5-3-3-質(zhì)數(shù)與合數(shù)(三).教師版(共5頁)

1、5-3-3.質(zhì)數(shù)與合數(shù)（三）知識(shí)框架1. 掌握質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義2. 能夠用特殊的偶質(zhì)數(shù)2與質(zhì)數(shù)5解題3. 能夠利用質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)的特點(diǎn)解題4. 質(zhì)數(shù)、合數(shù)綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)撥一、質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了1和它本身，不再有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(也叫做素?cái)?shù)).一個(gè)數(shù)除了1和它本身，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù).要特別記?。?和1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).常用的100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計(jì)25個(gè)；除了2其余的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)；除了2和5，其余的質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3，7或9.考點(diǎn)

2、： 值得注意的是很多題都會(huì)以質(zhì)數(shù)2的特殊性為考點(diǎn). 除了2和5，其余質(zhì)數(shù)個(gè)位數(shù)字只能是1，3，7或9.這也是很多題解題思路，需要大家注意.二、判斷一個(gè)數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法根據(jù)定義如果能夠找到一個(gè)小于p的質(zhì)數(shù)q(均為整數(shù))，使得q能夠整除p，那么p就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于p的質(zhì)數(shù)去除p就可以了；但是這樣的計(jì)算量很大，對于不太大的p，我們可以先找一個(gè)大于且接近p的平方數(shù)，再列出所有不大于K的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除p，如沒有能夠除盡的那么p就為質(zhì)數(shù).例如：149很接近，根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù).例題精講模塊一、質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合【例 1】 寫出10個(gè)連續(xù)自

3、然數(shù)，它們個(gè)個(gè)都是合數(shù) 【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合 【難度】2星 【題型】解答【解析】 在尋找質(zhì)數(shù)的過程中，我們可以看出100以內(nèi)最多可以寫出7個(gè)連續(xù)的合數(shù)：90，91，92，93，94，95，96我們把篩選法繼續(xù)運(yùn)用下去，把考查的范圍擴(kuò)大一些就行了用篩選法可以求得在113與127之間共有13個(gè)都是合數(shù)的連續(xù)自然數(shù)：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126同學(xué)們可以在這里隨意截取10個(gè)即為答案可見本題的答案不唯一【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123【例 2】 老師可以把本題拓展為找更多個(gè)連

4、續(xù)的合數(shù)：找200個(gè)連續(xù)的自然數(shù)它們個(gè)個(gè)都是合數(shù) 【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如果10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，第1個(gè)是2的倍數(shù)，第2個(gè)是3的倍數(shù)，第3個(gè)是4的倍數(shù)第10個(gè)是11的倍數(shù)，那么這10個(gè)數(shù)就都是合數(shù)又，m3，m11是11個(gè)連續(xù)整數(shù)，故只要m是2，3，11的公倍數(shù)，這10個(gè)連續(xù)整數(shù)就一定都是合數(shù)設(shè)m為2，3，4，11這10個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)m2，m3，m4，m11分別是2的倍數(shù)，3的倍數(shù)，4的倍數(shù)11的倍數(shù)，因此10個(gè)數(shù)都是合數(shù)所以我們可以找出2，3，411的最小公倍數(shù)27720，分別加上2，3，411，得出十個(gè)連續(xù)自然數(shù)27722，27723，2772427731

5、，他們分別是2，3，411的倍數(shù)，均為合數(shù)說明：我們還可以寫出 (其中n！123n)這10個(gè)連續(xù)合數(shù)來同樣，是m個(gè)連續(xù)的合數(shù)那么200個(gè)連續(xù)的自然數(shù)可以是：【答案】【例 3】 四個(gè)質(zhì)數(shù)2、3、5、7的乘積為 ，經(jīng)驗(yàn)證200到220之間僅有一個(gè)質(zhì)數(shù)，請問這個(gè)質(zhì)數(shù)是 ?！究键c(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，6年級(jí)【解析】 四個(gè)質(zhì)數(shù)乘積210；200到220的質(zhì)數(shù)，因?yàn)?10，所以，都是合數(shù)，所以只需要判斷中誰是質(zhì)數(shù)即可，209和211中211是質(zhì)數(shù)?！敬鸢浮糠e為210，質(zhì)數(shù)是211【例 4】 有人說：“任何7個(gè)連續(xù)整數(shù)中一定有質(zhì)數(shù)”請你舉一個(gè)例子，說明這句話是錯(cuò)的 【

6、考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合 【難度】3星 【題型】解答【解析】 略【答案】例如連續(xù)的7個(gè)整數(shù)：842、843、844、845、846、847、848分別能被2、3、4、5、6、7、8整除，就是說它們都不是質(zhì)數(shù)有些同學(xué)可能會(huì)說這是怎么找出來的，翻質(zhì)數(shù)表還是，我們注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，(n+1)!+(n+1)這n個(gè)數(shù)分別能被2、3、4、(n+1)整除，它們是連續(xù)的n個(gè)合數(shù)其中n!表示從1一直乘到n的積，即123n【例 5】 如果一個(gè)數(shù)不能表示為三個(gè)不同合數(shù)的和，那么我們稱這樣的數(shù)為智康數(shù)，那么最大的智康數(shù)是幾？【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合 【難度】3星 【題型】解答【解析】

