第四章 電磁波傳播

1、1麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組/0EBEtBJtBE 第四章第四章 電磁波的傳播電磁波的傳播2xzy電荷片傳播的場傳播的場EEBBEEBBo場移動的邊界vt0EB設：電荷片是有由兩片符號相反電荷密度相同無限大平面構成的，其中一片向上以u的速度運動，另一片靜止（抵消靜電場的作用）.相當于一個面電流.3v tvt電荷片xy0E 0B 測視圖L1L0 xBEBE02B安培定律BELtBLv tBLvt法拉第電磁感應定律EvB1LSdE dlB dsdt 4v tvt電荷片xz0E 0B 俯視圖L2L0 xBEBEEEBJtt2LSdB dlE dsdtBLEvLBEvEvB1/v真空中：001/vc

2、 0積分形式得到得到一個可以脫離源在空中傳播的電磁波. 傳播速度取決于與參照系無關的空間性質.5如果在T時間之后電荷片停止運動vtxovorBEvTxovorBE脈沖xxorBEvoo如果電流源正弦振蕩61 平面電磁波平面電磁波1. 電磁波動方程在自由空間中，（ = 0, J= 0情形）00DBEtBDHt 真空情形: D=0E, B=0H0 022EEB tt 22EEEE 0E得到220020EEt 0 7同樣，可得磁場B的偏微分方程220020BBt 001c 令222222221010EEctBBct波動方程，c是電磁波在真空中的傳播速度介質中，一般情況下和是的函數(shù)（色散），D(t)=

3、 E(t)不成立因此在介質內，不能推出E和B的波動方程.8 2 2時諧電磁波時諧電磁波 在一般情況下，即使電磁波不是單色波，它也可以用傅里葉分析的方法分解為不同頻率的正弦波的疊加時諧電磁波（單色波）：以一定頻率作正弦振蕩的波.設角頻率為的電磁波，用復數(shù)形式表為 ,i ti tB x tB x eE x tE x eE(x)表示抽出時間因子e-it以后的電場強度9在一定頻率下，有D=0E, B=0H，得注意：這組方程不是獨立的 :0, 0EH 0, 0HE ：00EiHHiEEH 取式旋度并用式得2EE 22EEEE 220, Ek Ek0E 因為亥姆霍茲方程10解出E后，磁場B可由第一式求出，

4、iiBEEk 亥姆霍茲方程的解E(x)代表電磁波場強在空間中的分布情況，每一種可能的形式稱為一種波模概括起來2200Ek EEiBE 類似地2200Bk BBiiEBBk 113 3平面電磁波平面電磁波按照激發(fā)和傳播條件的不同，電磁波有各種不同形式例如從廣播天線發(fā)射出的球面波，沿傳輸線或波導走向傳播的狹窄光束等，其場強都是亥姆霍茲方程的解最基本的形式：存在于全空間中的平面波. E和B僅與x，t有關，與y，z無關. 2220dE xk E xdx亥姆霍茲方程化為一維的常微分方程：解為： 0ikxE xE e場強的全表示式：0,i kxtE x tE e12因此，只要E0與x軸垂直，代表一種可能的

5、模式以上為了運算方便采用了復數(shù)形式，對于實際存在的場強應理解為只取實數(shù)部分，即0,cosE x tEkxt由條件E=0得 ，即要求,0 xikeE x t,xE x te0E電場的振幅i kxte波動的相位因子13相位因子cos(kx-t)的意義t=0時，相位因子是 coskx，x0的平面處于波峰在另一時刻 t，相因子變?yōu)閏os(kx-t)波峰移至kx- t處，即移至x=t/k的平面上.001/1/rrcdxvdtkc 0,i kxtE x tE e沿x軸方向傳播的平面波相速度：14k為波矢量，其量值k（ ）稱為園波數(shù). 在一般坐標系下，電磁波場強：0,i k xtE x tE e k 矢量k

