曲線積分與曲面積分(4)課件

1、曲線積分與曲面積分(4)1第九章第九章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分Green公式的實質(zhì)公式的實質(zhì)之間的聯(lián)系，即在平面閉區(qū)域之間的聯(lián)系，即在平面閉區(qū)域D溝通了沿溝通了沿閉曲線的第二類曲線積分閉曲線的第二類曲線積分與與二重積分二重積分第三節(jié)第三節(jié) Green公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用 上的二重積分可以通過閉區(qū)域上的二重積分可以通過閉區(qū)域D的邊界的邊界曲線曲線L上的第二類曲線積分來表達。上的第二類曲線積分來表達。曲線積分與曲面積分(4)2第三節(jié)第三節(jié) Green公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)Green(格林格林)公式公式平面曲線積分與路徑無關(guān)的平面曲線積分與路徑無

2、關(guān)的條件條件二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積格林格林 Green.G. (17931841) 英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家第九章第九章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分(4)3DD1. 區(qū)域連通性的分類區(qū)域連通性的分類 設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域為平面區(qū)域, ,復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域單連通區(qū)域一、一、GreenGreen公式公式否則稱為否則稱為則稱則稱D為平面為平面復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域. .成的部分都屬于成的部分都屬于D,如果如果D內(nèi)任一閉曲線所圍內(nèi)任一閉曲線所圍單連通區(qū)域單連通區(qū)域, ,GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4

3、)4GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用,DD的邊界曲線對平面區(qū)域規(guī)定它的規(guī)定它的正向正向如下：如下：正向邊界曲線正向邊界曲線:區(qū)域區(qū)域D的帶有正向的邊界曲線，稱為的帶有正向的邊界曲線，稱為D的的正向邊正向邊界曲線，界曲線， 記為記為D當觀察者沿邊界行走時當觀察者沿邊界行走時, ,區(qū)域區(qū)域D總在他的總在他的左邊左邊. .xyODLDLlxyO曲線積分與曲面積分(4)5格林定理格林定理( (定理定理9-1)9-1)設(shè)設(shè)D是是xOy面上的面上的有界有界閉閉DDyQxPyxyPxQdddd)()1(),(),(yxQyxP及及函數(shù)函數(shù)在在D上具有上具有 一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , 則

4、有則有2. GreenGreen公式公式公式公式(1)稱稱GreenGreen公式公式. .GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用區(qū)域，區(qū)域， 其邊界曲線其邊界曲線D由有限條光滑或分段由有限條光滑或分段光滑的曲線所組成，光滑的曲線所組成，曲線積分與曲面積分(4)6),()(),(21bxaxyxyxD ),()(),(21dycyxyyxD 1.先對單連通區(qū)域證明先對單連通區(qū)域證明:證明證明(1)若區(qū)域若區(qū)域D既是既是型型 X又是又是型型 Y即平行于坐標軸的直線即平行于坐標軸的直線和和L至多交于兩點至多交于兩點.xyOabdcD)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx Gr

5、eenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用DDyQxPyxyPxQdddd)(曲線積分與曲面積分(4)7D)(2yx )(1yx DyxxQdd dcyyyQd),(2 CBEyyxQd),(同理可證同理可證DDxyxPyxyPd),(dd dcyd dcyyyQd),(1 EACyyxQd),( dcyyyyxQd),()()(21 xxQyyd)()(21 xyOdcABCEGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用DDyQxPyxyPxQdddd)(而而DdyyxQ),( dcyyyQd),(2 cdyyyQd),(1所以所以 DyxxQddDdyyxQ),(DDyQxPyxyPxQdd

