對坐標(biāo)曲面積分(6)課件

1、對坐標(biāo)曲面積分(6)第五節(jié)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)的曲面積分 第十章 對坐標(biāo)曲面積分(6)一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)其方向用法向量指向方向余弦coscosc

2、os 0 為前側(cè) 0 為右側(cè) 0 為上側(cè) 0 為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面,)(yxSSyxS)(側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面, 表示 :其上一塊在 xoy 面上的投影記為,0)(yxyxS)(的面積為則規(guī)定,)(yx,)(yx,0時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos類似可規(guī)定zxyzSS)( ,)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)二、二、 對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1. 引例引例 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場為求單位時間流過有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面積為S 的平面, 則流量法向量: 流速為常向量: ),()

3、,(),(zyxRzyxQzyxPv )cos,cos,(cosnvcosvS nvSnv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)對一般的有向曲面 ,用“大化小, 常代變, 近似和, 取極限” ni 10lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxiiiiSR)(,(iiiiQcos),(iS對穩(wěn)定流動的不可壓縮流體的速度場),(),(),(zyxRzyxQzyxPv 進行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin設(shè), 則 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲

4、面積分(6)設(shè) 為光滑的有向曲面, 在 上定義了一個意分割和在局部面元上任意取點,0limni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(分,yxRxzQzyPdddddd記作P, Q, R 叫做被積函數(shù)被積函數(shù); 叫做積分曲面積分曲面.yxiiiiSR)(,(或第二類曲面積分.下列極限都存在向量場xdydzdPQR),(),(),(zyxRzyxQzyxPA 若對 的任 則稱此極限為向量場 A 在有向曲面上對坐標(biāo)的曲面積2. 定義定義.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)引例中, 流過有向曲面 的流體的流量為zyPddxzQdd稱為Q 在有向曲面上對對 z, x

5、的曲面積分的曲面積分;yxRdd稱為R 在有向曲面上對對 x, y 的曲面積分的曲面積分.稱為P 在有向曲面上對對 y, z 的曲面積分的曲面積分;yxRxzQzyPdddddd) ),(, ),(, ),(zyxRzyxQzyxPA 則對坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ),(dxdydzdxdydzdS 令令對坐標(biāo)曲面積分(6)3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若,1kiiki 1之間無公共內(nèi)點, 則i且(2) 用 表示 的反向曲面, 則 SA dSASAddiSA dyxRxzQzyPddddddSA d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)三、

6、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法三、對坐標(biāo)的曲面積分的計算法定理定理: 設(shè)光滑曲面yxDyxyxzz),( , ),(:取上側(cè),),(zyxR是 上的連續(xù)函數(shù), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd證證:0limni 1yxiiiiSR)(,(yxiS )(yxi)( 取上側(cè),),(iiiz0limni 1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6) 若,),( , ),(:zyDzyzyxx則有zyzyxPdd),(), (zy,PzyD),(zyxzydd 若,),

7、( , ),(:xzDxzxzyy則有xzzyxQdd),() z, ,(xzDxQ),(xzyxzdd(前正后負)(右正左負)說明說明: 如果積分曲面 取下側(cè), 則yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)例例1. 計算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原點為中心, 邊長為 a 的正立方體的整個表面的外側(cè).解解: yxxzdd)( 的頂部 ),(:2221aaayxz取上側(cè) 的底部 ),(:2222aaayxz取下側(cè) 1dd)(yxxz yxDyxxadd)2(yxxz2dd)(yxxayxD

8、dd)2( yxDyxadd3a xzy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)xzy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyyxdd)( 的前部 ),(:2223aaazyx 取前側(cè) 的后部 ),(:2224aaazyx 取后側(cè) 3dd)(zyyx yzDzyyadd)2( zyyx 4dd)( zyyayzD dd)2( yzDzyadd3a 對坐標(biāo)曲面積分(6) xzzydd)( 的右部 ),(:2225aaazxy 取右側(cè) 的左部 ),(:2226aaazxy 取左側(cè) 5dd)(xzzy zxDxzzadd)2( xzzy 6dd)( xzzazxD dd)2( zxD

9、xzadd3a xzy33a 所所以以，原原式式對坐標(biāo)曲面積分(6)解解: 把 分為上下兩部分2211:yxz例例2. 計算曲面積分,ddyxxyz其中 為球面2x外側(cè)在第一和第五卦限部分. ozyx112yxD0,01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)yxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinozyx112yxDyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yx yxDyxxydd 221yx ddrr機動 目錄 上頁 下頁 返