6、方向傳播的平面波2k2弧度相位差的波長數(shù)必須加上條件E=0才得到電磁波解000i k xti k xtEEeik E eik E 沿電磁波傳播方向相位差2的距離為x=2/k，因此x是電磁波的波長橫波15時間周期T頻率 f = 1/T園頻率完成一次振動需要的時間一個單位時間內完成振動數(shù)量一個單位時間內完成振動相位（弧度）空間波長波數(shù)園波數(shù)完成一次波動需要的長度一個單位長度內完成振動數(shù)量一個單位長度內完成波動相位（弧度）波動幾個物理量名詞比較波動幾個物理量名詞比較波動在時間、空間上都體現(xiàn)為周期變化.2f2k 1/16平面電磁波的特性： 電磁波為橫波, E和B都與傳播方向垂直； E和B互相垂直，EB

7、沿波矢k方向； E和B同相，振幅比為vrrvc 174電磁波的能量和能流能量密度：2211122E DH BEB平面電磁波221EB因此221EB1EvB能流密度2SEHEnEE n1Snv nvv為相速18注意：由于能量密度和能流密度是場強的二次式，不能把場強的復數(shù)表示直接代入.例如：EaibE的物理有意義部分為a：22SEa若直接代入：22Saibaibab減少了b222020cos11cos22Ek xtEk xt計算和S的瞬時值時，應把實數(shù)表示代入19設f(t)和g(t)有復數(shù)表示 00,i ti t if tf eg tg e和S都是隨時間迅速脈動的量，實際上我們只需用到它們的時間平

8、均值是f(t)和 g(t)的相位差二次式求平均值的一般公式2000*00dcoscos211 cosRe22fgt ft gtf gf gf *表示f的復共軛，Re表示實數(shù)部分20由此，能量密度和能流密度的平均值為22001122EB*201122SEHE n21內容：用Maxwell電磁理論來分析在介質的分界面上，電磁波將發(fā)生的反射和折射規(guī)律。0,i k xtE x tE e 包含六要素： 和偏振, , , ,|k v E 01 102 2E eiE e平面電磁波：22 運動學規(guī)律: 入射角、反射角和折射角的關系； 動力學規(guī)律:（菲涅爾公式）能量和能流的重新分配：振幅比；相位及偏振的變化：相

9、對相位的變化.電磁波與分界面的分子發(fā)生相互作用后，作用的后果按性質可分成兩個方面：2321212121()0()()()0nEEnHHnDDnBB0, 0介質的分界面上研究電磁波反射和折射問題的基礎是電磁場在兩個不同介質界面上的邊值關系。21212121()0 ()0()0()0nEEnHHnDDnBB：根據Ei B21210nEEi nBB 24：根據Hi D 21210nHHi nDD 因此，介質界面的邊值關系只取下列兩式：2121 , ttttEEHH切向連續(xù)性2121()0()0nEEnHH即25反射和折射定律反射和折射定律xzkkkEEE11 22 由 可得磁場矢量為：BEt ()(

10、)00()()00()()0011 1i k xti k xti k xti k xti k xti k xtBB ekE eBB ekE eBB ekE e ()0()0()0i k xti k xti k xtEE eEE eEE e 入射波反射波折射波入射波反射波折射波26在 z=0 的平面，所有的點必須滿足邊界條件波矢量方向之間的關系()nEEnE()()()00000 i k xti k xti k xtttztzE eE eE e 邊界條件要使該式成立，只有000zzzk xtkxtkxt00000 ttztzEEE27由式，因為x、y、t 都是獨立變量，必然有xyxyxyk xk