6、dd)(曲線積分與曲面積分(4)8DL(2) 再對一般區(qū)域證明再對一般區(qū)域證明: :1L1D2D3D DyxyPxQdd)(積分區(qū)域的可加性積分區(qū)域的可加性 若區(qū)域若區(qū)域D既不是既不是如圖，如圖，可將可將D分成三個既是分成三個既是型型 X又是又是型型 Y的區(qū)域的區(qū)域,1D yxyPxQdd)(2L3L321DDD ,2D.3D又不是又不是GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用型型 X型型 Y的區(qū)域，的區(qū)域，可以可以通過加輔助線將通過加輔助線將D劃分成若劃分成若干個既是干個既是型型 X又是又是型型 Y的區(qū)域。的區(qū)域。例如，例如，曲線積分與曲面積分(4)9 321ddLLLyQxP Dyxy

7、PxQdd)( 321dd)(DDDyxyPxQ yxyPxQdd)( yxyPxQdd)( yQxPdd yQxPddDDyQxPyxyPxQdddd)( yxyPxQdd)(1D2D3D yQxPdd1DDL1L2L3L1D2D3DGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用ABC2D3D1DACL 12DBAL 23DCBL 3DyQxPdd曲線積分與曲面積分(4)101L2L3L(3) 對復(fù)連通區(qū)域證明對復(fù)連通區(qū)域證明: :由由(2)知知 DyxyPxQdd)( 3L)0, 0( CEECABBA 若區(qū)域不止由一條閉曲線若區(qū)域不止由一條閉曲線添加直線段添加直線段,AB.CE則則D的邊界

8、曲線由的邊界曲線由,AB,2L,BA,AFC,CE,3LECCGA及及構(gòu)成構(gòu)成. 所圍成所圍成. . AB 2L BA AFC CE)dd(yQxP EC CGA)dd(yQxP 2L( 3L 1L)對復(fù)連通區(qū)域?qū)?fù)連通區(qū)域D,格林公式格林公式且邊界的方向?qū)^(qū)且邊界的方向?qū)^(qū)的曲線積分的曲線積分,右端應(yīng)包括沿區(qū)域右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的的全部邊界全部邊界域域D來說都是正向來說都是正向.GFDCEABGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用DyQxPdd曲線積分與曲面積分(4)11 便于記憶形式便于記憶形式: LDyQxPyxQPyxddddGreen公式的實質(zhì)公式的實質(zhì)之間的聯(lián)系之間的聯(lián)系.溝

9、通了沿閉曲線的第二類曲線積分與溝通了沿閉曲線的第二類曲線積分與二重積分二重積分DDyQxPyxyPxQdddd)(GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)12Dxyyxdd(1) 計算平面面積計算平面面積3. 簡單應(yīng)用簡單應(yīng)用Green公式公式DxyyxAdd21y x得得 Dyxdd2閉區(qū)域閉區(qū)域D的的面積面積GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用DDyQxPyxyPxQdddd)(曲線積分與曲面積分(4)13Oxy 例例 求橢圓求橢圓解解由公式由公式得得tttabAd)sin(cos212202 ab D 20 ,sin,cos ttbytax所圍成的面積

10、所圍成的面積. LxyyxAdd21GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)142.1(2) 簡化曲線積分簡化曲線積分例例 LyyyyxexyxeI,d)2(d3計計算算其中其中L為圓周為圓周xyx222 解解,yeP yxexyQy23 ,yeyP yeyxQ 33yyPxQ 由由格林公式格林公式有有 I對稱性對稱性的的正向正向.Oxy yxyDdd30GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用DDyQxPyxyPxQdddd)(曲線積分與曲面積分(4)15對對平面閉曲線平面閉曲線上的第二類曲線積分上的第二類曲線積分,yPxQ 當當比較簡單時比較簡單時, ,常常

11、考慮通過常?？紤]通過格林格林公式公式化為化為二重積分二重積分來計算來計算. .GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)16例例 計算計算 ,d)cos(d)sin(ymyexmyyexAOx .22axyx 分析分析但由但由myeQx cos xQ yP可知可知 yPxQ非常簡單非常簡單.)0 ,(aA)0 , 0(Om,cos yexmyex cos,sinmyyePx 其中其中AO是從點是從點的上半圓周的上半圓周到點到點此積分路徑此積分路徑AO不是閉曲線不是閉曲線! !OxyGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用)0 ,(aA曲線積分與曲面積分(4)17O

