華南理工大學 線性代數(shù)與解析幾何 課時課件 (19)

1、第五章第五章 特征值與特征向量特征值與特征向量5.1 矩陣矩陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量 5.2 相似矩陣相似矩陣及矩陣可對角化的條件及矩陣可對角化的條件5.3 實實對稱矩陣的對角化對稱矩陣的對角化n 特征值的性質(zhì)特征值的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1.1n 特征值的性質(zhì)特征值的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1.2性質(zhì)性質(zhì) 1.2 的證明的證明22221.3nAAAA 設 是 階矩陣 的一個特征值，是 對應特征值 的一個特征向量。證明是矩陣的一個特征值，是對應特征值的一例題個特征向量。1110( )( ),( )( )mmmmAAf Aa AaAa Aa Eff Af設 是n階矩陣 的一個特征值，是 對應特征值

2、的一個特征向量。則矩陣多項式的一個特征值為且也是矩陣對應特征值的一個特征向量。n 進一步推廣進一步推廣2110430102121( )31,( )Af xxxf A 已知矩陣的特征值為2,1,對應的特征向量分別是。求矩陣的特征值和特00 ，1征向量。2( )3f AAA E解：21 1 01 1 04 3 034 3 010 211 0 00 110 200 0 110( )430211f A( )(2)(1)f Aff的特征值為和，( )121f A 即的特征值為-1,特征向量001為，22(2)2(1)11ff-3 2+1=-1,-3+1=-12( )31f xxx-1-111AAAA 設

3、 是n階的一個特征值，是 對應特征值 的一個特征向量。證明可逆矩：矩陣的一個特征值是，也是對應特征值的一例陣個特征向量。 的證明的證明 的證明的證明5.2 相似矩陣及矩陣可對角化的條件n 設某城市總人口數(shù)保持不變設某城市總人口數(shù)保持不變，但每年但每年都有都有 5 的市的市區(qū)居民搬到郊區(qū)區(qū)居民搬到郊區(qū)；又有；又有 15 的郊區(qū)居民搬到市區(qū)的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。問該城市市區(qū)人口與郊區(qū)人口的分布最終是否會趨問該城市市區(qū)人口與郊區(qū)人口的分布最終是否會趨向一個向一個“穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)”？引例引例人口流動模型人口流動模型,nnnxXy110.950.150.050.85nnnnnnxxyyxy000 xyX

4、1110.950.150.050.85nnnnnnxxXAXyyn 設某城市總人口數(shù)保持不變設某城市總人口數(shù)保持不變，但每年但每年都有都有 5 的市的市區(qū)居民搬到郊區(qū)區(qū)居民搬到郊區(qū)；又有；又有 15 的郊區(qū)居民搬到市區(qū)的郊區(qū)居民搬到市區(qū)。問該城市市區(qū)人口與郊區(qū)人口的分布最終是否會趨問該城市市區(qū)人口與郊區(qū)人口的分布最終是否會趨向一個向一個“穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)”？引例引例人口流動模型人口流動模型1110.950.150.050.85nnnnnnxxXAXyy-2021-nnnnXXXXAAA10012,14AA如：，要計算1 AP ABPP對于 ，若能找到，使得逆陣對角矩陣可1=A PBP求方陣求方

5、陣A的冪的冪Am的一種方法的一種方法直接做乘法，計算量大。111()()()mPBPPBPPBAPmBB其中， 是對角矩陣，容易計算1mPB P122-3141-3AP可對于，找到逆矩陣，10010010012-3201-11-3031/32/3APBP1001002-31-1201-31/32/3031011001011001001001001002322 32322 3 1=A PBP11-1122-320 1/32 /3141-303PABP使得n 相似矩陣相似矩陣則稱則稱12000000nEB1210000(,)00nnBdiag 與與A相似的矩陣有相同的特征值相似的矩陣有相同的特征值

6、， 而對角矩陣最容易計算特征值。而對角矩陣最容易計算特征值。12()()()n定理定理 2 2.1n, (1,2, )inniiin11：設 有 個線性無關特征向量相應特征值為，則 充分性AA11(,nnPP構造一個矩陣)，由于線性無關，故 可逆。1111(,)(,) (,)nnnnAPAAA 12110000(,)(,)00nnnP diag1( ,),nAPP diag即 定理定理 2 2.1111( ,) . ( ,)nnP APdiAdiagag則即 11(,)nn 12(,)nAPP diag 12121212,(,)nnnnPAdiag 設 則 121122,nnnAAA 1112

7、22 nnnAAA 1212,nnP 由于是可逆矩陣，知都不是零向量，且線性無關。所以，1212,nnnAA 有特有 個線征性值，無關對應的特征向的特征量是。向量。證畢12112(,), (,)nnAdiagPPAPdiag ：設則存在可逆矩陣使得必要性定理定理 2 2.1定理定理 2 2.2定理定理 322224242A ：判斷是例否可以對角化。245242EA2-3-22解：=2=( -2)()122,對于1222244244EA12-200000012 ( 2,1,0) ,(2,0,1)TT 方程組的基礎解系12325 特征值，12,它們是特征值、的特征向量的極大無關組2其向量個數(shù)特征值重數(shù)8225234243EA20-101100000 0000225A所以， ，1其向量個數(shù)特征值重數(shù)35, 對于3 (1, 2,2),T3方程組的基礎解系是特征值 的特征向量的極大無關組1(2,2, 5)P APdiagP是相似變換矩陣，123,P 221102012100011001A：判斷是否例可以對角化。1231 特征值（3重根）0001001000EA00100000011001EA-100解：=03=( -1)1231,對于1210 0 ,100 方程組的基礎解系12 1,和是特征值的特征向量的極大無關組23,其