11、 ytk xk ytk xk yt因此xxxyyykkkkkk討論：由于 ，說明反射波、折射波的頻率與入射波的頻率相同?？梢缘玫?個結果28根據 ，假若 ，則必有 yyykkk0yk 0.yykk因此： ，即反射角=入射角。（反射定律）根據1 1 , | |, xxkkkk sinsinkk結論：反射波和折射波與入射波在同一平面內，這個面就稱為入射面（入射波矢k 與分界面的法線n 所組成的平面）29根據xxkk1 122sin , sin, | |, sinsinxxkkkkkkkk 則222222111 11 1sinsinnknkn 一般介質 （除鐵磁質外），故 0相對折射率21/21si

12、nsinn即折射定律30菲涅耳公式：在邊值關系條件下求得的入射波、反射波和折射波的振幅關系。分成兩種情況討論. 入射面E 2100021000 , , ttttxxxEEEEEHHHHH由有由有即000coscoscosHHH,BEtikit 考慮到1BHkE311 122| |, |, kkk 故有1100220/()cos/cosEEE聯(lián)立、兩式得112200112211001122/cos/cos/cos/cos2/cos/cos/cosEEEE32對于一般介質，120210021sincoscoscos/cossinsincos/coscoscossinsin()sin()EE 因此0

13、0212cos2cossinsin()cos/cosEE0000sin()2cos sin, sin()sin()EEEE 33 kkkPEPEPESHSHSH1 122 xz 入射面/E由邊界條件，即在 z=0 的界面上有：000000 xxxEEEHHH即000000coscoscosEEEHHH同理由 的關系, 把上式中的磁場換為電場。1HkE0001100220()coscos/()/EEEEEE從而得到：340|21120|21120|120|2112coscoscoscos2coscoscosEEEE 解得對于一般介質，1200|210|21sincoscoscos/cossins

14、incos/coscoscossintan()tan()EE 350|0|212coscossincos/coscoscossin2cos sinsincossincosEE 振幅關系就是光學中的菲涅耳公式，當時，菲涅耳是利用光的“以太”理論推導出來的。洛倫茨（22歲）在博士論文中用麥克斯韋推導出菲涅耳公式。因此，這也有力地證示了光是電磁波的理論學說.36菲涅耳公式0|000|0|000|sin()tan() sin()tan()2cos sin2cos sin sin()sincossincosEEEEEEEE 利用菲涅耳公式討論 偏振 半波損失 反射系數(shù)、透射系數(shù)90 37菲涅耳公式討論：

15、垂直偏振： 當 時， ，即反射波中沒有電場平行入射面的部分，這時的反射波是完全的線偏振波. 0|090 0 , 0EE根據21sinsinsinsin(90)n令此時的b21sinsintansin(90)cosbbbbbn121tanbnBrewsters angle000|0|sin()sin()tan()tan()EEEE 38bi90birr一個任意偏振的波，可以分為平行和垂直入射面的兩個入射波。平面波以布儒斯特角入射時，反射波只有垂直入射面偏振的波，反射波和折射波傳播方向互相垂直。39半波損失：當平面波從光疏介質入射到光密介質時（即n211）。根據折射定律21sinsinn可知：00

16、: 0EEE入射面與入射波的相應分量反向反射波與入射波位相相差，半波損失。000|0|sin()sin()tan()tan()EEEE 當平面波從光密介質入射到光疏介質時00, 0EE反射波與入射波同位相，即沒有半波損失.40電磁波的反射系數(shù)和透射系數(shù)。反射系數(shù)（R）：反射波平均能流與入射波平均能流在法線方向的分量之比透射系數(shù)（T）：折射波平均能流與入射波平均能流在法線方向的分量之比。E *210111Re()22|kSEHEk入入射波的能流平均值：入射面1 11|BHkEk 41反射波的能流平均值：*221100111Re()21122|SEHkkEEkk反折射波的能流平均值：*22021(