10、回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)四、兩類曲面積分的聯(lián)系四、兩類曲面積分的聯(lián)系ni 1zyiiiiSP)(,(xziiiiSQ)(,(yxRxzQzyPddddddyxiiiiSR)(,(0lim0limni 1iiiiPcos),(iiiiQcos),(iiiiRcos),(iSSRQPdcoscoscos曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)令yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnAd( A 在 n 上

11、的投影)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .第一類曲面積分來計算第二類曲面積分常化為對坐標(biāo)曲面積分(6) SydxdzxdzdyzdydxI3例例.)(的下側(cè)是1022zyxzSxyzn,.算化成第一類曲線積分計解 SSdzyxI)coscoscos( ,:22yxzSS,122yxn14412222yxyxn, SSdyxzyx144222222對坐標(biāo)曲面積分(6) SSdyxzyxI144222222xyznxyDS1020rDyx yxDydxdyxyxyxyx22222222441441)(2210220rdrrd 412 .2 yxDydxdyx)(2222yxzS:10 z對坐標(biāo)

12、曲面積分(6) xdzdyzdydxydxdzI計計算算例例430122zzyx及被平面是柱面 .的部分的前側(cè)所截得的在第一卦限內(nèi),.計算化為第一類曲線積分再解,:0122yxF , ),(022yxn220yxyxn),( Sdyxyx2222 Sdyx22 SdzyxI)coscoscos( ?(P?Q)?Rxynxyz n對坐標(biāo)曲面積分(6)23 所截得及被平面是柱面30122zzyx .的前側(cè)的在第一卦限內(nèi)的部分3020z zdd dSyxI223002zdd )(zddaSd zzyx sincos 對坐標(biāo)曲面積分(6) ydxdzyxI5例例的為球面1222zyx .,的部分外側(cè)在

13、00 yx解),(zyxn222nzyxn),(取 SdzyxI cos)(球面上的面積元素 dddS sin12 020 0220ddIsin)(cossin)(sincos(sinxyznn Sdzyx2對坐標(biāo)曲面積分(6) 02320ddIcossincossin15421 152 0352023521coscossin#對坐標(biāo)曲面積分(6) ydxdyxxdzdxzzdydzyI)()()(.6例例)(022hhzyxz及平面為錐面其中 .個邊界面的外側(cè)所圍成的空間區(qū)域的整xyznn21.解1,zyzxn,:221yxz 1cos)(cos)(cos)(1SdyxxzzyI 2122,

14、zyzxn 122)()(Sdyxzyxzxzy 1)22(Sdxy對坐標(biāo)曲面積分(6)xyznn21的奇函數(shù)x對稱關(guān)于平面0 x0022 SdySdx 2)(Sdyx)(利用對稱性.021III 1)22(1dSxyI 12Sdy 12Sdx,上2 1cos)(cos)(cos)(2SdyxxzzyI , ),(100kn對坐標(biāo)曲面積分(6),),(:7 ydxdzyxI 例例300222zxRyx,: 解, ),(022yxn 的法向量 算化成第一類曲面積分計.0cos),( SdzyxI )cos(0 ,垂直與投影坐標(biāo)面積分曲面xoy .0 zdydI :經(jīng)驗如果積分曲面與項時第二類曲面

15、積分只含一,!,則積分等于零投影坐標(biāo)面垂直對坐標(biāo)曲面積分(6)yxz111例例8. 設(shè),1:22yxz是其外法線與 z 軸正向夾成的銳角, 計算.dcos2SzI解解: SzIdcos2yxzdd2rrrd)1(d210202yxDyxyxdd)1(22n機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)221cosyxx例例9. 計算曲面積分其中解解: 利用兩類曲面積分的聯(lián)系, 有zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosoyxz2 原式 =)( x )(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋轉(zhuǎn)拋物面)(2221yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之間部分的下側(cè). )(2xz2211cosyx 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6)( xxyxD222)(41yx oyxz2原式 =)(2221yx yxyxxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yxdd得代入將,)(2221yxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對坐標(biāo)曲面積分(6):小小結(jié)結(jié):基本概念一標(biāo)的曲面積分第二類曲面積分或?qū)ψ?ydxdRxdzdQzdydPsdv:背景正側(cè)的流量流速場中流向虛擬曲面的通量向量場中指向曲面正側(cè)對坐標(biāo)曲面積分(6)正側(cè)法向為積分曲面 cos,cos,cos公式為算化成第一類曲面積分計,