第五章 平穩(wěn)時間序列模型建立

1、引言：對平穩(wěn)時間序列建立模型一般要經(jīng)過以下幾步：1.模型識別：根據(jù)系統(tǒng)性質(zhì)，以及所提供的時序據(jù)的概貌，提出一個相適的類型的模型、模型的定階等。2.模型參數(shù)估計：就是根據(jù)實際的觀測數(shù)據(jù)具體地確定該數(shù)學模型所包含的項數(shù)以及各項系數(shù)的數(shù)值。3.模型的診斷檢驗：包括模型的適應性檢驗等。4.模型的應用：如預測。本章主要介紹前三部分的內(nèi)容。第五章 平穩(wěn)時間序列模型的建立第五章 平穩(wěn)時間序列模型的建立第一節(jié) 平穩(wěn)時間序列模型的識別第二節(jié) 模型的定階第三節(jié) ARMA模型參數(shù)估計第四節(jié) 模型的診斷檢驗第五節(jié) 建模的其它方法第五節(jié) 平穩(wěn)時間序列模型實例第一節(jié) 平穩(wěn)時間序列模型的識別一、模型識別前的說明二、模型識別

2、方法返回本節(jié)首頁下一頁上一頁一、模型識別前的說明（一）關于非平穩(wěn)序列（一）關于非平穩(wěn)序列本章所介紹的是對零均值平穩(wěn)序列零均值平穩(wěn)序列建立ARMA模型，因此，在對實際的序列進行模型識別之前，應首先檢驗序列是否平穩(wěn)，若序列非平穩(wěn)，應先通過適當變換將其化為平穩(wěn)序列，然后再進行模型識別。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁序列的非平穩(wěn)包括均值非平穩(wěn)和方差非平穩(wěn)。均值非平穩(wěn)序列平穩(wěn)化的方法：差分變換。方差非平穩(wěn)序列平穩(wěn)化的方法：對數(shù)變換、平方根變換等。序列平穩(wěn)性的檢驗方法和手段主要有：序列趨勢圖、自相關圖、單位根檢驗、非參數(shù)檢驗方法等等。單位根檢驗定義通過檢驗特征根是在單位圓內(nèi)還是單位圓上（外），來檢驗序列的平穩(wěn)性

3、方法 DF檢驗 ADF檢驗 PP檢驗DF檢驗假設條件 原假設：序列非平穩(wěn) 備擇假設：序列平穩(wěn)檢驗統(tǒng)計量 時 時110：H110：H11) 1 , 0()()(1111NSt漸近11)(111SDF統(tǒng)計量 時 時1111) 1 , 0()()(1111NSt漸近1021011)()()()(1drrWrdWrWS極限D(zhuǎn)F檢驗的等價表達等價假設檢驗統(tǒng)計量100110其中：HH) (SDF檢驗的三種類型第一種類型第二種類型第三種類型tttxx11tttxx11tttxtx11ADF檢驗DF檢驗只適用于AR(1)過程的平穩(wěn)性檢驗 。為了使檢驗能適用于AR(p)過程的平穩(wěn)性檢驗，人們對檢驗進行了一定的修

4、正，得到增廣檢驗（Augmented DickeyFuller），簡記為ADF檢驗ADF檢驗的原理若AR(p)序列有單位根存在，則自回歸系數(shù)之和恰好等于1 1010211111pppppADF檢驗等價假設檢驗統(tǒng)計量1002110pHH其中：) (SADF檢驗的三種類型第一種類型第二種類型第三種類型tptpttxxx11tptpttxxx11tptpttxxtx11二、模型識別方法（一）平穩(wěn)序列模型識別要領零均值平穩(wěn)序列模型識別的主要根據(jù)是序列的自相關函數(shù)(ACF)和偏自相關函數(shù)(PACF)的特征。若序列xt的偏自相關函數(shù) 在kp以后截尾，即kp 時， ，而且它的自相關函數(shù) 拖尾，則可判斷此序列

