素法62幾何應(yīng)用面積長度課件

1、素法62幾何應(yīng)用面積長度機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.1 定積分的元素法一、什么問題可以用定積分解決一、什么問題可以用定積分解決 ? 二二 、定積分應(yīng)用的元素法、定積分應(yīng)用的元素法第六章 定積分的應(yīng)用素法62幾何應(yīng)用面積長度設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線)0)()(xfxfy兩直線兩直線bxax,所圍成所圍成 .則其面積則其面積 A =?A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xfy 回顧回顧: :曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題及及x軸以及軸以及baxxfd)(素法62幾何應(yīng)用面積長度1xix1ixxabyo1) 分割分割. 區(qū)間區(qū)間 a , b同時將曲邊梯

2、形分成同時將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形個小曲邊梯形且且A= Ai2) 近似近似.( )iiiAfxi機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下:3) 3) 求和求和( (求近似和求近似和).).niiAA1niiixf1)(4) 取極限取極限.niiAA10limniiixf10)(lim( )dbaf xxdxxxx取取 A ( )df xx素法62幾何應(yīng)用面積長度3)部分量可近似表示為部分量可近似表示為niiixfU10)(lim一、什么問題可以用定積分解決一、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量所求量 U 與變量與變量x(或或)有關(guān)

3、有關(guān),且定義在區(qū)間且定義在區(qū)間a , b 上上 ;2) U 對區(qū)間對區(qū)間 a , b 具有具有可加性可加性 ,即總量等于部分量的和即總量等于部分量的和機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )dbaf xx( )iiiUfx可推廣到無窮區(qū)間素法62幾何應(yīng)用面積長度第二步第二步 求對應(yīng)于求對應(yīng)于x,x+dx上局部量上局部量U 的近似值的近似值微分表達(dá)式微分表達(dá)式xxfUd)(d第三步第三步以微元為被積表達(dá)式在以微元為被積表達(dá)式在U定義的定義的 區(qū)間區(qū)間a,b 上積分上積分Uxxfbad)(這種分析問題的方法稱為這種分析問題的方法稱為元素法元素法 (或或微元法微元法)元素的幾何形狀常取為元素的幾何

4、形狀常取為: 條條, 帶帶, 段段, 環(huán)環(huán), 扇扇, 片片, 殼殼 等等稱稱元素元素或或微元微元(微元法微元法)二二 、定積分應(yīng)用的元素法定積分應(yīng)用的元素法第一步第一步 確定確定U 定義的區(qū)間定義的區(qū)間a,b (注注:選取不同的積分變量選取不同的積分變量,U 所定義的區(qū)間可能不同所定義的區(qū)間可能不同)不妨設(shè)不妨設(shè),選選x為積分變量為積分變量注注:但但要求要求:是是U的近似值，的近似值，xxfUd)(d()d(d )UUox是是U的線性主部的線性主部素法62幾何應(yīng)用面積長度三、體積三、體積一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

5、結(jié)束 6.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 素法62幾何應(yīng)用面積長度一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線設(shè)曲線)0()(xfy與直線與直線)(,babxax及及 x 軸所圍曲軸所圍曲則則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 邊梯形面積為邊梯形面積為 A ,一般地一般地,曲線曲線y=f1(x)、 y=f2(x)及及x=a,x=b (ab)圍成圖形圍成圖形(右下圖右下圖)yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd面積為面積為素法62幾何應(yīng)用面積長度例例1. 計(jì)算兩

6、條拋物線計(jì)算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍在第一象限所圍所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點(diǎn)得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 素法62幾何應(yīng)用面積長度xxy22oy4 xy例例2. 計(jì)算拋物線計(jì)算拋物線xy22與直線與直線的面積的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點(diǎn)得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計(jì)算為簡便計(jì)算,

7、 選取選取 y 作積分變量作積分變量,則有則有yyyd42A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:選選x為積分變量為積分變量A=?20(2 2 )dAxx+82 2(4)dxxx素法62幾何應(yīng)用面積長度曲線曲線( )yf x與與( )yg x圍成平面圖形的面積圍成平面圖形的面積.舉一個例子舉一個例子:曲線曲線32yxx與與2yx圍成圍成S.解解: 兩曲線的交點(diǎn)為兩曲線的交點(diǎn)為(-1,1)、(0，0)、(2，4)所以所以2321(2 )Sxxx dx21(1) (2)xx xdx0210(1) (2)(1) (2)xx xdxxx xdx02323210(2)(2)xxx dxxxx d