7、首先我們可以分析出大多數(shù)自然數(shù)都是智康數(shù)，所以核心的思想是找到智康數(shù)與其他自然數(shù)的“分界線”。我們知道最小的三個(gè)不同合數(shù)是4,6,8，它們的和是18,則比18小的數(shù)一定都是智康數(shù)，而比18大的數(shù)中，我們可以分為與18的差是“奇數(shù)”或者是“偶數(shù)”。如果與18的差是偶數(shù)，那么這類自然數(shù)一定不是智康數(shù)，可以寫作4+6+(8+2n),如果與18的差是一個(gè)奇數(shù)，那么可以寫作4+(6+2n)+(8+1)也不是一個(gè)智康數(shù)，所以最大的智康數(shù)為17?！敬鸢浮?7【例 6】 將八個(gè)不同的合數(shù)填入下面的括號(hào)中，如果要求相加的兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，那么A最小是幾？A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（

8、 ）【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合 【難度】3星 【題型】填空【解析】 首先列出前幾個(gè)合數(shù)4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26，27，28，因?yàn)橄嗉拥暮蠑?shù)互質(zhì)，所以不能同時(shí)為偶數(shù)，要想A盡量小，這兩個(gè)數(shù)也不能都同時(shí)為奇數(shù)，因?yàn)槠婧蠑?shù)比較少，找出8個(gè)來必然很大。所以應(yīng)該是一奇一偶，經(jīng)試驗(yàn)得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值為29。大部分的題考的都是質(zhì)數(shù)，此題考合數(shù)，重在強(qiáng)化合數(shù)以及互質(zhì)的概念?！敬鸢浮緼的最小值為29【例 7】 有些自然數(shù)能夠?qū)懗梢粋€(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)之和的形式，并且在不計(jì)加數(shù)順序的情況下，這樣的表示方法至少有13

9、種。那么所有這樣的自然數(shù)中最小的一個(gè)是多少 【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合 【難度】3星 【題型】解答【解析】 根據(jù)題意在不計(jì)加數(shù)順序的情況下一個(gè)自然數(shù)能有13種表示成一個(gè)質(zhì)數(shù)與一個(gè)合數(shù)和的形式，說明這個(gè)自然數(shù)一定比從2開始的第13個(gè)質(zhì)數(shù)要大。從2開始數(shù)的13個(gè)質(zhì)數(shù)分別是：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41。那么這個(gè)數(shù)一定要比41大，為了滿足這個(gè)自然數(shù)能夠分別寫成上面質(zhì)數(shù)與另一個(gè)合數(shù)的和的形式，所求自然數(shù)只要是個(gè)奇數(shù)即可，這樣這個(gè)奇數(shù)與從3開始的質(zhì)數(shù)的差只要都是一個(gè)大于2的偶數(shù)即可滿足條件。答案為47【答案】47【例 8】 求1-100中不能表示成兩個(gè)合數(shù)的乘積再加一個(gè)

10、合數(shù)的最大數(shù)是多少？ 【考點(diǎn)】質(zhì)數(shù)合數(shù)綜合 【難度】4星 【題型】解答【解析】 考慮最小的合數(shù)是4，先把表示方法簡化為4合數(shù)合數(shù)而合數(shù)最簡單的表現(xiàn)形式就是大于等于4的偶數(shù)因此該表示方法進(jìn)一步表示為4(2n)合數(shù)即8n合數(shù)(其中n1即可)當(dāng)該數(shù)被8整除時(shí)， 該數(shù)可表示為4(2n)8 ，n1,所以大于等于24的8的倍數(shù)都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余1時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)9，n1,所以大于等于25的被8除余1都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余2時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)10，n1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余3時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)27，n1,所以大于等于43的被8除余3的都可表示當(dāng)該

11、數(shù)被8除余4時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)4，所以大于等于20的被8除余4的都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余5時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)21，所以大于等于37的被8除余5的都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余6時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)6，所以大于等于22的被8除余6的都可表示當(dāng)該數(shù)被8除余7時(shí)，該數(shù)可表示為4(2n)15，所以大于等于31的被8除余7的都可表示綜上所述，不能表示的最大的數(shù)是經(jīng)檢驗(yàn)，35的確無論如何也不能表示成合數(shù)合數(shù)合數(shù)的形式，因此我們所求的最大的數(shù)就是35。【答案】35模塊二、互質(zhì)【例 9】 將六個(gè)自然數(shù)14，20，33，117，143，175分組，如果要求每組中的任意兩個(gè)數(shù)都互質(zhì)，則至少需要將這些數(shù)

12、分成_組。【考點(diǎn)】互質(zhì) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第5題，10分【解析】 先將所有數(shù)都分解質(zhì)因數(shù)得： 14=27 20=225 33=311 117=3313 143=1113 175=557 注意到33，117，143兩兩都不互質(zhì)，所以至少應(yīng)該分成3組，同樣14，20，175也必須分為3組，互相配合就行?！敬鸢浮拷M【例 10】 把26，33，34，35，63，85，91，143分成若干組，要求每組中任意兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么至少要分幾組. 【考點(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 要保證每組中的任意2個(gè)數(shù)均互質(zhì)，需要每組中的每個(gè)數(shù)字都有獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)才能實(shí)現(xiàn)?？梢詫σ陨厦總€(gè)數(shù)字進(jìn)行分解質(zhì)因數(shù)，容易得出最少分3組.【答案】3【例 11】 把40，44，45，63，65，78，99，105這八個(gè)數(shù)平分成兩組，使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等?！究键c(diǎn)】分解質(zhì)因數(shù) 【難度】2星 【題型】解答【解析】 ，要使每組四個(gè)數(shù)的乘積相等，需要每組含有相同的質(zhì)因數(shù)，看質(zhì)因數(shù)2，第一組含有40，第二組含有44，78，再看，第一組應(yīng)有40，99，65，再看5第二組應(yīng)有44，78，45，105，最后看7，第一組應(yīng)有40，99，65，63【答案】40，99，65，63【例 12】 已知三個(gè)合數(shù)A，B，