5、是AR(p)序列。kk0kkk返回本節(jié)首頁下一頁上一頁若序列xt的自相關函數(shù) 在kq以后截尾，即kq 時， ，而且它的偏自相關函數(shù) 拖尾，則可判斷此序列是MA(q)序列。若序列xt的自相關函數(shù)、偏相關函數(shù)都呈拖尾形態(tài)，則可斷言此序列是ARMA序列。若序列的自相關函數(shù)和偏自相關函數(shù)不但都不截尾，而且至少有一個下降趨勢勢緩慢或呈周期性衰減，則可認為它也不是拖尾的，此時序列是非平穩(wěn)序列，應先將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列后再進行模型識別。kk0kk（二）樣本自相關函數(shù)(SACF)和偏自相關函數(shù)(SPACF)截尾性的判斷。前面模型識別方法中有關自相關函數(shù) 、偏自相關函數(shù) 截尾性的判斷僅是理論上的，實際上的樣本自相

6、關函數(shù) 和樣本偏自相關函數(shù) 僅是理論上的一個估計值，由于樣本的隨機性，免不了有誤差。因此需要根據(jù)SACF和SPACF對ACF和PACF的截尾性作一判斷。kkkkkk1. 樣本自相關函數(shù)截尾性的判斷方法理論上證明：若序列xt為MA(q)序列，則kq后，序列的樣本自相關函數(shù) 漸近服從正態(tài)分布，即：k)21 (1, 0(12qllknN故由正態(tài)分布理論可知：此處n是樣本容量。%45.95)21 (2(%3 .68)21 (1(5 . 0125 . 012qllkqllknPnP對于kq，若 的個數(shù)不超過總個數(shù)的31.7%，或 的個數(shù)不超過總個數(shù)的4.5%，就可認為 在kq時是截尾的。5 . 012)

7、21 (1qllkn5 . 012)21 (1qllkn在實際進行檢驗實際進行檢驗時，可對每個k0，分別檢驗 （通常取 ）中滿足 的個數(shù)所占的百分比是否超過31.7%，或滿足 的個數(shù)是否超過4.5%。若k=1,2,q-1都超過了 而k=q時未超過，就可認為 在kq時是截尾的。mkkk,2110nmnm或nk1nk2k2. 樣本偏自相關函數(shù)截尾性的判斷方法可以證明：若序列xt為AR(p)序列，則kp后，序列的樣本偏自相關函數(shù) 服從漸近正態(tài)分布，即近似的有： 此處n表示樣本容量。于是可得：kk)1,0(nNkk%5 . 4)2(%7 .31)1(nPnPkkkk在實際進行檢驗時，可對每個k0，分別

8、檢驗 （通常取 ）中滿足 的個數(shù)所占的百分比是否超過31.7%，或滿足 的個數(shù)是否超過4.5%。若k=1,2,p-1都超過了 ，而k=p時未超過，就可認為 在kq時是截尾的。10nmnm或mkmkkkkk,2, 21, 1,nkk1nkk2kk（三）關于ARMA序列階數(shù)的確定ARMA序列的階數(shù)，直接通過自相關圖較難確定，較常用的方法有Pandit-Wu方法(后將介紹)或延伸自相關函數(shù)(EACF)法。第二節(jié) 模型的定階 模型的定階又稱模型的過擬合檢驗，分兩種情況，一是評價模型是否包含過多的參數(shù)。二是評價模型是否參數(shù)不足，需要擬合額外的參數(shù)。 模型定階的準則主要有殘差方差圖定階法、F檢驗定階法、A

9、IC和SBC定階準則等等。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第二節(jié) 模型的定階一、殘差方差圖定階法二、F檢驗定階法三、最佳準則函數(shù)定法返回本節(jié)首頁下一頁上一頁一、殘差方差圖定階法1.基本思想如果擬合的模型階數(shù)與真正階數(shù)不符合，則模型的殘差平方和SSE必然偏大，殘差方差 將比真正模型的殘差方差大。如果是不足擬合，那么逐漸增加模型階數(shù)，模型的殘差方差會漸減少，直到殘差方差達到最小。如果是過度擬合，此時逐漸少模型階數(shù)，模型殘差方差分逐漸下降，直到殘差方差達到最小。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁2.殘差方差的估計公式模型的參數(shù)個數(shù)實際觀察值的個數(shù)模型的剩余平方和2a注：式中 “實際觀察值個數(shù)”是指擬合模型時實際使用的

