理學(xué)matlab在數(shù)值分析中的應(yīng)用PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1理學(xué)理學(xué)matlab在數(shù)值分析中的應(yīng)用在數(shù)值分析中的應(yīng)用數(shù)值分析方法的主要任務(wù)：數(shù)值分析方法的主要任務(wù)：1.將計算機上不能執(zhí)行的運算化為在計算機將計算機上不能執(zhí)行的運算化為在計算機上可執(zhí)行的運算上可執(zhí)行的運算2.針對所求解的數(shù)值問題研究在計算機上可針對所求解的數(shù)值問題研究在計算機上可執(zhí)行的且有效的計算公式執(zhí)行的且有效的計算公式3.因為可能采用了近似等價運算，故要進行因為可能采用了近似等價運算，故要進行誤差分析，即數(shù)值問題的性態(tài)及數(shù)值方法誤差分析，即數(shù)值問題的性態(tài)及數(shù)值方法的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性第1頁/共84頁 常微分方程的數(shù)值解非線性方程的根數(shù)值積分與數(shù)值微分插值與擬合解線性方程組數(shù)值分析的

2、應(yīng)用：第2頁/共84頁第3頁/共84頁第4頁/共84頁第5頁/共84頁第6頁/共84頁第7頁/共84頁第8頁/共84頁第9頁/共84頁第10頁/共84頁第11頁/共84頁第12頁/共84頁第13頁/共84頁第14頁/共84頁第15頁/共84頁第16頁/共84頁b(s)a(s)形式。第17頁/共84頁第18頁/共84頁第19頁/共84頁第20頁/共84頁插值法插值法第21頁/共84頁要點用簡單的函數(shù)(如多項式函數(shù))作為一個復(fù)雜函數(shù)的近似，最簡單實用的方法就是插值主要介紹有關(guān)插值法的一些基本概念,及多項式插值的基礎(chǔ)理論第22頁/共84頁且不利于在計算機上其函數(shù)形式可能很復(fù)雜對函數(shù),),(xf個不同

3、的點上的一組在區(qū)間可以獲得量假如可以通過實驗或測運算1,)(,nbaxfbxxxxan210nixfyii,2 , 1 , 0),(上的函數(shù)值能否存在一個性能優(yōu)良、便于計算的函數(shù))(xP比如多項式函數(shù)一、插值問題第23頁/共84頁niyxPii,2 , 1 , 0)()()(xfxP近似代替并且用-(1)這就是插值問題, (1)式為插值條件,的插值函數(shù)為函數(shù)稱函數(shù))()(xfxP則稱之為插值多項式為多項式函數(shù)如果,)(xP為插值節(jié)點稱點nixi,2 , 1 , 0,為插值區(qū)間稱區(qū)間,ba個等分點上若給定如函數(shù)5, 0,sinxy 其插值函數(shù)的圖象如圖第24頁/共84頁00.511.522.53

4、3.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy)()(xPxf和插值函數(shù)對于被插函數(shù)處的函數(shù)值必然相等在節(jié)點ix)()(xfxP的值可能就會偏離但在節(jié)點外必然存在著誤差近似代替因此)()(xfxP第25頁/共84頁二、代數(shù)插

5、值多項式的存在唯一性整體誤差的大小反映了插值函數(shù)的好壞為了使插值函數(shù)更方便在計算機上運算，一般插值函數(shù)都使用代數(shù)多項式和有理函數(shù)討論的就是代數(shù)插值多項式上的代數(shù)插值多項式為在區(qū)間設(shè)函數(shù),)(baxfy nnnxaxaxaaxP2210)(且滿足niyxPiin,2 , 1 , 0)(-(2)-(3)第26頁/共84頁滿足線性方程組的系數(shù)即多項式nnaaaaxP,)(21000202010yxaxaxaann11212110yxaxaxaannnnnnnnyxaxaxaa2210-(4)上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階Vandermond行列式nnnnnnxxxxxxxxxV2121102001

6、11101)(ninijijxxjixx 0第27頁/共84頁定理1. 由Cramer法則，線性方程組(4)有唯一解nnnxaxaxaaxP2210)(niyxPiin,2 , 1 , 0)(-(2)-(3),(jixxji若插值節(jié)點則滿足插值條件的插值多項式存在且唯一。雖然線性方程組(4)推出的插值多項式存在且唯一但通過解線性方程組(4)求插值多項式卻不是好方法第28頁/共84頁( )(0,1, ),( ) (0,1, )( )ijnyf xx inlxinL x在節(jié)點上 以為插值基函數(shù)的插值多項式 記為為)()()()(1100 xlyxlyxlyxLnnn)(xljnjiiijixxxx

