word格式論文原稿】有關組合投資優(yōu)化的數學模型

1、有關組合投資優(yōu)化的數學模型田立坤 中國礦業(yè)大學計算機學院，江蘇 徐州221008 Email：tianlikun1111126 摘要：組合投資是經濟學中常見的投資形式之一，在現在社會經濟中有重要的現實意義。 本文根據某公司投資情況進行了數學模型建立。模型建立過程中分別采用了三次樣條插值、 神經網絡算法兩種方法建立預測模型，然后在模型的改良的討論中，又運用 GM1，1灰 色預測法進行預測求解.為企業(yè)獲得最正確投資效益提供決策依據。 關鍵字：神經網絡；灰色預測法；三次樣條插值中圖分類號：O220. 引言開展經濟、增加生產是每個公司都在不懈追求的目標，也是每個公司能夠在不斷加大的 競爭市場中取勝的手

2、段；而公司要實現這個目標，一個重要的因素就是增加投資、合理投資。 投資過程中，資金預期收益的不確定性，導致它的風險特性，要使投資者的凈收益盡可能大， 而風險損失盡可能小，一個解決方法就是進行組合投資，分散風險，以獲得較高的收益。本 文中就以組合投資為例對某公司的投資和風險進行數學模型的建立，模型的目的在于求解最 優(yōu)投資組合。1. 問題的提出某公司現有一筆資金可作為未來 5 年內的投資資金，市場上有 8 個投資工程如股票、 債券、房地產、可供公司作投資選擇。其中工程 1、工程 2 每年初投資，當年年末回收 本利本金和利潤；工程 3、工程 4 每年初投資，要到第二年末才可回收本利；工程 5、 工程

3、 6 每年初投資，要到第三年末才可回收本利；工程 7 只能在第二年年初投資，到第五年 末回收本利；工程 8 只能在第三年年初投資，到第五年末回收本利。公司財務分析人員收集 了 8 個工程近 20 年的投資額與到期利潤數據，發(fā)現：在具體對這些工程投資時，實際還會 出現工程之間相互影響等情況。試根據往年數據，預測今后五年各工程獨立投資及工程之間 相互影響下的投資的到期利潤率、風險損失率.2. 數學模型的建立2.1 三次樣條函數預測構造滿足插值條件及相應邊界條件三次樣條插值函數 S(x)的表達式可以有多種方法1， 例如，可以直接利用分段三次埃爾米特插值，只要假定：S ( xi )= xi (j=0,

4、1,2,.n)，根據定義可以知道：ns( x) = y j a j ( x) + m j j ( x),j =0式 1-1其中 a j ( x) ， j (x)是表示的插值函數，利用條件及響應自然邊界條件那么可得到關于 m jj=0,1,n的三角方程組，求出 m j 那么得到所求的三次樣條函數 S(x). 下面我們利用 S(x)的二階導數 S = m j (j=0,1,n)表達 S(x), 由于 S(x)在區(qū)間 x j , x j +1 上是三次多項式，故 S (x)是在 x j , x j +1 上的線形函數，可表示為：S ( x ) = M jx j +1 x + Mh jj +1x x

5、jh j式 1-2對 S (x)積分兩次并利 S( x j , )= y j 及 S( x j +1 )= y j +1 可定出積分常數，于是得三次樣條表 達式：3S ( x ) = M j( x j +1 x )6 h j2+ M j +1( x x j )6 h j32+ ( y jM h+j j6x xj2)j +1 + ( yh jMhj +1 j26x x)jh j式 1-3這里 M j , j=0,1,2n 是未知的，為了確定 M j , j=0,1,2n, 對 S ( x) 求導得：jS ( x ) = M( x j + 1 x )2 h j+ M j + 1( x x j )2

6、 h j+ y j + 1 y jh jM Mj + 1j h6j式 1-4類似地可以求出 S(x)在區(qū)間 x j , x j +1 上的表達式，從而得S ( x j + 0) = S ( x j 0)式 1-5 j M j 1 + 2M j + j M j +1 = d j=1,2,n-1式 1-6 j =hh j 1 , =h j+ hjh+ h其中j 1 jj 1j ,j=0,1,nh+ hi 1jd = 6 f xi , xi +1 f xi 1 , xi = 6 f xj 1 j, x j , xj +1式 1-7對第一種邊界可導出兩個方程：2M 0+ M 1 =0,6 ( f x