10、觀察值項數(shù)，即經(jīng)過平穩(wěn)化后的有效樣本容量。設原序列有n個樣本，若建立的模型中有含有自回歸AR部分, 且階數(shù)為p，則實際觀察值個數(shù)為n-p個。若沒有AR部分，則實際觀察值個數(shù)即為n個。模型的參數(shù)個數(shù)指模型中所含的參數(shù)個數(shù)，如：若是不帶常數(shù)項的ARMA(p,q)模型，參數(shù)個數(shù)為p+q個，若帶有常數(shù)項，則參數(shù)個數(shù)為p+q+1個。用Eviews建立ARMA模型后，可直接得到剩余平方和SSE(Sum squared resid)輸出結果中也可直接得到殘差標準差： S.E.of regression ，此項的平方即為殘差方差。因此，對不同的模型殘差方差進行比較，直接比較此項既可。例：以 磨輪剖面數(shù)據(jù)為例，

11、分別建立適應性模型，輸出結果見圖示，從中選擇最佳模型，乘余平方和 1473.726 1539.4681522.27原序列長度250250250p201參數(shù)個數(shù)222自由度246248247殘差方差5.990756 6.207532 6.1630364殘差標準差2.452.492.48三個模型殘差方差比較三個模型殘差方差比較二、F檢驗定階法1.基本思想（以一般情形和ARMA(p,q)模型為例）先對數(shù)據(jù)擬合ARMA(p,q)模型(假設不含常數(shù)項)，設其殘差平方和為Q0，再對數(shù)據(jù)擬合 較低階的模型ARMA(p-m,q-s)，設其殘差平方和為Q1。建立原假設H0：00, 000, 02121qsqsq

12、pmpmp返回本節(jié)首頁下一頁上一頁)( ,()()(001qppnsmFqppnQsmQQF在原假設成立的條件下有：于是計算統(tǒng)計量F，在給定的顯著性水平下。若FF ，則拒絕原假設，說明兩模型差異是顯著的，此時模型階數(shù)存在升高的可能性。若F1）檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量：Q統(tǒng)計量（Q statistic）mkknQ12其中，n為樣本容量，m為滯后長度。Q近似地服從 。)(2mk二、模型的平穩(wěn)性和可逆性分析（一）平穩(wěn)性分析 若是AR(P)模型或ARMA(p,q)模型，其平穩(wěn)性條件是自回歸部分所對應的差分方程的特征方程的特征根必須都小于。 若特征根有大于或等于1的，說明模型是非平穩(wěn)的。 特別是當特征根等于

13、1或非常接近于1時，說明序列為單位根過程，此時需要對原序列進行適當?shù)牟罘肿儞Q(有幾個單位根，作幾次差分)使其平穩(wěn)，然后再對變換后的序列建模。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁(2)可逆性分析對于MA(q)和ARMA(p,q)模型，模型的可逆性條件是移動平均部分所對應的差分方程的特征都小于1。若有特征根大于1或等于1的，說明模型是非可逆的，此時要對序列作適當?shù)淖儞Q，再建模。特別是當特征根有等于1或很接近1，說明此模型有過度差分之誤。因此，應適當減少差分階數(shù)再建模，以使模型滿足可逆性條件。Eviews 估計結果直接輸出自回歸部分所對應的差分方程的特征根:inverted AR root.移動平均部分所對應的

14、差分方程的特征方程的特征根：inverted MA root.第五節(jié) 建模的其它方法引：前面介紹的是Box-Jenkins建模法，即主要是以ACF、PACF的統(tǒng)計特性為依據(jù)，但由于我們只能根據(jù)樣本的SACF、SPACF代替理論的ACF、PACF，這樣不可避免會產(chǎn)生偏差。本節(jié)主要介紹另外一種建模方法Pandit-wu方法。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁第五節(jié) 建模的其它方法一、Pandit-Wu建模方法的基本思想二、建模步驟三、Pandit-Wu方法建模舉例返回本節(jié)首頁下一頁上一頁一、Pandit-Wu建模方法的基本思想（P113）Pandit-Wu建模方法以下面認識為依據(jù)：即任一平穩(wěn)序列總可以用一個ARMA(p,p-1)模型來表示，而AR(p)，MA(q)以及ARMA(p,q)都可看作是ARMA(p,p-1)模型的特例。Pandit-Wu方法的基本思想為：逐漸增加模型的階數(shù)，擬合較高階的ARMA(p,p-1)模型，直到再增加模型的階數(shù)而剩余平方和不顯著減少為止。返回本節(jié)首頁下一頁上一頁二、建模步驟(1)將序列平穩(wěn)化、零均值化(也可將均值作為一個參數(shù)估計)。(2)從p=1開始，