8、x=素法62幾何應(yīng)用面積長度abxoyx例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對稱性利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 有有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng)當(dāng) a = b 時得圓面積公式時得圓面積公式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxd素法62幾何應(yīng)用面積長度例例4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面

9、圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042240sindu u216a3!4!223 a20A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyoa2216a素法62幾何應(yīng)用面積長度2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線求由曲線)(r及及,射線圍成的曲邊扇形的面積圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間在區(qū)間,上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為所求曲邊扇形的面積為

10、d)(212A機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 素法62幾何應(yīng)用面積長度對應(yīng)對應(yīng) 從從 0 變變例例5. 計(jì)算阿基米德螺線計(jì)算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 到到 2 所圍圖形面積所圍圖形面積 . 素法62幾何應(yīng)用面積長度ttadcos82042例例6. 計(jì)算心形線計(jì)算心形線所圍圖形的所圍圖形的面積面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性利用對稱性)2t令28a3!4!2223a心形線 目錄 上頁

11、 下頁 返回 結(jié)束 素法62幾何應(yīng)用面積長度xyoab旋轉(zhuǎn)面的面積旋轉(zhuǎn)面的面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxd2dAy s積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積22( ) 1( ) dbaAf xfxx,0)(xf且它繞它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的面積 .取側(cè)面積元素取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyoab)(xfy abx素法62幾何應(yīng)用面積長度第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7: 設(shè)有曲線設(shè)有曲線 , 1xy過原點(diǎn)作其

12、切線過原點(diǎn)作其切線 , 求求由此曲線、切線及由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.解解: 過過00(,1)xx 點(diǎn)的切線為點(diǎn)的切線為:00011()21yxxxx 將將(0,0)點(diǎn)代入得點(diǎn)代入得,02x 則切線方程為則切線方程為:12yx則表面積則表面積2211122121 124(1)Sxdxx 21543xdx32215(43)6x(11 51).61xyo2素法62幾何應(yīng)用面積長度二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長定義定義: 若在弧若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiM

13、nMAByox當(dāng)折線段的最大當(dāng)折線段的最大邊長邊長 0 時時, 折線的長度趨向于一個確定的極限折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧此極限為曲線弧 AB 的弧長的弧長 , 即即并稱此曲線弧為可求長的并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 任意任意光滑光滑曲線弧都是可求長的曲線弧都是可求長的.( (證明略證明略) )ni 10lims則稱則稱光滑曲線的概念光滑曲線的概念:P171曲線表示為參數(shù)方程曲線表示為參數(shù)方程( ),()( )xx ttIyy t1( ), ( )( )x ty tC I且22( )( )0 xtyt素法62幾何應(yīng)用面積長度sdyxabo(1) 曲線弧由直角

14、坐標(biāo)方程給出曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長因此所求弧長xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 素法62幾何應(yīng)用面積長度(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) :因此所求弧長因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 素法62幾何應(yīng)用面積長度(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()(

15、 rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得則得sd弧長元素弧長元素(弧微分弧微分) :(自己驗(yàn)證自己驗(yàn)證)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 素法62幾何應(yīng)用面積長度例例8. 計(jì)算曲線計(jì)算曲線322(01)3yxx的弧長的弧長 . 解解:xysd1d21dx x101dsx x322(1)3x10機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22 21.3素法62幾何應(yīng)用面積長度例例9. 求連續(xù)曲線段求連續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1222的弧長的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos

16、22200sin22222x4機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 素法62幾何應(yīng)用面積長度例例10. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱一拱)20(t的弧長的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyoa2素法62幾何應(yīng)用面積長度d222aa例例11. 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應(yīng)于相應(yīng)于 0 2 一段的弧長一段的弧長 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln(1)202)412ln(24122aa小結(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 素法62幾何應(yīng)用面積長度內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積平面圖形的面積參數(shù)方程參數(shù)方程(按直角坐標(biāo)用參數(shù)方程換元按直角坐標(biāo)用參數(shù)方程換元)極坐標(biāo)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長平面曲線的弧長曲線方程曲線方程參數(shù)方程方