12、xy為應(yīng)用為應(yīng)用格林公式格林公式再補充一段曲線再補充一段曲線,因在補充的曲線上還要算曲線積分因在補充的曲線上還要算曲線積分,補充的曲線要簡單補充的曲線要簡單,使之構(gòu)成使之構(gòu)成閉曲線閉曲線.所以所以因而這里補加直線段因而這里補加直線段直線段直線段.通常是補充與坐標軸平行的通常是補充與坐標軸平行的 L不閉合不閉合+邊邊L,使使L+ L閉合閉合,再用再用格林公式格林公式.由由格林公式格林公式 Dyxmdd ymyexmyyexOAAOxd)cos(d)sin( 281am 解解.OAaxy 0, 0OA的方程為的方程為所以所以, I.812am 0812am AO OA OAmyPxQ GreenG

13、reen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用)0 ,(aA ax0d0而而0000ymyexmyyexOAxd)cos(d)sin(曲線積分與曲面積分(4)180(3) 簡化二重積分簡化二重積分則則 yPxQ解解 令令, 0 P2yxeQ 例例為頂點的三角形閉區(qū)域為頂點的三角形閉區(qū)域. Dyyxe,dd2計計算算是是其中其中D)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO以以格林公式格林公式 Dyyxedd2 BOABOAyyxed2 OAyyxed2 AByyxed2 BOyyxed22ye )1(211 e 10d2xxex0 0 0Oxy11ABDGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用D

14、DyQxPyxyPxQdddd)(曲線積分與曲面積分(4)19解解記記L所圍成的閉區(qū)域為所圍成的閉區(qū)域為D,其中其中L為一條無重點為一條無重點,分段光滑且分段光滑且不經(jīng)過原點不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線的連續(xù)閉曲線,L的方向為逆時針方向的方向為逆時針方向.例例 Lyxxyyx,dd22計算計算令令,22yxyP 22yxxQ 時，時，則當則當022 yx有有 xQyP 22222)(yxxy GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)20L Lyxxyyx22dd即即L為為不包圍原點不包圍原點的任一閉曲線的任一閉曲線.即即L為為包圍原點包圍原點在內(nèi)的任一在內(nèi)的任一閉曲線閉曲

15、線.由格林公式由格林公式時，時，當當D )0 , 0()1(時時，當當D )0 , 0()2(應(yīng)用由應(yīng)用由格林公式格林公式,得得0yPxQ 作位于作位于D內(nèi)圓周內(nèi)圓周222:ryxl ,1所所圍圍成成和和由由記記lLDDLxyOD1DrlxyOGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用DDyQxPyxyPxQdddd)(曲線積分與曲面積分(4)21 Lyxxyyx22dd 2022222dsincosrrr Lyxxyyx22dd 2 注意格林公式的條件注意格林公式的條件yxyPxQdd 00 lyxxyyx22dd sincosryrx1DyPxQ lyxxyyx22dd222:ryxl

16、其中其中l(wèi) 的方向取的方向取逆時針方向逆時針方向L1DrlxyOGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)22練習(xí)練習(xí)計算計算.d)(d)3( LxyxyyxL L是圓周是圓周: :如把如把圓周寫成參數(shù)方程圓周寫成參數(shù)方程: :,cos31 x再將線積分化為定積分計算再將線積分化為定積分計算,用用格林公式格林公式易求易求.答案答案: : 18分析分析 sin34 y)20( 則過程較麻煩則過程較麻煩.GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用9)4() 1(22yx曲線積分與曲面積分(4)23G 1ddLyQxP 2ddLyQxPB如果在區(qū)域如果在區(qū)域G內(nèi)有內(nèi)有二、

