2009年高考試題——數(shù)學(xué)（江西卷）（理）

1、絕密啟用前2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，第卷1至2頁(yè)，第卷3至4頁(yè)，共150分。第卷考生注意：1. 答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2. 第i卷每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。第卷用黑色墨水簽字筆在答題卡上作答。若在試題卷上作答，答案無(wú)效。3. 考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷、答題卡一并收回。參考公式如果事件互斥，那么 球的表面積公式

2、 如果事件，相互獨(dú)立，那么 其中表示球的半徑 球的體積公式如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是，那么 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率 其中表示球的半徑 一選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 a b c d或2函數(shù)的定義域?yàn)閍bcd3已知全集中有m個(gè)元素，中有n個(gè)元素若非空，則的元素個(gè)數(shù)為a b c d 4若函數(shù)，則的最大值為a1 b c d5設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為abcd6過(guò)橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為 a b c d 7展開(kāi)式

3、中不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，不含的項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值的和為，則的值可能為 a b c d 8數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為a b c d9如圖，正四面體的頂點(diǎn)，分別在兩兩垂直的三條射線，上，則在下列命題中，錯(cuò)誤的為 a是正三棱錐b直線平面c直線與所成的角是d二面角為 10為了慶祝六一兒童節(jié)，某食品廠制作了種不同的精美卡片，每袋食品隨機(jī)裝入一張卡片，集齊種卡片可獲獎(jiǎng)，現(xiàn)購(gòu)買(mǎi)該種食品袋，能獲獎(jiǎng)的概率為a b c d 11一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)距離的最大值稱為該區(qū)域的“直徑”，封閉區(qū)域邊界曲線的長(zhǎng)度與區(qū)域直徑之比稱為區(qū)域的“周率”，下面四個(gè)平面區(qū)域（陰影部分）的周率從左到右依次記為，則下列關(guān)系中正確

4、的為 a b c d12設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則的值為a b c d不能確定 絕密啟用前2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)第卷注意事項(xiàng)： 第卷2頁(yè)，須用黑色墨水簽字筆在答題卡上書(shū)寫(xiě)作答，若在試題上作答，答案無(wú)效。二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。請(qǐng)把答案填在答題卡上13已知向量，若，則= 14正三棱柱內(nèi)接于半徑為的球，若兩點(diǎn)的球面距離為，則正三棱柱的體積為 15若不等式的解集為區(qū)間,且,則16設(shè)直線系,對(duì)于下列四個(gè)命題： 中所有直線均經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) 存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上 對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形,其所有邊均在中的直線上 中的直

5、線所能圍成的正三角形面積都相等其中真命題的代號(hào)是 （寫(xiě)出所有真命題的代號(hào)）三.解答題：本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟17（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)（1） 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2） 若，求不等式的解集18（本小題滿分12分）某公司擬資助三位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)聘請(qǐng)兩位專家，獨(dú)立地對(duì)每位大學(xué)生的創(chuàng)業(yè)方案進(jìn)行評(píng)審假設(shè)評(píng)審結(jié)果為“支持”或“不支持”的概率都是.若某人獲得兩個(gè)“支持”，則給予10萬(wàn)元的創(chuàng)業(yè)資助；若只獲得一個(gè)“支持”，則給予5萬(wàn)元的資助；若未獲得“支持”，則不予資助，令表示該公司的資助總額 (1) 寫(xiě)出的分布列； (2) 求數(shù)學(xué)期望 19（本小題滿分12分