17、)212|eSR EHkEk折42從而得到：2202202202210|sin ()|sin ()cos|sin2 sin2cos|sin ()SnERESnSnnETnESn反入折入同理|:E入射面220|220|22|tg ()|()sin2 sin2sin ()cos ()EREtgT|11RTRT符合能量守恒定律000021sin()sin()2cos sinsin()sinsinEEEEnn 43若 ，則 ，因此12211nsin1sin即電磁波從介質1入射時，折射角入射角。當 時，則 。2211sinn21021sin ()n全反射臨界角如果再增大入射角，使得 ，這時不能定義實數(shù)的

18、折射角，因而將出現(xiàn)不同于一般反射折射的物理現(xiàn)象.21sinn44假設在這種情形下兩介質中的電場形式仍然為()0()i k xtE x tE e 邊值關系（z=0）依舊成立，仍可得到 , xxxyyykkkkkk112122sinxxxxkkkkkkkkkknk 在 ，情形下有 .21sinnxkk45令2221 , sinzkikn222222222212221sinsinzxyxkkkkkkk nkikn因此y軸垂直與入射面時，=0虛數(shù)故折射波的傳播因子為：()()xzi k x k zi k xee其中sin , cosxxzkkkkk46即折射波的電場為：()(sin)00i k xtz

19、i kxtEE eE ee 上式仍然是亥姆霍茲方程的解，因此代表在介質2中傳播的一種可能波模因為當z-時E ，上式所表示的波不能在全空間中存在。但是這里所研究的折射波只存在于z0的半空間中，因此，上式是一種可能的解sinsin()xzxikik ziki k xzeeee47折射波將沿 z 方向衰減，沿 x 方向傳播。因此，全反射時，介質2中的電磁波并不為零，如果介質2的電磁波完全為零的話，那么就不滿足邊值關系?？梢婋妶霾粌H沿著界面方向傳播，而且被限制在表面附近的一個區(qū)域內，所以稱全反射時的折射波為表面波。xzk48沿x軸方向傳播的電磁波，沿z軸方向指數(shù)衰減。因此，這種電磁波只存在于界面附近一

20、薄層內，厚度 (sin)0zi kxtEE ee 11222221211sin2sinknn1透入第二介質中的薄層厚度與波長同數(shù)量級。折射波磁場強度kBEnEk折射波電場強度49考慮 入射面 ：E yEE222221sinxzykHEEkn22222221sin1zxykHEiEkn 與 同相與 有900的相位差EE 50*1Re02zyxSEH 折射波平均能流密度2*22022111sinRe22zxyzSE HEen由此，折射波平均能流密度只有x分量，沿z軸方向透入第二介質的平均能流密度為零虛數(shù)51以上推出的有關反射和折射的公式在 sinn21情形下形式上仍然成立。只要作對應212221s

21、insinsincos1xzkknkikn52當 入射面時：E22210220212222221212221cossincossincos(sin)2cossin1iinEEinninen222cos2sin2(cossin)2sincosieii比較上式，可得2221222121sincoscos, sin11nnn歐拉公式532221sinsintancoscosn表示在全反射時，入射波和反射波振幅相同，兩者存在相位差，因此反射波與入射波的瞬時能流值是不同的。只是 Sz 的平均值為零，其瞬時值不為零。可見，在全反射中第二介質是起作用的。在半周內，電磁能量透入第二介質，在界面附近薄層內儲存起

22、來，在另一半周內，該能量釋放出來變?yōu)榉瓷洳芰俊?4當 入射面時：|E 222220|212121212222220|21212121cossin/1cossincossin/1cossiniEninnineEninnin2221221sinsintgcoscosnn其中比較 ，可見 ，并與入射角有關，如果 入射波是線編振波，但其振動方向與入射面成一定夾角，則反射波的兩個分量將有一個位相差，因而是一個橢園偏振波，即一個線偏振波入射在介質界面上經過反射成了一個橢園偏振波。和0 55內容：導電介質中電磁波的傳播。由于導體內有自由電荷存在，在電磁波的電場作用下，自由電荷運動形成傳導電流，而傳導電流要