17、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件二、平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件AL1L21. 平面曲線積分與路徑無關(guān)的定義平面曲線積分與路徑無關(guān)的定義否則與路徑有關(guān)否則與路徑有關(guān).則稱曲線積分則稱曲線積分 LyQxPdd在在G內(nèi)內(nèi)與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), ,xyOGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)24GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用2. .平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理定理9-29-2 設(shè)設(shè)D是一個平面上的是一個平面上的單連通單連通區(qū)域，區(qū)域，),(),(yxQyxP在在D內(nèi)有內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個命題則以下四個命題等價

18、等價：(1) 對于對于D中任意一條分段光滑的閉曲線中任意一條分段光滑的閉曲線L,總有總有0),(),(dyyxQdxyxPL(2) 曲線積分曲線積分dyyxQdxyxPL),(),(在在D內(nèi)內(nèi)與與路徑無關(guān)路徑無關(guān)；(3) 表達式表達式dyyxQdxyxP),(),(在在D內(nèi)是某個內(nèi)是某個的全微分，的全微分， 即存在即存在),(yxu使得使得.),(),(dyyxQdxyxPdu二元函數(shù)二元函數(shù)xQyP (4)在在D內(nèi)恒成立。內(nèi)恒成立。曲線積分與曲面積分(4)25GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用證明：證明： 定理中的四個條件互為定理中的四個條件互為充要條件充要條件。 證明方式：證明方

19、式：(1)(2)(3)(4)(1): )2() 1 (0),(),(dyyxQdxyxPL路徑無關(guān)路徑無關(guān)在在D內(nèi)與內(nèi)與GABL1L2如圖，在如圖，在(1)的條件下的條件下dyyxQdxyxPL),(),(0dyyxQdxyxP),(),(dyyxQdxyxP),(),(1L2LdyyxQdxyxPL),(),(2于是，于是，dyyxQdxyxPL),(),(1dyyxQdxyxPL),(),(2dyyxQdxyxPL),(),(曲線積分與曲面積分(4)26: )3()2(GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用在在D內(nèi)與內(nèi)與路徑無關(guān)路徑無關(guān).),(),(dyyxQdxyxPdu內(nèi)任意兩點

20、，是設(shè)DyxByxA),(),(00由條件由條件(2)dyyxQdxyxPAB),(),(dyyxQdxyxP),(),(),(00yx),(yx),(yxu只需證只需證),(yxPxu).,(yxQyu由偏導(dǎo)定義由偏導(dǎo)定義limxu),(),(yxuyxxux0 x),(yxxudyyxQdxyxP),(),(),(00yx),(yxxdyyxQdxyxPL),(),(曲線積分與曲面積分(4)27),(yxxudyyxQdxyxP),(),(),(00yx),(yxxGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用xyOGABM),(00yx),(yx),(yxxdyyxQdxyxP),(),(

21、),(00yx),(yxdyyxQdxyxP),(),(),(yx),(yxx),(yxudxyxP),(xxx),(yxPxu于是，于是，),(yxxu),(yxudxyxP),(xxxxyxxP),(積分中值定理積分中值定理0limxxu),(yxxP),(yxPP連續(xù)連續(xù)同理可證同理可證).,(yxQyu.),(),(dyyxQdxyxPdu所以所以,曲線積分與曲面積分(4)28GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用(3)(4):存在存在),(yxu使得使得.),(),(dyyxQdxyxPdu由由(3)知，知，),(yxPxu).,(yxQyu所以，所以，2,Puyx y 2,Q

