3.3幾何概型

1、 著名的隨機(jī)試驗(yàn)著名的隨機(jī)試驗(yàn) 蒲蒲豐投針試驗(yàn)豐投針試驗(yàn) 法國(guó)自然哲學(xué)家法國(guó)自然哲學(xué)家蒲蒲豐曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)投豐曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)投針試驗(yàn)他在一張紙上畫了很多條距離相等針試驗(yàn)他在一張紙上畫了很多條距離相等的平行直線，他將小針隨意地投在紙上，他的平行直線，他將小針隨意地投在紙上，他一共投了一共投了2212次，結(jié)果與平行直線相交的共次，結(jié)果與平行直線相交的共有有704根總數(shù)根總數(shù)2212與相交數(shù)與相交數(shù)704的比值為的比值為3.142這一比值接近這一比值接近. 一次又一次地將細(xì)針任意投擲在白紙上，這樣一次又一次地將細(xì)針任意投擲在白紙上，這樣反復(fù)投擲反復(fù)投擲n次，數(shù)數(shù)細(xì)針與平行線相交的次數(shù)為次，數(shù)數(shù)細(xì)針與平行

2、線相交的次數(shù)為k，于是得到于是得到的近似值為：的近似值為： .kn 實(shí)驗(yàn)者實(shí)驗(yàn)者年代年代投擲次數(shù)投擲次數(shù)相交次數(shù)相交次數(shù)圓周率估計(jì)圓周率估計(jì)值值沃爾夫沃爾夫1850500025313.1596史密斯史密斯1855320412193.1554德摩根德摩根16806003833.137?？怂垢？怂?88410304893.1595拉澤里尼拉澤里尼1901340818083.1415929賴納賴納192525208593.1795后來(lái)有許多人步布豐的后塵，用同樣的方法計(jì)算后來(lái)有許多人步布豐的后塵，用同樣的方法計(jì)算值值 其中最為神奇的是意大利數(shù)學(xué)家其中最為神奇的是意大利數(shù)學(xué)家拉澤拉澤里尼里尼(Lazz

3、erini )他在他在1901年宣稱進(jìn)行了年宣稱進(jìn)行了多次投針試驗(yàn)得到了的值為多次投針試驗(yàn)得到了的值為3.1415929這這與與的精確值相比，一直到小數(shù)點(diǎn)后七位的精確值相比，一直到小數(shù)點(diǎn)后七位才出現(xiàn)不同！用如此巧妙的方法，求得如才出現(xiàn)不同！用如此巧妙的方法，求得如此高精確的值，這真是天工造物！此高精確的值，這真是天工造物！ 蒲豐投針實(shí)驗(yàn)是第一個(gè)用幾何形式表達(dá)蒲豐投針實(shí)驗(yàn)是第一個(gè)用幾何形式表達(dá)概率問(wèn)題的例子，他首次使用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)處理概率問(wèn)題的例子，他首次使用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)處理確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題，為概率論的發(fā)展起到一定確定性數(shù)學(xué)問(wèn)題，為概率論的發(fā)展起到一定的推動(dòng)作用。的推動(dòng)作用。蒲蒲豐豐 （法）（法） 在概率

4、論發(fā)展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮在概率論發(fā)展的早期，人們就已經(jīng)注意到只考慮那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還那種僅有有限個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)是不夠的，還必須考慮有無(wú)限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況必須考慮有無(wú)限多個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的情況.例如一個(gè)人到例如一個(gè)人到單位的時(shí)間可能是單位的時(shí)間可能是8:009:00之間的任何一個(gè)時(shí)刻；之間的任何一個(gè)時(shí)刻；往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任往一個(gè)方格中投一個(gè)石子，石子可能落在方格中的任何一點(diǎn)上何一點(diǎn)上這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無(wú)限多個(gè)這些試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果都是無(wú)限多個(gè).怎樣求其概率？怎樣求其概率？閱讀教材閱讀教材P135-136，回答問(wèn)題：，

5、回答問(wèn)題：什么是幾何概率模型？有何特征？什么是幾何概率模型？有何特征？ 閱讀教材閱讀教材P135-136，回答問(wèn)題：，回答問(wèn)題：什么是幾何概率模型？有何特征？什么是幾何概率模型？有何特征？ 1、幾何概率模型的識(shí)別、幾何概率模型的識(shí)別 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為型為幾何概率模型幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型，簡(jiǎn)稱幾何概型.幾何概型的基本特征：幾何概型的基本特征：（1）可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；）可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；（2）每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等）每個(gè)