7、h0x1 f 0 ),M n 1+ 2M n=6hn 1( f n6 f xn 1, x n ).式 1-8如果令 0 =1,d0 = hn 1( f x0, x1 f 0 ) ,n =1,d n = h6n 1( f n f xn 1, x n )那么可將方程寫成矩陣形式： 20 M 0 d 0 1 21 M 1 d1 n 12 n 1 M n 1 d n 1 2Mn = d n 式 1-9對第二種邊界條件直接得端點方程：M 0 = f 0 , M n = f n對 0 = n =0,d0 =2 f 0 , d n = f n式 1-10對第三種邊界條件可得：M 0 = M n n M1 +

8、 n M n1 + 2M n = dnn hd = f x0 , x1 f xn 1 , xn 式 1-11n其中 =h0 , = 1 =n 1 ，nh+ hh+nn1h0hn 1+ h0n 1 0可以寫成距陣的形式 2 0 M 0 d 0 1 2 1 M 1 d 1 n 12 n 1 M n 1 d n 1 2Mn = d n 上式是關于 M j ( j = 0,1,., n) 的三對角方程組,M j 在力學上解釋為西梁在截面處的彎距,稱為 S j 的距，方程組稱為三彎距方程。它的系數矩陣中元素 j , j 已完全確定，并且滿足 j , j 0, j + j = 1因此系數矩陣為嚴格對角，有

9、唯一的解。既而曲線的軌跡可以明顯地預測出來，從而到達預測的目的。2.2 神經網絡算法預測2.2.1 神經元模型神經元是神經網絡最根本的組成局部，一般一個有 R 個輸入的神經元模型如圖1所示。 其中P為輸入向量，W 為權向量，b 為閾值，f 為傳遞函數，a 為神經元輸出。所有輸入P 通過一個權重 W 進行加權求和后加上閾值 b 再經傳遞函數 f 的作用后即為該神經元的 輸出a。傳遞函數可以是任何可微的函數，常用的有Sigmoid型和線性型。22.2.2 神經網絡的拓撲結構 神經網絡的拓撲結構是指神經元之間的互連結構。圖2是一個三層的 BP 網絡結構。BP網絡由輸入層、輸出層以及一個或多個隱層節(jié)點

10、互連而成的一種多層網，這種結構使多層前饋網絡可在輸入和輸出間建立適宜的線性或非線性關系，又不致使網絡輸出限制在一1和1之間。2.2.3 基于檢測神經網絡模型的建立MATEAB的NNbox提供了建立神經網絡的專用函數newff()。用newff函數來確定網絡層 數、每層中的神經元數和傳遞函數，其語法為：net=newf(PR，lS1，S2，SNj，TF1，TF2， I ，BTF，BLF，PF)其中: PR是一個由每個輸入向量的最大最小值構成的Rx2矩陣 Si是第i層網絡的神經元個數Ti是第i層網絡的傳遞函數，缺省為tansig，可選用的傳遞函數:tansig，logsig或purelinBTF_

11、字符串變量，為網絡的訓練函數名，可在如下函數中選擇：traingd、traingdIll、traingdx、trainbfg、tminlm等，缺省為trainlmB 字符串變量，為網絡的學習函數名，缺省為leamgdm BF 字符串變量，為網絡的性能函數，缺省為均方差 nlse newff在確定網絡結構后會自動調用init函數用缺省參數來初始化網絡中的各個權重和閾值，產生一個可訓練的前饋網絡，即該函數的返回值為net由于非線性傳遞函數對輸出 具有壓縮作用，故輸出層通常采用線性傳遞函數，以保持輸出范圍2.2.4 神經網絡訓練 初始化后的網絡即可用于訓練，即將網絡的輸入和輸出反復作用于網絡，不斷調

12、整其權重和閾值，以使網絡性能函數netpeformFen到達最小，從而實現輸入輸出問題的非線性映射3因此將前20年的利潤和年份輸入到BP神經網絡進行訓練，根據假設干次訓練，再將21-25的年份輸入到神經網絡中，即可到達預測的目的。圖 1 神經網絡分析圖Figure 1 Neural network analysis3. 模型的進一步優(yōu)化與求解3.1 灰色微分方程灰色系統(tǒng)理論通過對一般微分方程的深刻剖析定義了系列的灰導數，從而使我們能夠利 用離散數據系列建立近似的微分方程模型：dx + ax = udtdxdx式3-1其中 dt 為x的導數，x為 dt 的背景值,a、u為參數。3.2 GM1,1