22、uxy x 由于由于,PQyx連續(xù)，故連續(xù)，故22,uux yy x xQyP 從而從而xQyP 曲線積分與曲面積分(4)290),(),(dyyxQdxyxPLGreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用(4)(1):xQyP 對對G內(nèi)任意一條閉曲線內(nèi)任意一條閉曲線L, 由于由于G是是單連通的，單連通的， 所以所以L的內(nèi)部的內(nèi)部必全部包含在必全部包含在G內(nèi)，內(nèi)，從而在從而在xQyP 由由Green公式公式QdyPdxdxdyyPxQ0即證。即證。內(nèi)恒有內(nèi)恒有L曲線積分與曲面積分(4)30GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用定理定理9-2的簡單應(yīng)用：的簡單應(yīng)用：(1)簡化曲線積分簡化曲

23、線積分例例 計算曲線積分計算曲線積分,)()21 (22dyyxdxyxyL其中其中L是是) 1 , 1 ()0 , 0(222到上從yyx的一段的一段有向弧有向弧.xyO) 1 , 1 (B解解,21),(2yxyyxP,),(2yxyxQyP)(2yxxQ由定理由定理9-2, 曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān).L曲線積分與曲面積分(4)31曲線積分與路徑無關(guān)曲線積分與路徑無關(guān).GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用xyO)0 , 1 (A) 1 , 1 (BL所以所以可以用有向折線可以用有向折線ABOAL1代替有向弧代替有向弧L. 如圖如圖. 于是于是,)()21 (22dyyx

24、dxyxyLdyyxdxyxy22)()21 (dyyxdxyxy22)()21 (OAAB10:, 0:xyOA10:, 1:yxAB10 xdx0000102)1 (dyy34,)()21 (22dyyxdxyxyL) 1 , 1 ()0 , 0(222到上從yyx:L曲線積分與曲面積分(4)32xyO 解解1523 原式原式=yyxxxyxd)(d)2(422 102dxxyy d )1(104 xyxxxQ2)(42 xxyxyyP2)2(2 原積分與路徑無關(guān)原積分與路徑無關(guān).例例 Lyyxxxyx.d)(d)2(422計計算算為為其中其中L.2sin)1 , 1()0 , 0(xyB

25、O 的的曲曲線線弧弧到到點點由由點點xQyP )0 , 0()1 , 1()1 , 1(B )0 , 1(GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)33考慮表達式考慮表達式如果存在一個函數(shù)如果存在一個函數(shù)yyxQxyxPd),(d),( ),(yxu使得使得 ),(dyxu則稱則稱yyxQxyxPd),(d),( 并將并將的的一一個個稱稱為為yyxQxyxPyxuud),(d),(),( yyxQxyxPd),(d),( 全微分式全微分式, ,為一為一原函數(shù)原函數(shù). .GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用(2) 求求yyxQxyxPd),(d),( 的原函數(shù)的

26、原函數(shù)定理定理9-2的簡單應(yīng)用：的簡單應(yīng)用：曲線積分與曲面積分(4)34 由由例例,ddd2xxyyxxy .ddd2yyxxyyx 可知可知:,dd2xxyyx 2ddyyxxy 都是都是分別是上面的分別是上面的,xy,xyyxyxxyxydd)(d ,ddyxxy 原函數(shù)原函數(shù). .全微分式全微分式. .GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)35 下面說明一般怎樣下面說明一般怎樣 判斷全微分式判斷全微分式求原函數(shù)求原函數(shù)xQyP 由定理由定理9-2，yyxQxyxPd),(d),( 是一個是一個全微分式全微分式, ,即即 ),(dyxuyyxQxyxPd),(

27、d),( (1) 判斷全微分式判斷全微分式曲線積分與曲面積分(4)36xQyP 若若),(),(00d),(d),(yxyxyyxQxyxPxyxPxxd),(00),(0yxC),(yxByyxQyyd),(00D(x0 , y)yyxQyyd),(0 xyxPxxd),(0或或則則Oxy),(00yxA GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用(2) 求原函數(shù)求原函數(shù)),(yxu),(yxu),(),(00d),(d),(yxyxyyxQxyxPACBADB曲線積分與曲面積分(4)37例例問問 是否為全微分式是否為全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 用曲線積分求其一個原函數(shù)用曲