6、結(jié)果發(fā)生的可能性相等. 2、幾何概型的概率、幾何概型的概率在幾何概型中，事件在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式如下：的概率計(jì)算公式如下：()AP A 構(gòu)構(gòu)成成事事件件 的的區(qū)區(qū)域域長(zhǎng)長(zhǎng)度度（面面積積或或體體積積）試試驗(yàn)驗(yàn)的的全全部部結(jié)結(jié)果果所所構(gòu)構(gòu)成成的的區(qū)區(qū)域域長(zhǎng)長(zhǎng)度度（面面積積或或體體積積） 例例1.某人午休醒來(lái)某人午休醒來(lái),發(fā)覺(jué)表停了發(fā)覺(jué)表停了,他打開(kāi)收音機(jī)想聽(tīng)電他打開(kāi)收音機(jī)想聽(tīng)電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不多于10分鐘的概率分鐘的概率.打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻位于 時(shí)間段內(nèi)時(shí)間段內(nèi)則事件則事件A發(fā)生發(fā)生.即即“等待報(bào)時(shí)的時(shí)間不超過(guò)等待報(bào)時(shí)的時(shí)

7、間不超過(guò)10分鐘分鐘”的概率為的概率為解：解：記記“等待的時(shí)間等待的時(shí)間不多于不多于10分鐘分鐘”為事件為事件A，50，60由幾何概型的求概率公式得由幾何概型的求概率公式得605060)( AP1,6 1.6 在本例中，打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻在本例中，打開(kāi)收音機(jī)的時(shí)刻X是隨機(jī)的，可以是是隨機(jī)的，可以是060之之間的任何一刻，并且是等可能的間的任何一刻，并且是等可能的.我們稱我們稱X服從服從0,60上的均勻分上的均勻分布，布，X為為0,60上的上的均勻隨機(jī)數(shù)均勻隨機(jī)數(shù).解解:如圖設(shè)送報(bào)人到達(dá)時(shí)間如圖設(shè)送報(bào)人到達(dá)時(shí)間 為為 x,父親離家時(shí)間為父親離家時(shí)間為y.(x, y)可以看成平面中的點(diǎn)可以看成平面中

8、的點(diǎn).試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋涸囼?yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋?87 , 5 . 75 . 6| ),( yxyx這是一個(gè)正方形區(qū)域，這是一個(gè)正方形區(qū)域， 面積為面積為1.S 事件事件A表示父親在離家前能得表示父親在離家前能得到報(bào)紙，到報(bào)紙， 所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋核鶚?gòu)成的區(qū)域?yàn)椋? , )|,6.57.5,78,Ax yyxxy 例例2. 假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙,送報(bào)人可能在早上送報(bào)人可能在早上6:307:30之間把報(bào)紙送到你家之間把報(bào)紙送到你家,你父親離開(kāi)家去工作你父親離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上的時(shí)間在早上7:008:00之間之間,問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能問(wèn)你父親在離開(kāi)家前能得到

9、報(bào)紙得到報(bào)紙(稱為事件稱為事件A)的概率是多少的概率是多少?即圖中陰影部分，即圖中陰影部分， 面積為面積為AS 7( ).8ASP AS 1111222 7.8歸納：歸納：對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是要解題的關(guān)鍵是要建立模型建立模型,找出隨機(jī)事件與所有基本事件相找出隨機(jī)事件與所有基本事件相對(duì)應(yīng)的幾何區(qū)域?qū)?yīng)的幾何區(qū)域,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概率問(wèn)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概率問(wèn)題題,利用幾何概率公式求解利用幾何概率公式求解.例例3.取一個(gè)邊長(zhǎng)為取一個(gè)邊長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概