23、產生焦耳熱，使電磁波能量有損耗。因此，在導體內部的電磁場（波）是一種衰減波，在傳播過程中，電磁能量轉化為熱量。561、導體內的自由電荷的分布、導體內的自由電荷的分布焦耳定律jE電荷守恒定律jt Gauss 定理/E 0t0( )tte衰減的特征時間為 如果散度 ，有電流流出來，電荷減少0 電荷密度隨時間指數(shù)衰減57因此，只要電磁波的頻率滿足11或良導體條件探討：良導體條件的物理意義良導體：傳導電流 位移電流jDt,jEDiEt | /1Djt58導電介質與絕緣體的根本區(qū)別在于導電介質中有自由電荷存在。因而，只要有電磁波存在，總要引起傳導電流j 。因此，導體內部：0 , jE00BEtDHjtD

24、B 00EiHHiEEEH DEBHjE59令i 00EiHHiEEH 從形式上看，與均勻介質中的情況相同2 ()() EiHEEiE 0 則有220EE 從式：60220EE 22k 220Ek E220Hk H令令同理：同理：運動方程：運動方程：2k i 位移電流的貢獻位移電流的貢獻傳導電流的貢獻傳導電流的貢獻22k 是復數(shù)是復數(shù)61如果令如果令ki復波數(shù)復波數(shù)22222kii 22212xxyyzz 62 0k 0kkxz導體當電磁波從真空中入射到導體表面時，以k(0)矢量表示真空中的波矢，k表示導體內的波矢.根據邊值關系： (0)(0)1 xxxkkk 真空中 為實數(shù)，其值為(0)(0

25、)00kk (0)k (0)(0), sinxxxxkikk(0)(0)sinxxxikk不論正入射還是斜入射，衰減方向 垂直于金屬表面 (0)00sin0 xxxk 63 (0)(0)2 0yyykkk 0yyyki00yy2222ki 2222()(1)kiii 13 2xxyyzzzz 1因為良導體條件下在導體內部，k也在入射面內k2的實部可忽略64220222zxz 12zz 12zzzx 22200000202(0)2211sin22111sin()()222xxkk 21sin 2222zxzz 結論：結論：對于良導體，對于良導體，、幾乎平行，總幾乎平行，總垂直導體表面垂直導體表面

26、653、趨膚效應和穿透深度、趨膚效應和穿透深度根據根據22212 221112111 .2 1良導體：良導體：12, 同方向假設假設66電磁場形式為：電磁場形式為：()0()0.n xin xtn xin xtEE eeHH ee 討論：討論：從電磁場從電磁場 可看到，復數(shù)波矢量可看到，復數(shù)波矢量 ，包含了兩個部分：包含了兩個部分：EH和和ki2/ 實部：實部：通常意義上的波矢量通常意義上的波矢量虛部：虛部：電磁波在導體中的衰減程度電磁波在導體中的衰減程度67波振幅沿傳播方向按指數(shù)衰減， 為衰減常數(shù)。 1211,穿透深度因此，對于高頻電磁波，電磁場以及和它相作用的高頻電流僅集中于表面很薄一層內

27、，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應 . （ S m-1 ）f（Hz） （cm）銅5 107500.9銅100M0.7 10-3海水4.4503.0 10368不良導體不良導體1 2211121112 傳導電流傳導電流 位移電流位移電流jDt2 1112+xx （?。ㄈ?級近似）級近似）（取（取0級近似）級近似）21衰減很小，穿透深度很大衰減很小，穿透深度很大. 得到：得到：69 (S m-1 )f（Hz） （m）海水海水4.410100.091.2 10-3海水海水1007.9 10824良導體12 不良導體2 / 可以發(fā)現(xiàn)：頻率越小，衰減越小。有人提出用10Hz來作為載頻實現(xiàn)海洋通信，但這就要求天線很長