7、0)()(其中( )( )nL xyf xLagrange稱為的插值多項式插值基函數(shù)次為稱Lagrangennixlj), 1 , 0()(第29頁/共84頁例.5 , 5,11)(2xxxf設(shè)函數(shù)ninhihxnni, 1 ,0,10,515 , 5個節(jié)點等份取將插值多項式次的作試就Lagrangenxfn)(10, 8 , 6 , 4 ,2并作圖比較。解:211)(iiixxfy插值多項式次作LagrangennjnjiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10, 8 , 6 , 4 ,2n第30頁/共84頁%lagrangen.mfunction y=lagrangen(x0,

8、y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i);s=0; for k=1:n L=1; for j=1:n if j=k L=L*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s;endy; Lagrange插值多項式求插值的Matlab程序.第31頁/共84頁%Chazhibijiao.mx=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.2);plot(x,z,k,x,y,r)axis(-5 5 -1.5 2);pause,hold onfor n=2:2:10 x0=linspac

9、e(-5,5,n+1); y0=1./(1+x0.2); x=-5:0.1:5; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1), pauseendy2=1./(1+x0.2);y=interp1(x0,y2,x);plot (x,y,k),hold offgtext(n=2),gtext(n=4),gtext(n=6)gtext(n=8),gtext(n=10)gtext(f(x)=1/(1+x2)比較不同的插值多項式次數(shù)對插值的影響第32頁/共84頁-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.5

10、00.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次數(shù)的Lagrange插值多項式的比較圖Runge現(xiàn)象第33頁/共84頁結(jié)果表明，并不是插值多項式的次數(shù)越高，插

11、值效果越好，精度也不一定是隨次數(shù)的提高而升高，這種現(xiàn)象在上個世紀初由Runge發(fā)現(xiàn)，故稱為Runge現(xiàn)象。第34頁/共84頁三、三、 分段插值法分段插值法從上節(jié)可知,如果插值多項式的次數(shù)過高，可能產(chǎn)生Runge現(xiàn)象，因此，在構(gòu)造插值多項式時常采用分段插值的方法。,11kkkkxxxx形成一個插值區(qū)間任取兩個相鄰的節(jié)點構(gòu)造Lagrange線性插值第35頁/共84頁-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-

12、0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的圖象分段線性插值)(1xLy 的一條折線實際上是連接點niyxkk, 1 , 0,),(也稱折線插值,如右圖曲線的光滑性較差在節(jié)點處有尖點 但如果增加節(jié)點的數(shù)量減小步長,會改善插值效果)(lim10 xLh)(xf上連續(xù)在若,)(baxf因此則第36頁/共84頁分段低次Lagrange插值的特點計算較容易可以解決Runge現(xiàn)象但插值多項式分段插值曲線在節(jié)點處會出現(xiàn)尖點插值多項式在節(jié)

13、點處不可導(dǎo)第37頁/共84頁函數(shù)名功能interp1一維插值函數(shù)interpft利用FFT的一維插值函數(shù)interp2二維插值函數(shù)interp3三維插值函數(shù)interpn高維插值函數(shù)spline樣條插值函數(shù)MATLAB中的插值函數(shù):第38頁/共84頁一維插值： （教材67頁） 對一維函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)進行插值， yi=interp1(x,y,xi,method) (x,y)為輸入的原始數(shù)據(jù)點，x為橫坐標向量，y為縱坐標向量。x的數(shù)據(jù)必須按單調(diào)方式排列。 xi為指定插值點的橫坐標， yi為xi計算出的插值結(jié)果。如果xi的某元素xi(i)超出了x的定義范圍，則相應(yīng)yi(i)的將取為NaN。me

14、thod用于指定插值的方法，缺省時默認為線性插值法。第39頁/共84頁method含 義特點和用途linear線性插值僅用做連接圖上的數(shù)據(jù)點，速度較快，有足夠精度，最常用cubic三次多項式插值速度較慢，精度高，平滑性好，常作為平滑使用spline三次樣條插值速度最慢，精度最高，最平滑，常作為平滑使用nearst最近鄰域插值速度最快，精度最低第40頁/共84頁 例：x=0:10;y=sin(x);xi=0:0.2:15;yi1=interp1(x,y,xi);yi2=interp1(x,y,xi, nearst);yi3=interp1(x,y,xi, spline);yi4=interp1(