13、模型灰色簡單模型GM1，1表示一階的、一個變量的微分預測模型，用于時間序列預測的是其離散形式的模型。4設原始系列為X (0) = ( x (0) (1), x (0) (2), x (0) (n)其1AGO系列X1為：式3-2X (1) = ( x (1) (1), x (1) (2), x (1) (n)對一階生成數列x(1)，建立GM1，1模型:(1) 式3-3dx+ ax (1) = udtdx = lim x(t + t ) x(t )式3-4由導數的定義有 dtt 0 t,因為一般預測的系列都在時間上是離散的，所以我們以離散的形式表示，那么有：x =x (1)(k + 1) x(1)

14、(k )=x (1) (k+ 1) x (1) (k ) =x ( 0) (k + 1)t k + 1 k式3-5又由于離散的關系，我們取x(1)(k)為x(1)(k)和x(1)(k-1)的均值。于是我們可以把公式微 分方程表示為如下的離散方程：x ( 0) (k ) + az (1) (k ) = u式3-6其中 z (1) (k ) = x (1) (k ) + x (1) (k 1) / 2; (k = 2,3, n)式方程稱為白化方程，這樣可以得到如下的方程組：x ( 0) (2) + az (1) (2) = ux ( 0) (3) + az (1) (3) = u稱式為GM(1，1

15、)模型，而把公( 0)x(n) + az(1)(n) = u式3-73.3 模型參數的求解上式中，a、u為待估參數，a為開展灰數，反映了X (1) 及X (0)的開展態(tài)勢，u為灰色作用量是從背景值挖掘出來的數據，它反映數據變化的關系，其確切內涵是灰的。灰色作用 量是內涵外延化的具體表達，它的存在是區(qū)別灰色建模與一般輸入輸出建模的分水嶺，將兩a = a, uT個待估參數表示為向量形式：對于方程組，用最小二乘法求解，和一元線性回歸的參數估計方法相同，可得：a = (B T B)1 BT Y x (0) (2) z (1) (2) 1式3-8Y = x(0)#( 0)(3)B = z(1)#(1)(

16、3) #1式中：x (n) ， z(n)13.4 GM1,1預測在求出模型的參數后，下一步的工作就是進行預測了。x (1) (t ) = x (1) (0) u e at + uaa它的離散形式：式3-9x (1) (k + 1) = x (1) (0) u e ak + u ; (k = 1,2, n)aa式3-10即為GM1，1方程的時間響應系列。一般有x(1)(0)=x(0)(1) 那么：x (1) (k + 1) = x (0 ) (1) u e ak + u ; (k = 1,2, n)aa復原得：式3-11x (0) (k + 1) = (1 ea )x(0) (1) u eak

17、; (k = 1,2, n)a這就是灰色簡單模型的預測公式。5式3-12用此模型進行預測求解，然后與上述三種預測方法建立的模型進行平均值求解。這樣預 測結果更精確。4. 結束語本文采用較為成熟的數學模型，可信度較高。所建立的模型有屢次優(yōu)化方案措施的提出， 綜合考慮了多種投資因素，給投資部門提供了很好的建議。本文可以進一步解決其他規(guī)劃方 面的問題，應用面極其地廣泛。優(yōu)化后的模型功能完善，應用到其他方面的能力有所增強。參考文獻1 李圓庭、胡結梅，風險投資的最優(yōu)解決的數學模型M，2001 年。 2?MATLAB 軟件與數學實驗? 張興永 中國礦業(yè)大學出版社 徐州 2005 3. 姜啟源，數學建模，北

18、京：高等教育出版社， 2002 年4. 飛思科技產品研發(fā)中心，神經網絡理論與 MATLAB 7 實現，北京：電子工業(yè)出版社，2004 年5. 鄧聚龍,?灰理論根底?，武漢:華中科技大學出版社，2002 年Portfolio optimization of mathematical modelslikun tianChina University of Mining and Technology Computer Institute department, Xuzhou Jiangsu221008AbstractPortfolio investment is in economics, one common form of investment, there is now an importantsocio-economic relevance. In this paper, according to a company investment in the establishment of a mathematical model. Models were used to establish the course of a cubic spline interpolation, neural network algorithms to establish prediction mo