28、，f=10Hz時，=30000km。因此現(xiàn)在海洋主要用超聲波（聲納）進行通信7044011()112.iiztzHkEinEi nEe nEnE ee磁場相位比電場相位滯后45，在真空和絕緣介質中H和E同相 能流0iztzEE ee71Ocosztcos/4ztt 0S 0S 1Recoscos24zSEHztzte一周期內電磁能不是一直往前流，有T/4時間倒流72相速度相速度 ，可見，在導體中傳播速度，可見，在導體中傳播速度k 由由決定，決定，稱為稱為相位常數(shù)相位常數(shù)。222 vk 000002221cck 一般情況下，所以在導體中一般情況下，所以在導體中波長變短波長變短了。了。波長波長銅：

29、銅：75.8 10 s/m, 2100MHz 5021.3342 10cc 73能量密度能量密度24.iHe nE1HE磁場遠比電場重要，金磁場遠比電場重要，金屬內電磁波的能量主要屬內電磁波的能量主要是磁場能量是磁場能量1()2wE DH B能量密度能量密度磁場：磁場：在良導體中在良導體中74只討論垂直入射情形 EE E HH H 00, , k k k 邊值關系：EEEHHH112Hi nE入射方為真空，故0000, HE HE012EEi E75 反射系數(shù)222222(1)11(1)11(1)(1)1212(1)(1)1EAAREAAAAAAAAAA 理想導體反射系數(shù)接近于1. 00212

30、1iEEi 有、得02 1 A 0212R 76導體內的電流密度其中略去了 因子5、導體內功率損耗問題導體內的電場為：()()00i k xtziztEE eE ee x jE導體內單位體積內的平均功耗為：*()()2200011Re()Re2211Re22ziztziztzPj EEEE eeE eeE e77導體表面單位面積的功耗為：2220000124zLEPPdzEedz定義表面電流密度：()000()00()0001ziztfizi ti tizi tjdzE eedzEeedzE eedzE ei78因為因為221 . tgiie故得故得022()022ii tfiteE eeE

31、由此可見：由此可見：0022: .ffE的峰值所以所以022222200444LfEEP與平均功率與平均功率 比較，可見比較，可見212mPI R/2sR 79222SR 導體表面電阻導體表面電阻在高頻情況下：在高頻情況下：() 2212SR0 xyzds=dxdyf相當于厚度為相當于厚度為 的薄層的直流電阻的薄層的直流電阻1lRS 單位面積下的導體在高頻電磁波的電阻單位面積下的導體在高頻電磁波的電阻 11l 804-4 諧振腔諧振腔1、LC振蕩電路振蕩電路012LC提高頻率的途徑：減小L和C.減小C的途徑：增加極板距離d、減少極板面積S.困難：高頻時，具有很小的C的電容不能再使電場和磁場集中

32、分布于內部，向外輻射的損耗增大。81減小電感L值的途徑減小L的匝數(shù)減小匝數(shù)成為一條直線多個L并聯(lián)諧振腔多個L并聯(lián)11iiLL822理想導體邊界條件理想導體邊界條件電磁波在兩不同介質（包括導體）界面上的邊值關系這兩關系滿足后，另外兩個關于法向分量的關系自然能夠滿足。21210nEEnHHn由介質1指向介質2的法線21210nDDnBB83導體表面邊界條件理想導體：邊界條件0nEnH110, 0EH因為諧振腔不存在自由電荷： E=0，故在界面有：0nEn電場線與界面正交，磁感應線與界面相切84例題：證明兩平行無窮大導體平面之間只能傳播一種偏振的橫電磁波（TEM）。解：邊界條件： Ex=Ez=0 ,

