)間序列模型的建立第一節(jié) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型的識(shí)別第二節(jié) 模型的定階第三節(jié) ARMA模型參數(shù)估計(jì)第四節(jié) 模型的診斷檢驗(yàn)第五節(jié) 建模的其它方法第五節(jié) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型實(shí)例第一節(jié) 平穩(wěn)時(shí)間序列模型的識(shí)別一、模型識(shí)別前的說(shuō)明二、模型識(shí)別

2、方法返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)一、模型識(shí)別前的說(shuō)明（一）關(guān)于非平穩(wěn)序列（一）關(guān)于非平穩(wěn)序列本章所介紹的是對(duì)零均值平穩(wěn)序列零均值平穩(wěn)序列建立ARMA模型，因此，在對(duì)實(shí)際的序列進(jìn)行模型識(shí)別之前，應(yīng)首先檢驗(yàn)序列是否平穩(wěn)，若序列非平穩(wěn)，應(yīng)先通過(guò)適當(dāng)變換將其化為平穩(wěn)序列，然后再進(jìn)行模型識(shí)別。返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)序列的非平穩(wěn)包括均值非平穩(wěn)和方差非平穩(wěn)。均值非平穩(wěn)序列平穩(wěn)化的方法：差分變換。方差非平穩(wěn)序列平穩(wěn)化的方法：對(duì)數(shù)變換、平方根變換等。序列平穩(wěn)性的檢驗(yàn)方法和手段主要有：序列趨勢(shì)圖、自相關(guān)圖、單位根檢驗(yàn)、非參數(shù)檢驗(yàn)方法等等。單位根檢驗(yàn)定義通過(guò)檢驗(yàn)特征根是在單位圓內(nèi)還是單位圓上（外），來(lái)檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性

3、方法 DF檢驗(yàn) ADF檢驗(yàn) PP檢驗(yàn)DF檢驗(yàn)假設(shè)條件 原假設(shè)：序列非平穩(wěn) 備擇假設(shè)：序列平穩(wěn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 時(shí) 時(shí)110：H110：H11) 1 , 0()()(1111NSt漸近11)(111SDF統(tǒng)計(jì)量 時(shí) 時(shí)1111) 1 , 0()()(1111NSt漸近1021011)()()()(1drrWrdWrWS極限D(zhuǎn)F檢驗(yàn)的等價(jià)表達(dá)等價(jià)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量100110其中：HH) (SDF檢驗(yàn)的三種類型第一種類型第二種類型第三種類型tttxx11tttxx11tttxtx11ADF檢驗(yàn)DF檢驗(yàn)只適用于AR(1)過(guò)程的平穩(wěn)性檢驗(yàn) 。為了使檢驗(yàn)?zāi)苓m用于AR(p)過(guò)程的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，人們對(duì)檢驗(yàn)進(jìn)行了一定的修

4、正，得到增廣檢驗(yàn)（Augmented DickeyFuller），簡(jiǎn)記為ADF檢驗(yàn)ADF檢驗(yàn)的原理若AR(p)序列有單位根存在，則自回歸系數(shù)之和恰好等于1 1010211111pppppADF檢驗(yàn)等價(jià)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量1002110pHH其中：) (SADF檢驗(yàn)的三種類型第一種類型第二種類型第三種類型tptpttxxx11tptpttxxx11tptpttxxtx11二、模型識(shí)別方法（一）平穩(wěn)序列模型識(shí)別要領(lǐng)零均值平穩(wěn)序列模型識(shí)別的主要根據(jù)是序列的自相關(guān)函數(shù)(ACF)和偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)的特征。若序列xt的偏自相關(guān)函數(shù) 在kp以后截尾，即kp 時(shí)， ，而且它的自相關(guān)函數(shù) 拖尾，則可判斷此序列

5、是AR(p)序列。kk0kkk返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)若序列xt的自相關(guān)函數(shù) 在kq以后截尾，即kq 時(shí)， ，而且它的偏自相關(guān)函數(shù) 拖尾，則可判斷此序列是MA(q)序列。若序列xt的自相關(guān)函數(shù)、偏相關(guān)函數(shù)都呈拖尾形態(tài)，則可斷言此序列是ARMA序列。若序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)不但都不截尾，而且至少有一個(gè)下降趨勢(shì)勢(shì)緩慢或呈周期性衰減，則可認(rèn)為它也不是拖尾的，此時(shí)序列是非平穩(wěn)序列，應(yīng)先將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列后再進(jìn)行模型識(shí)別。kk0kk（二）樣本自相關(guān)函數(shù)(SACF)和偏自相關(guān)函數(shù)(SPACF)截尾性的判斷。前面模型識(shí)別方法中有關(guān)自相關(guān)函數(shù) 、偏自相關(guān)函數(shù) 截尾性的判斷僅是理論上的，實(shí)際上的樣本自相