15、x,y,xi, cubic);subplot(2,2,1);plot(x,y, o,xi,yi1)title(線性插值);subplot(2,2,2);plot(x,y, o,xi,yi2)title(最近鄰域插值);subplot(2,2,3);plot(x,y, o,xi,yi3)title(三次樣條插值);subplot(2,2,4);plot(x,y, o,xi,yi4)title(三次多項式插值);第41頁/共84頁 從運行的結(jié)果來看，對于同樣的數(shù)據(jù)點,不同插值方法的結(jié)果也不相同。這是因為插值本身就是估計或猜測的過程，應(yīng)用不同的估計規(guī)則便會導(dǎo)致不同的結(jié)果。樣條插值的結(jié)果更平滑，但結(jié)果

16、未必更精確。第42頁/共84頁二維函數(shù)插值（教材二維函數(shù)插值（教材68頁）頁）二維函數(shù)插值是對兩個變量的函數(shù)二維函數(shù)插值是對兩個變量的函數(shù)z=f(x,y)進行插值。其調(diào)用的基本格式：進行插值。其調(diào)用的基本格式： zi=interp 2(x,y,z,xi, yi,method)：(x,y,z)為為輸入的原始數(shù)據(jù)點，輸入的原始數(shù)據(jù)點，x、y為兩個獨立的向為兩個獨立的向量，它們數(shù)據(jù)必須按單調(diào)方式排列。量，它們數(shù)據(jù)必須按單調(diào)方式排列。z為為矩陣矩陣,是由是由x,y確定的點上的值。確定的點上的值。 xi為指定為指定插值點的橫坐標，插值點的橫坐標， yi為指定插值點的縱坐為指定插值點的縱坐標。函數(shù)插值相同

17、。標。函數(shù)插值相同。第43頁/共84頁第44頁/共84頁數(shù)值積分第45頁/共84頁要點公式近似值的幾個基本求積計算定積分從而導(dǎo)出代替被積函數(shù)將用插值多項式badxxfxfxP)(),()(第46頁/共84頁badxxffI)()(對于積分公式有則由的原函數(shù)如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技術(shù)和科學(xué)研究中，常會見到以下現(xiàn)象：的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等函數(shù)如求不出來的原函數(shù))(,)()()2(xFxFxf求原函數(shù)較困難的表達式結(jié)構(gòu)復(fù)雜,)()3(xf第47頁/共84頁以上這些現(xiàn)象，N

18、ewton-Leibniz很難發(fā)揮作用只能建立積分的近似計算方法這類方法很多，但為方便起見，最常用的一種方法是利用插值多項式來構(gòu)造數(shù)值求積公式，具體步驟如下：上取一組節(jié)點在積分區(qū)間,babxxxan10次插值多項式的作nxf)(nkkknxlxfxL0)()()(為插值基函數(shù)), 1 ,0)(nkxlk不同的插值方法有不同的基函數(shù)第48頁/共84頁有的近似作為被積函數(shù)用,)()(xfxLnbadxxf)(bandxxL)( bankkkdxxlxf0)()(nkbakkdxxlxf0)()(則，若計bakkdxxlA)(badxxffI)()(nkkkxfA0)(這就是數(shù)值求積公式稱為求積系數(shù)

19、其中kA為了使一個求積公式能對更多的積分具有較好的實際計算意義，就要求它對盡可能多的被積函數(shù)都準確地成立第49頁/共84頁nbaTdxxf)( )()(2)(211nkkbfxfafnab復(fù)合梯形公式nbaSdxxf)(10121)()(4)(61nkkkkxfxfxfh)()(2)(4)(6111021bfxfxfafnabnkknkk復(fù)合Simpson公式復(fù)合拋物線公式第50頁/共84頁RombergGAUSS其它的積分方法：積分求積法 .第51頁/共84頁MATLAB中的數(shù)值積分函數(shù) （教材（教材200200頁）頁）函數(shù)名功能quad采用Simpson計算積分。精度高，較常用quad8采