33、 Hy=0 x軸方向偏振：平面電磁波(Ex0，與導體面相切)不滿足邊界條件，因而不能在導體面間存在。y軸方向偏振：此平面波滿足邊界條件，因此可以在導體板之間傳播。只能傳播一種偏振的TEM平面波85設u(x,y,z)為E或H 的任一直角分量，有3 3、矩形諧振腔內的電磁振蕩、矩形諧振腔內的電磁振蕩220uk u亥姆霍茲方程分離變量法,令: , ,u x y zX x Y y Z z222222222d0dd0dyd0dxyzXk XxYk YZk Zz2222xyzkkk 86解得u(x,y,z)的駐波解112233, ,cossincossin cossinxxyyzzu x y zCk xD

34、k xCk yDk yCk zDk z 例如考慮Ex112233cossin cossin cossinxxxyyzzECk xDk xCk yDk yCk zDk z0 0 0 邊界條件00nnEEn87123cossinsin,sincossin,sinsincos.xxyzyxyzzxyzEAk xk yk zEAk xk yk zEAk xk yk z再考慮x=L1，y=L2，z=L3面上的邊界條件m，n，p分別代表沿矩形三邊所含的半波數(shù)目。123,0,1,2.xyzmnpkkkLLLm n p對Ey和Ez亦可作類似考慮88由方程E=0，應滿足關系1230 xyzk Ak Ak A因此

35、A1 , A2 和A3中只有兩個是獨立的。123cossinsin,sincossin,sinsinsin.xxyzyxyzzxyzEAk xk yk zEAk xk yk zEAk xk yk z代表腔內的一種諧振波模，或稱為腔內電磁場的一種本征振蕩。對每一組（m,n,p）值，有兩個獨立偏振波模。89諧振頻率2222xyzkkk 222123mnpmnpLLL123cossinsin,sincossin,sinsinsin.xxyzyxyzzxyzEAk xk yk zEAk xk yk zEAk xk yk z若m，n，p中有兩個為零，則場強E=090若L1L2L3，最低頻率的諧振波模為（

36、1,1,0），其諧振頻率為11022121112fLL波長為1102212211LL此波長與諧振腔的線度同一數(shù)量級。在微波技術中通常用諧振腔的最低波模來產生特定頻率的電磁振蕩。91問題提法問題提法1 1：如何連接兩個電磁元器件？如何連接兩個電磁元器件？低頻時，由導線完成；高頻時，輻射增加。低頻時，由導線完成；高頻時，輻射增加。問題提法問題提法2 2：當波被限制在一維或二維空間時，當波被限制在一維或二維空間時，會發(fā)生什么現(xiàn)象？會發(fā)生什么現(xiàn)象？92abxyz討論矩形波導，波導中沒有自由電荷和傳導電流，即 哪種波才能存在？0, 0.j猜測： 波只能沿z軸傳播；界面上，E不能有切線分量，并且不存在自由

37、電荷.zi k ztEe 0 , , 0 0 , , 0 xyzyxzExaEExEybEEy當時當時邊界條件93()1122(sincos)(sincos)zi k ztxxyyuCk xDk x Ck yDk y e設：電場E的任意分量為0, 0; 0, 0 xxExyEx當時當時考慮Ex分量，()1cossinzi k ztxxyEAk xk y e0, 0; 0, 0yyExEyy當時當時考慮Ey分量，()2sincoszi k ztyxyEAk xk y e0, 0, 0zxyE當時考慮Ez分量，()3sinsinzi k ztzxyEAk xk y e94()1()2()3coss

38、insincossinsinzzzi k ztxxyi k ztyxyi k ztzxyEAk xk y eEAk xk y eEAk xk y e , 0 , 0 xyzyxzExaEExEybEEy, xymnkkab由另外邊條件：Ey的示意圖（y方向簡略為均勻）95 兩種不同介質界面上的邊值關系：2121()0()nEEnHH設導體是理想導體，電磁波穿透深度為0，導體內電磁場110 , 0 . :EB故有0nEnH0n Dn B自然滿足嚴格數(shù)學求解嚴格數(shù)學求解9600 (0)nnEEEn對于電場E：abxyz因此邊界條件為0, , 00, , 0 xyzyxzExaEExEybEEy當時