10、率.2a事事件件A A, ,記記“豆豆子子落落在在圓圓內(nèi)內(nèi)”為為: :解解.4 4豆豆子子落落入入圓圓內(nèi)內(nèi)的的概概率率為為答答4 44 4a aa a正正方方形形面面積積圓圓的的面面積積P P( (A A) )2 22 2數(shù)學(xué)拓展：模擬撒豆子試驗(yàn)估計(jì)圓周率數(shù)學(xué)拓展：模擬撒豆子試驗(yàn)估計(jì)圓周率( ).mP An由此可得由此可得nm4 如果向正方形內(nèi)撒如果向正方形內(nèi)撒 顆豆子，其中落在圓內(nèi)的顆豆子，其中落在圓內(nèi)的豆子數(shù)為豆子數(shù)為 ，那么當(dāng)，那么當(dāng) 很大時(shí)，比值很大時(shí)，比值 ，即頻率應(yīng)接近于即頻率應(yīng)接近于 ，于是有，于是有nmn( )P Amn例例4.兩根相距兩根相距8m的木桿上系一根拉直繩子的木桿上

11、系一根拉直繩子,并在并在繩子上掛一盞燈繩子上掛一盞燈,求燈與兩端距離都大于求燈與兩端距離都大于3m的的概率概率.解：解：記記“燈與兩端距離都大于燈與兩端距離都大于3m”為事件為事件A，41 8 82 2A A) )事事件件A A發(fā)發(fā)生生的的概概率率P P( (由于繩長(zhǎng)由于繩長(zhǎng)8m，當(dāng)掛燈位置介于中間，當(dāng)掛燈位置介于中間2m時(shí)，事件時(shí)，事件A發(fā)生，于是發(fā)生，于是例例5.國(guó)家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽(tīng)錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談國(guó)家安全機(jī)關(guān)監(jiān)聽(tīng)錄音機(jī)記錄了兩個(gè)間諜的談話，話， 發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)30min的磁帶上，從開(kāi)始的磁帶上，從開(kāi)始30s處起，有處起，有10s長(zhǎng)的長(zhǎng)的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的一段內(nèi)容包含間諜犯罪的 信息后來(lái)

12、發(fā)現(xiàn)信息后來(lái)發(fā)現(xiàn),這段談話的部這段談話的部分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無(wú)意分被某工作人員擦掉了，該工作人員聲稱他完全是無(wú)意中按錯(cuò)了鍵，使從此后起往后的所有內(nèi)容都被擦掉中按錯(cuò)了鍵，使從此后起往后的所有內(nèi)容都被擦掉了那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或了那么由于按錯(cuò)了鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大？全部擦掉的概率有多大？解解:記事件記事件A:按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或按錯(cuò)鍵使含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部擦掉則事件全部擦掉則事件A發(fā)生就是在發(fā)生就是在-min時(shí)間時(shí)間段內(nèi)按錯(cuò)鍵故段內(nèi)按錯(cuò)鍵故 P(A)= 2 2 3 330= 1 1 4545例例6

13、.某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了一某商場(chǎng)為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，并規(guī)定:顧客顧客每購(gòu)買每購(gòu)買100元的商品，就能獲得一次元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)。如果轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)。如果轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅、黃或綠的區(qū)域，顧指針正好對(duì)準(zhǔn)紅、黃或綠的區(qū)域，顧客就可以獲得客就可以獲得100元、元、50元、元、20元的元的購(gòu)物券（轉(zhuǎn)盤等分成購(gòu)物券（轉(zhuǎn)盤等分成20份）份）甲顧客購(gòu)物甲顧客購(gòu)物120元，他獲得購(gòu)物券的概率是多少？元，他獲得購(gòu)物券的概率是多少？他得到他得到100元、元、50元、元、20元的購(gòu)物券的概率分別是多少？元的購(gòu)物券的概率分別

14、是多少？ 12420 220420解：解：甲顧客購(gòu)物的錢數(shù)在甲顧客購(gòu)物的錢數(shù)在100元到元到200元之間，可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)元之間，可以獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，轉(zhuǎn)盤一共等分了盤的機(jī)會(huì)，轉(zhuǎn)盤一共等分了20份，份，其中其中1份紅色、份紅色、2份黃色、份黃色、4份綠色，份綠色，因此對(duì)于顧客來(lái)說(shuō)：因此對(duì)于顧客來(lái)說(shuō)：P(獲得購(gòu)物券獲得購(gòu)物券)=7.20 1.20P(獲得獲得100元購(gòu)物券元購(gòu)物券)=P(獲得獲得50元購(gòu)物券元購(gòu)物券)=P(獲得獲得20元購(gòu)物券元購(gòu)物券)=1.5 1.10 練習(xí)練習(xí)1：在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABC中，在斜邊中，在斜邊AB上上任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)M，求，求AM小于小于A