6、關(guān)函數(shù) 和樣本偏自相關(guān)函數(shù) 僅是理論上的一個(gè)估計(jì)值，由于樣本的隨機(jī)性，免不了有誤差。因此需要根據(jù)SACF和SPACF對(duì)ACF和PACF的截尾性作一判斷。kkkkkk1. 樣本自相關(guān)函數(shù)截尾性的判斷方法理論上證明：若序列xt為MA(q)序列，則kq后，序列的樣本自相關(guān)函數(shù) 漸近服從正態(tài)分布，即：k)21 (1, 0(12qllknN故由正態(tài)分布理論可知：此處n是樣本容量。%45.95)21 (2(%3 .68)21 (1(5 . 0125 . 012qllkqllknPnP對(duì)于kq，若 的個(gè)數(shù)不超過(guò)總個(gè)數(shù)的31.7%，或 的個(gè)數(shù)不超過(guò)總個(gè)數(shù)的4.5%，就可認(rèn)為 在kq時(shí)是截尾的。5 . 012)

7、21 (1qllkn5 . 012)21 (1qllkn在實(shí)際進(jìn)行檢驗(yàn)實(shí)際進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，可對(duì)每個(gè)k0，分別檢驗(yàn) （通常取 ）中滿足 的個(gè)數(shù)所占的百分比是否超過(guò)31.7%，或滿足 的個(gè)數(shù)是否超過(guò)4.5%。若k=1,2,q-1都超過(guò)了 而k=q時(shí)未超過(guò)，就可認(rèn)為 在kq時(shí)是截尾的。mkkk,2110nmnm或nk1nk2k2. 樣本偏自相關(guān)函數(shù)截尾性的判斷方法可以證明：若序列xt為AR(p)序列，則kp后，序列的樣本偏自相關(guān)函數(shù) 服從漸近正態(tài)分布，即近似的有： 此處n表示樣本容量。于是可得：kk)1,0(nNkk%5 . 4)2(%7 .31)1(nPnPkkkk在實(shí)際進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，可對(duì)每個(gè)k0，分別

8、檢驗(yàn) （通常取 ）中滿足 的個(gè)數(shù)所占的百分比是否超過(guò)31.7%，或滿足 的個(gè)數(shù)是否超過(guò)4.5%。若k=1,2,p-1都超過(guò)了 ，而k=p時(shí)未超過(guò)，就可認(rèn)為 在kq時(shí)是截尾的。10nmnm或mkmkkkkk,2, 21, 1,nkk1nkk2kk（三）關(guān)于ARMA序列階數(shù)的確定ARMA序列的階數(shù)，直接通過(guò)自相關(guān)圖較難確定，較常用的方法有Pandit-Wu方法(后將介紹)或延伸自相關(guān)函數(shù)(EACF)法。第二節(jié) 模型的定階 模型的定階又稱模型的過(guò)擬合檢驗(yàn)，分兩種情況，一是評(píng)價(jià)模型是否包含過(guò)多的參數(shù)。二是評(píng)價(jià)模型是否參數(shù)不足，需要擬合額外的參數(shù)。 模型定階的準(zhǔn)則主要有殘差方差圖定階法、F檢驗(yàn)定階法、A

9、IC和SBC定階準(zhǔn)則等等。返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第二節(jié) 模型的定階一、殘差方差圖定階法二、F檢驗(yàn)定階法三、最佳準(zhǔn)則函數(shù)定法返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)一、殘差方差圖定階法1.基本思想如果擬合的模型階數(shù)與真正階數(shù)不符合，則模型的殘差平方和SSE必然偏大，殘差方差 將比真正模型的殘差方差大。如果是不足擬合，那么逐漸增加模型階數(shù)，模型的殘差方差會(huì)漸減少，直到殘差方差達(dá)到最小。如果是過(guò)度擬合，此時(shí)逐漸少模型階數(shù)，模型殘差方差分逐漸下降，直到殘差方差達(dá)到最小。返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)2.殘差方差的估計(jì)公式模型的參數(shù)個(gè)數(shù)實(shí)際觀察值的個(gè)數(shù)模型的剩余平方和2a注：式中 “實(shí)際觀察值個(gè)數(shù)”是指擬合模型時(shí)實(shí)際使用的

10、觀察值項(xiàng)數(shù)，即經(jīng)過(guò)平穩(wěn)化后的有效樣本容量。設(shè)原序列有n個(gè)樣本，若建立的模型中有含有自回歸AR部分, 且階數(shù)為p，則實(shí)際觀察值個(gè)數(shù)為n-p個(gè)。若沒(méi)有AR部分，則實(shí)際觀察值個(gè)數(shù)即為n個(gè)。模型的參數(shù)個(gè)數(shù)指模型中所含的參數(shù)個(gè)數(shù)，如：若是不帶常數(shù)項(xiàng)的ARMA(p,q)模型，參數(shù)個(gè)數(shù)為p+q個(gè)，若帶有常數(shù)項(xiàng)，則參數(shù)個(gè)數(shù)為p+q+1個(gè)。用Eviews建立ARMA模型后，可直接得到剩余平方和SSE(Sum squared resid)輸出結(jié)果中也可直接得到殘差標(biāo)準(zhǔn)差： S.E.of regression ，此項(xiàng)的平方即為殘差方差。因此，對(duì)不同的模型殘差方差進(jìn)行比較，直接比較此項(xiàng)既可。例：以 磨輪剖面數(shù)據(jù)為例，