28、線積分求其一個原函數(shù).如是如是,解解在全平面成立在全平面成立.xQeyPy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式. 222yxexy 因而一個原函數(shù)是：因而一個原函數(shù)是：全平面為單連通域，全平面為單連通域，yyxexxeyxuyyxyd)2(d )(),(),()0 ,0( yyxeyyd )2(0 xxexd )(00 xyO法一法一 )0 ,(x(x,y)GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)38這個原函數(shù)也可用下法這個原函數(shù)也可用下法“分組分組”湊出湊出: 222dyxxey222),(yxexyxuy yyxexxeyyd)2(d)( )dd(yxexey

29、y )(dyxe )d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)39因為函數(shù)因為函數(shù)u滿足滿足Pxexuy 故故yy2)( 從而從而所以所以,Cyxxeyxuy 222),(問問 是否為全微分式是否為全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 用曲線積分求其一個原函數(shù)用曲線積分求其一個原函數(shù).如是如是, xxeuyd )(22xxey )(y 由此得由此得yxey2 y的待定函數(shù)的待定函數(shù)法三法三GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用)(yxeyyuCyyyy2d2)(曲線積分與曲面積分(4)40解解,2)(2xy

30、xyyyP )()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP )(),(xyyxQ xQyP 積分與路徑無關(guān)積分與路徑無關(guān)設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),yxyxxyLd)(d2 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計算計算例例即即格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用xyxy2)( 曲線積分與曲面積分(4)41xyO 10d0 x21 (1,0) 10dyyxyxy2)( 由由Cxx 2)( 0 C知知2)(xx )1 , 1( 法一法一設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),yxyxxyLd)(d2 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)

31、具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 計算計算 )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy , 0)0( 由由格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy曲線積分與曲面積分(4)42xyO法二法二)1 , 1( )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy )1 , 0( 10d0 yy 102d1xx0 1022x 21 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用設(shè)曲線積分設(shè)曲線積分與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),yxyxxyLd)(d2 具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù), 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()

32、0,0(2.d)(dyxyxxy 計算計算 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy曲線積分與曲面積分(4)43GreenGreen公式公式 LDyQxPyxyPxQdddd)(四、小結(jié)四、小結(jié)單單( (復(fù)復(fù)) )連通區(qū)域的概念連通區(qū)域的概念 GreenGreen公式的三個應(yīng)用公式的三個應(yīng)用Green公式的實質(zhì)公式的實質(zhì)的聯(lián)系的聯(lián)系.溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間溝通了沿閉曲線的積分與二重積分之間注意使用條件注意使用條件GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)44LyQxPD與路徑無關(guān)內(nèi)在dd)2(CDCyQxP閉曲線, 0dd) 1 (yQxPuyxuDd

33、dd),() 3(使內(nèi)存在在.,)4(xQyPD 內(nèi)內(nèi)在在 與路徑無關(guān)的四個等價命題與路徑無關(guān)的四個等價命題 條件條件在在單連通單連通開區(qū)域開區(qū)域D上上),(),(yxQyxP具有具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), ,則以下則以下四個命題四個命題成立成立. .GreenGreen公式及其應(yīng)用公式及其應(yīng)用曲線積分與曲面積分(4)45xyO思考題思考題.)(dd)0, 1()1,0(2 yxxyyxI計計算算曲曲線線積積分分為為其中其中L.)0 , 1()1, 0(的的直直線線段段至至自自積積分分路路徑徑BA 是非題是非題解解 因為因為xQyxxyyP 422)(故曲線積分與路徑無關(guān)故曲線積分與路徑無關(guān).)1, 0( A )0 , 1(B AOyxxyyxI2)(dd OByxxyyx2)(dd 012)0