15、C的概率。的概率。分析：分析：點(diǎn)點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段隨機(jī)地落在線段AB上，故線段上，故線段AB為為區(qū)域區(qū)域D. 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的線段位于圖中的線段AC上時(shí)，上時(shí)，AMAC，故線段，故線段AC即為區(qū)域即為區(qū)域d。解：解： 在在AB上截取上截取AC=AC，于是，于是 P(AMAC)=P(AMAC)ACACABAB 則則AM小于小于AC的概率為的概率為2.2ABCMC,22 練習(xí)練習(xí)2：在半徑為：在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，連成一條線，則其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形連成一條線，則其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？的邊長(zhǎng)的概率是多少？BCDE.0解解：記事件：記事件A=弦

16、長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)等邊三角形的邊長(zhǎng)，取圓內(nèi)接，取圓內(nèi)接等邊三角形等邊三角形BCD的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B為弦為弦的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)另一點(diǎn)在劣弧的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)另一點(diǎn)在劣弧CD上時(shí)，上時(shí)，|BE|BC|，而弧，而弧CD的長(zhǎng)度是圓周長(zhǎng)的三分之一，的長(zhǎng)度是圓周長(zhǎng)的三分之一，所以可用幾何概型求解，有所以可用幾何概型求解，有31)( AP則則“弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”的概率為的概率為313.(會(huì)面問(wèn)題會(huì)面問(wèn)題)甲、乙二人約定在甲、乙二人約定在 12 點(diǎn)到點(diǎn)到 5 點(diǎn)之間在點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去,設(shè)二人在設(shè)

17、二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會(huì)面的概率。不影響。求二人能會(huì)面的概率。解：解： 以以 x, y 分別表示甲分別表示甲、乙二人到達(dá)的時(shí)刻，乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是于是05, 05.xy 即即 點(diǎn)點(diǎn) M 落在圖中的陰影部落在圖中的陰影部分分.所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有方形，即有無(wú)窮多個(gè)結(jié)果無(wú)窮多個(gè)結(jié)果.由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的等可能的.M(x,y)y5 54 43 32 21 10 1 2 3 4 50 1

18、 2 3 4 5x二人會(huì)面的條件是：二人會(huì)面的條件是： | 1,xy 2 25 5. .9 92 25 54 42 21 12 22 25 5正正方方形形的的面面積積陰陰影影部部分分的的面面積積P P( (A A) )2 20 1 2 3 4 5yx5544332 21 1y=x+1y=x -1記記“兩人會(huì)面兩人會(huì)面”為事件為事件A用幾何概型解簡(jiǎn)單試驗(yàn)問(wèn)題的方法用幾何概型解簡(jiǎn)單試驗(yàn)問(wèn)題的方法 1 1、適當(dāng)選擇觀察角度，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何、適當(dāng)選擇觀察角度，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解；概型求解； 2 2、把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域、把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域DD； 3 3、把隨機(jī)事件、把隨機(jī)

19、事件A A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域d d； 4 4、利用幾何概型概率公式計(jì)算。、利用幾何概型概率公式計(jì)算。 注意：要注意基本事件是等可能的。注意：要注意基本事件是等可能的。 4. 設(shè)不等式組設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)楸硎镜钠矫鎱^(qū)域?yàn)镈0202xy 在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),求此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于求此點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于2 的概率的概率. 解：解：而動(dòng)點(diǎn)可以存在的位置為正方形面積而動(dòng)點(diǎn)可以存在的位置為正方形面積減去四分之一的圓的面積部分減去四分之一的圓的面積部分, 0202xy 表示的區(qū)域表示正方形區(qū)域表示的區(qū)域表示正方形區(qū)域,xyO212 2242 2