39、當時97波導中電磁波滿足的微分方程和邊界條件：因為波導中電磁波是沿管的軸向，即沿 z 軸方向傳播，因而電場強度為：()0( , )( , )zi k ztE x tEx y e2200, , 00, , 0 xyzyxzEk EExaEExEybEEy98代入亥姆霍茲方程，得到：222200022()0zEEkkExy設u ( x , y )為電磁場的任一直角分量，它滿足上式222222()0zuukkuxy用分離變量法解這個微分方程： ( , )( ) ( )u x yX x Y y令22zXYkkXY99要使上式成立，必須要求左邊每一項等于常數(shù)，22 xyXYkkXY ，而且要求：2222

40、xyzkkkk從而有：22222200 xyd Xk Xdxd Yk Ydy振動方程( )sincos( )sincosxxyyX xAk xBk xY yCk yDk yA、B、C、D、kx、ky為待定常數(shù)。100()1122(sincos)(sincos)zi k ztxxyyuCk xDk x Ck yDk y e因此電場E的任意分量為()1()2()3cossinsincossinsinzzzi k ztxxyi k ztyxyi k ztzxyEAk xk y eEAk xk y eEAk xk y e, xymnkkab與上面討論一致，可以得到E的解得出后，磁場 H為：iHE 10

41、1m，n的物理意義：1112 /coscoscos /2xak aakma 1cosa/21oaxk m代表沿波導管x邊所對應的半波數(shù)目，同理，n代表沿波導管y邊對應的半波數(shù)目.設波矢 與a邊的夾角為k 1 102在波導中，因為無自由電荷，即0E0yxzEEExyz即1230 xyzk Ak Aik AA1, A2, A3只有兩個是獨立的對一定的(m,n), 如果選一種波模（波的模式）具有Ez0，則該波模的A1/A2=ky/kx就完全確定.因而，另一種波模必須有Ez0。103結論：對 Ez= 0的波模，Hz 021coscos0zyik zxzxyxyEEHk Ak Ak xk yexy設：對

42、 Ez0的波模iHE 根據波導中電磁波的特點：電場和磁場不能同時為橫波.波模為Ez=0( )的波稱為橫電波（TEW）波模為Hz= 0( )的波稱為橫磁波（TMW）0zE 0zH 120 xyk Ak A104波導中波導中E和H沿傳播方向的分量不能同時為零，這是否與電磁波的橫波性相矛盾？原因：因為波導的軸線方向并不是波的真正傳播方向，波導中的電磁波是在管壁上多次反射中曲折的前進.kz105波模：在波導管的橫截面上，場的分布取決于m和n。不同的m和n的組合對應不同的場結構，一組（m,n）組成一個模式，TM波記為TMmn，TE波記為TEmn。截止頻率：對于一定尺寸的矩形波導，如果選定某一模式TEmn

43、或TMmn（m,n也確定），則從kz為：222zmnkkabk 其中存在一個的臨界值，使得kz為實數(shù).根據傳播因子因子 ，kz為虛數(shù)時，電場沿z軸衰減，因而不能在波導中傳播.()zi k zte 106截止頻率 ：能夠在波導中傳播的波的最低頻率.c22. c mnmnab對于（m,n）型波的截止角頻率為截止波長(cut-off wavelength)為：.2222c mnvmnab10710c.101TE: ;a波型01c.012211c.111TE: ;11TM: ;bab波型波型,102 (1, 0)camn最大波長在波導內能夠通過的最大波長為2a。由于波導的幾何尺寸不能做得過大，用波導來傳輸較長的無線電波是不實際的。在厘米波段，波導的應用最廣。108相速度與群速度群速度（ug ）：波的包絡上具有某種特性(如幅值最大)的點的傳播速度，是波群的能量或信息傳播速度。相速度（u）：波相位固定的點的傳播速度。 kvv為電磁波在自由空間中的傳播速度問題：電磁