6、）中，所對(duì)的邊分別為，,.（1）求；（2）若,求. 20（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).（1）求證：平面平面； （2）求直線與平面所成的角的大小；（3）求點(diǎn)到平面的距離.21（本小題滿分12分）已知點(diǎn)為雙曲線（為正常數(shù)）上任一點(diǎn),為雙曲線的右焦點(diǎn),過(guò)作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為,連接并延長(zhǎng)交軸于. (1) 求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程;(2) 設(shè)軌跡與軸交于兩點(diǎn),在上任取一點(diǎn),直線分別交軸于兩點(diǎn).求證:以為直徑的圓過(guò)兩定點(diǎn).22（本小題滿分14分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，且對(duì)滿足的正整數(shù)都有（1）當(dāng)時(shí)，求通項(xiàng) （2）證明：對(duì)任意，存在與有關(guān)的

7、常數(shù)，使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，都有絕密啟用前 秘密啟用后2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江西卷）理科數(shù)學(xué)參考答案 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。題號(hào)123456789101112答案acdbabdbdcb1.由 故選a 2.由.故選c3.因?yàn)?，所以共有個(gè)元素,故選d4.因?yàn)?當(dāng)是，函數(shù)取得最大值為2. 故選b5. 由已知，而，所以故選a6. 因?yàn)?，再由有從而可得，故選b7. ，則可取，選d8. 由于以3 為周期,故故選a9.將原圖補(bǔ)為正方體不難得出b為錯(cuò)誤，故選b10 故選d11前三個(gè)區(qū)域的周率依次等于正方形、圓、正三角形的周長(zhǎng)和最遠(yuǎn)距離，所以、，第四個(gè)區(qū)域的周率可以

8、轉(zhuǎn)化為一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)與它的一對(duì)平行邊之間的距離之比，所以，則，選c12，選b二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。13. 14. 15. 16.13.14.由條件可得，所以，到平面的距離為，所以所求體積等于15.由數(shù)形結(jié)合，直線在半圓之下必須，則直線過(guò)點(diǎn)（），則16.因?yàn)樗渣c(diǎn)到中每條直線的距離即為圓:的全體切線組成的集合,從而中存在兩條平行直線,所以a錯(cuò)誤又因?yàn)辄c(diǎn)不存在任何直線上,所以b正確 對(duì)任意,存在正邊形使其內(nèi)切圓為圓,故正確 中邊能組成兩個(gè)大小不同的正三角形和,故d錯(cuò)誤,故命題中正確的序號(hào)是 b,c三、解答題：本大題共6小題，共74分。17.解： (1) , 由,得

9、.因?yàn)?當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),； 當(dāng)時(shí),；所以的單調(diào)增區(qū)間是:； 單調(diào)減區(qū)間是: .(2) 由 , 得：. 故：當(dāng) 時(shí), 解集是：；當(dāng) 時(shí)，解集是： ；當(dāng) 時(shí), 解集是：. 18.解：（1）的所有取值為 （2）. 19解：(1) 因?yàn)?，即，所以，?，得 . 所以,或(不成立).即 , 得，所以.又因?yàn)?，則，或（舍去） 得(2)， 又, 即 ， 得20解：方法一：（1）依題設(shè)知，ac是所作球面的直徑，則ammc。又因?yàn)閜 a平面abcd，則pacd，又cdad，所以cd平面，則cdam，所以a m平面pcd，所以平面abm平面pcd。（2）由（1）知，又，則是的中點(diǎn)可得，則設(shè)d到平面acm的距離為，

10、由即，可求得，設(shè)所求角為，則，。（3） 可求得pc=6。因?yàn)閍nnc，由，得pn。所以。故n點(diǎn)到平面acm的距離等于p點(diǎn)到平面acm距離的。又因?yàn)閙是pd的中點(diǎn)，則p、d到平面acm的距離相等，由（2）可知所求距離為。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則， ，；設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則。設(shè)所求角為，則， 所以所求角的大小為。（3）由條件可得，.在中，,所以,則, ，所以所求距離等于點(diǎn)到平面距離的，設(shè)點(diǎn)到平面距離為則，所以所求距離為。21解： (1) 由已知得,則直線的方程為:, 令得,即,設(shè),則,即代入得:,即的軌跡的方程為. (2) 在中令得,則不妨設(shè),于是