20、P 4.4 5.設(shè)球設(shè)球O內(nèi)的內(nèi)接正方體，在球內(nèi)的內(nèi)接正方體，在球O內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)M，求，求M落在內(nèi)接正方體內(nèi)的概率落在內(nèi)接正方體內(nèi)的概率.設(shè)球設(shè)球O的半徑為的半徑為R，解：解：則其體積為則其體積為 3143VR 設(shè)內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為設(shè)內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a， 則則 2222(2 )Raaa 2 2.3aR 正方體的體積為正方體的體積為 32Va 38 3,9R 故故M落在內(nèi)接正方體內(nèi)的概率是落在內(nèi)接正方體內(nèi)的概率是21VPV 2 3.3 322 3()3VR 6.若正三棱錐若正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為的底面邊長(zhǎng)為a，高為，高為h，在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)在正三棱錐內(nèi)取點(diǎn)P，試求點(diǎn)，試求點(diǎn)P到

21、底面的距離小于到底面的距離小于 的概率的概率.2h解：解：且且 如圖作正三棱錐如圖作正三棱錐S-ABC的截面的截面ABC，1,2SASBSCSASBSC 則點(diǎn)則點(diǎn)P落在正三棱錐落在正三棱錐S-ABC內(nèi)的內(nèi)的概率為概率為 18SA B CSABCVV .故點(diǎn)故點(diǎn)P到底面的距離小于到底面的距離小于h/2的概率的概率為為 171.88P 7.如圖在等腰直角三角形如圖在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在在ACB內(nèi)部作一條射線內(nèi)部作一條射線CD，與線段，與線段AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)D，求，求滿足滿足ADAC的概率。的概率。ACBD.E【分析分析】過(guò)直角頂點(diǎn)過(guò)直角頂點(diǎn)C在在ACB內(nèi)部作一條射線

22、可以看作是隨內(nèi)部作一條射線可以看作是隨機(jī)的，滿足條件機(jī)的，滿足條件ADAC的的ACE可看成是構(gòu)成事件的區(qū)可看成是構(gòu)成事件的區(qū)域角，而域角，而ACB可看成是試驗(yàn)可看成是試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域角，可的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域角，可用用“角度化角度化”公式計(jì)算其概率。公式計(jì)算其概率。 7.如圖在等腰直角三角形如圖在等腰直角三角形ABC中，過(guò)直角頂點(diǎn)中，過(guò)直角頂點(diǎn)C在在ACB內(nèi)部作一條射線內(nèi)部作一條射線CD，與線段，與線段AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)D，求，求滿足滿足ADAC的概率。的概率。ACBD.E在在AB上取上取AE=AC，則，則 解：解：001(18045 )2ACE 067.5 , 設(shè)事件設(shè)事件A=在在AC

23、B內(nèi)部作一條射內(nèi)部作一條射線線CD，與線段，與線段AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)D，滿足，滿足ADAC， ACB=900，()ACEP AACB 故滿足故滿足ADAC的概率的概率67.590 0.75. 8.設(shè)設(shè)A為圓上一定點(diǎn)，在圓周上任取一點(diǎn)與為圓上一定點(diǎn)，在圓周上任取一點(diǎn)與A連接，連接，則弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率是則弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率是_.當(dāng)弦長(zhǎng)等于半徑時(shí)，弦所對(duì)的圓心角為當(dāng)弦長(zhǎng)等于半徑時(shí)，弦所對(duì)的圓心角為 解：解：,3 只有當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧只有當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧 上時(shí)弦長(zhǎng)超過(guò)半徑，上時(shí)弦長(zhǎng)超過(guò)半徑， BC同于優(yōu)弧同于優(yōu)弧 所對(duì)的圓心角所對(duì)的圓心角 BC4,3 432P 故弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率是故弦長(zhǎng)超過(guò)半徑的概率是2.3

24、用幾何概型解簡(jiǎn)單試驗(yàn)問(wèn)題的方法用幾何概型解簡(jiǎn)單試驗(yàn)問(wèn)題的方法 1 1、適當(dāng)選擇觀察角度，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何、適當(dāng)選擇觀察角度，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解；概型求解； 2 2、把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域、把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域DD； 3 3、把隨機(jī)事件、把隨機(jī)事件A A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域d d； 4 4、利用幾何概型概率公式計(jì)算。、利用幾何概型概率公式計(jì)算。 注意：要注意基本事件是等可能的。注意：要注意基本事件是等可能的。課堂小結(jié)課堂小結(jié)n1.1.古典概型與幾何概型的區(qū)別古典概型與幾何概型的區(qū)別. .相同：相同：兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；兩者基本事件的發(fā)生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限個(gè)，古典概型要求基本