20、用8樣條Newton-Cotes公式計算積分。精度高，最常用trapz采用梯形法計算積分。精度差，速度快cumtrapz采用梯形法求一區(qū)間上的積分曲線。精度差，速度快sum等寬矩形法求定積分。精度很差，速度快，一般不用cumsum等寬矩形法求一區(qū)間上的積分曲線。精度很差，速度快，一般不用第52頁/共84頁q=quad(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)q=quad8(fun,a,b,tol,trace,p1,p2,)參數(shù)fun是被積函數(shù),可以是表達式字符串、內(nèi)聯(lián)函數(shù)、M函數(shù)文件名，被積函數(shù)的自變量一般采用字母 x；a、b分別是積分的上、下限，都為確定的值；tol 是一二元向量，

21、第一個元素控制相對誤差，第二個元素控制絕對誤差；trace若取非零值，將以動態(tài)圖形展現(xiàn)積分的整個過程，若取零值，則不畫圖，其缺省值為0；p1、p2是向被積函數(shù)傳遞的參數(shù)。 在調(diào)用函數(shù)時，前三個參數(shù)是必須的，其余參數(shù)可缺省。第53頁/共84頁例 建立函數(shù) funqfunction y=funq(x)y=x.3+x.2+2;對被積函數(shù)進行數(shù)值積分q=quad(funq,-1,1,1e-4)q8=quad8(funq,-1,1,1e-4,1)第54頁/共84頁方程求根問題方程求根問題第55頁/共84頁 r d 例例.水中浮球問題水中浮球問題 有一半徑有一半徑r =10 cm的球體的球體,密密度度=0

22、.638.球體浸入水中后球體浸入水中后,浮出水面的高度浮出水面的高度h是多少？是多少？ 設(shè)球體浸入水中的深度設(shè)球體浸入水中的深度 d .根據(jù)阿基米德定律根據(jù)阿基米德定律,物體排開水的質(zhì)量就是水對物體的浮力。物體排開水的質(zhì)量就是水對物體的浮力。334rM ddxxrrV022)(整理得整理得: d 3 3 r d 2 + 4 r 3= 0 第56頁/共84頁05101520-2000-10000100020003000由由=0.638, r = 10.代入代入,得得d 3 30 d 2 + 2552 = 0 令令 f (x) = x 3 30 x 2 + 2552 圖形如下所示圖形如下所示 求方

23、程求方程 f(x)=0的根的根,即 是 求 函 數(shù)即 是 求 函 數(shù) f(x)的零點的零點. f(x) 的零點所的零點所在區(qū)間為在區(qū)間為10，15第57頁/共84頁第一步：第一步：對根進行隔離對根進行隔離，找出隔根區(qū)間，或在，找出隔根區(qū)間，或在隔根區(qū)間內(nèi)確定一個解的近似值隔根區(qū)間內(nèi)確定一個解的近似值x0；設(shè)設(shè)f(x) = 0的根為的根為 x*，通過迭代計算，通過迭代計算,產(chǎn)生序列產(chǎn)生序列: x0 x1 x2 xn 用數(shù)值方法求非線性方程的根，分兩步進行用數(shù)值方法求非線性方程的根，分兩步進行：*limxxnn第二步：第二步：逐步逼近逐步逼近，利用解的近似值，利用解的近似值x0，或隔根或隔根區(qū)間通

24、過區(qū)間通過迭代算法迭代算法得到更精確的近似解。得到更精確的近似解。理論上有理論上有第58頁/共84頁已知方程已知方程 f(x)=0有一隔有一隔根區(qū)間根區(qū)間a, b,且且f(x)滿滿足足f(a)f(b)0,則先將則先將a , b等分為兩個小區(qū)間等分為兩個小區(qū)間,判斷根屬于哪個小區(qū)判斷根屬于哪個小區(qū)間間,舍去無根區(qū)間保留舍去無根區(qū)間保留有根區(qū)間有根區(qū)間a1, b1;二分法迭代二分法迭代把區(qū)間把區(qū)間a1, b1 一分為二一分為二,進一步判斷根屬于哪進一步判斷根屬于哪個更小的區(qū)間個更小的區(qū)間a2, b2,如此不斷二分以縮小隔如此不斷二分以縮小隔根區(qū)間長度根區(qū)間長度 .第59頁/共84頁a, bx0=0.5(a+b)a1,b1=a,x0a1,b1=x0,bx1=0.5(a1+b1)f(a1 )f(b1 )0已知已知f(x)=0在在a,b內(nèi)有一根內(nèi)有一根,且且f(a)f(b)0(1)計算計算:x0=0.5(a+b),y0=f(x0),ya=f(a)(2)判斷判斷,若若y0=0,則則x0是根是根,否則轉(zhuǎn)否則轉(zhuǎn)(3)(3)判斷判斷,若若y0ya0