11、分別建立適應(yīng)性模型，輸出結(jié)果見圖示，從中選擇最佳模型，乘余平方和 1473.726 1539.4681522.27原序列長(zhǎng)度250250250p201參數(shù)個(gè)數(shù)222自由度246248247殘差方差5.990756 6.207532 6.1630364殘差標(biāo)準(zhǔn)差2.452.492.48三個(gè)模型殘差方差比較三個(gè)模型殘差方差比較二、F檢驗(yàn)定階法1.基本思想（以一般情形和ARMA(p,q)模型為例）先對(duì)數(shù)據(jù)擬合ARMA(p,q)模型(假設(shè)不含常數(shù)項(xiàng))，設(shè)其殘差平方和為Q0，再對(duì)數(shù)據(jù)擬合 較低階的模型ARMA(p-m,q-s)，設(shè)其殘差平方和為Q1。建立原假設(shè)H0：00, 000, 02121qsqsq

12、pmpmp返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè))( ,()()(001qppnsmFqppnQsmQQF在原假設(shè)成立的條件下有：于是計(jì)算統(tǒng)計(jì)量F，在給定的顯著性水平下。若FF ，則拒絕原假設(shè)，說(shuō)明兩模型差異是顯著的，此時(shí)模型階數(shù)存在升高的可能性。若F1）檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：Q統(tǒng)計(jì)量（Q statistic）mkknQ12其中，n為樣本容量，m為滯后長(zhǎng)度。Q近似地服從 。)(2mk二、模型的平穩(wěn)性和可逆性分析（一）平穩(wěn)性分析 若是AR(P)模型或ARMA(p,q)模型，其平穩(wěn)性條件是自回歸部分所對(duì)應(yīng)的差分方程的特征方程的特征根必須都小于。 若特征根有大于或等于1的，說(shuō)明模型是非平穩(wěn)的。 特別是當(dāng)特征根等于

13、1或非常接近于1時(shí)，說(shuō)明序列為單位根過(guò)程，此時(shí)需要對(duì)原序列進(jìn)行適當(dāng)?shù)牟罘肿儞Q(有幾個(gè)單位根，作幾次差分)使其平穩(wěn)，然后再對(duì)變換后的序列建模。返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)(2)可逆性分析對(duì)于MA(q)和ARMA(p,q)模型，模型的可逆性條件是移動(dòng)平均部分所對(duì)應(yīng)的差分方程的特征都小于1。若有特征根大于1或等于1的，說(shuō)明模型是非可逆的，此時(shí)要對(duì)序列作適當(dāng)?shù)淖儞Q，再建模。特別是當(dāng)特征根有等于1或很接近1，說(shuō)明此模型有過(guò)度差分之誤。因此，應(yīng)適當(dāng)減少差分階數(shù)再建模，以使模型滿足可逆性條件。Eviews 估計(jì)結(jié)果直接輸出自回歸部分所對(duì)應(yīng)的差分方程的特征根:inverted AR root.移動(dòng)平均部分所對(duì)應(yīng)的

14、差分方程的特征方程的特征根：inverted MA root.第五節(jié) 建模的其它方法引：前面介紹的是Box-Jenkins建模法，即主要是以ACF、PACF的統(tǒng)計(jì)特性為依據(jù)，但由于我們只能根據(jù)樣本的SACF、SPACF代替理論的ACF、PACF，這樣不可避免會(huì)產(chǎn)生偏差。本節(jié)主要介紹另外一種建模方法Pandit-wu方法。返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第五節(jié) 建模的其它方法一、Pandit-Wu建模方法的基本思想二、建模步驟三、Pandit-Wu方法建模舉例返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)一、Pandit-Wu建模方法的基本思想（P113）Pandit-Wu建模方法以下面認(rèn)識(shí)為依據(jù)：即任一平穩(wěn)序列總可以用一個(gè)ARMA(p,p-1)模型來(lái)表示，而AR(p)，MA(q)以及ARMA(p,q)都可看作是ARMA(p,p-1)模型的特例。Pandit-Wu方法的基本思想為：逐漸增加模型的階數(shù)，擬合較高階的ARMA(p,p-1)模型，直到再增加模型的階數(shù)而剩余平方和不顯著減少為止。返回本節(jié)首頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)二、建模步驟(1)將序列平穩(wěn)化、零均值化(也可將均值作為一個(gè)參數(shù)估計(jì))。(2)從p=1開始，