遞推公式求通項的幾種方法

1、求通項常見的幾種方法求通項常見的幾種方法利用遞推公式)()(8)01)(7)()()(6)(5,(4)0, 1(3)(2)(1111n12n111nnganfapnfpaanhanganfaafSqpqapaaqpqpaaanfanfaannnnnnnnnnnnnnn類型、類型類型類型均為常數(shù)）其中類型類型類型類型數(shù)學(xué)歸納法方法循環(huán)法周期性方法2)(1求通項常見的幾種方法求通項常見的幾種方法其他方法類型類型1 1 這種類型求 的方法一般主要采用逐差或累加法。)()(1121nnnaaaaaa)(1nfaann逐差法逐差法： )1 (-)1(-)(-1211faanfaanfaannnn化簡得

2、)()1()1(11nfnffaanna累加法：累加法：例：已知數(shù)列 滿足 ， 求 證明 na11a)2(311naannn32, aa213nna 解： =3+1=4， =9+4=13 2a3a證法證法1（累加法）（累加法）：由 得 113nnnaa112211213331nnnnnnaaaaaaa累加得：根據(jù)等比數(shù)列前n項的公式，得 12233331nnna2133131nnna證法證法2 2（逐差法）（逐差法）由已知得： .13111aaannn， 21331313331)()()(12123121nnnnnnaaaaaaaa類型類型2 2這種類型求 的方法一般有累乘法，也稱逐商相乘法。

3、nnanfa)(1na步驟：（1）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為（2）利用恒等式 即 )(1nfaann)2, 0(123121naaaaaaaaannnn)1()2()1(1nfffaan例（例（20042004年高考全國卷年高考全國卷）已知數(shù)列 滿足 ，則 的通項 na) 2() 1(32, 113211nanaaaaann na. 2_, 1, 1nnan考題剖析考題剖析將以上n個式子相乘，得nnnaaaaa3211322nnnnnaaa1nnana) 1(1112 aanaaaaaaann123121,3,1,1)2(2!nnan解：由題可得再聯(lián)合已知式，可得當 時，即又 類型類型3 3 這種類型

4、一般主要利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列。)0, 1(1qpqpaann步驟：1）設(shè) 2）去括號得， 3）與已知遞推式比較，得 ，即 4）代入1）中式子，得 以p為公比的等比數(shù)列)(1nnapa) 1(1ppaannqp）（11pq1pqan例（2006，重慶,文,14）在數(shù)列中 ，若 ，則該數(shù)列的通項 =_ na)1(32, 111naaannna解法一（構(gòu)造數(shù)列解法一（構(gòu)造數(shù)列-待定系數(shù)法）待定系數(shù)法）：設(shè)再聯(lián)合原遞推式可得， =3令 ，則再由 得， =4即 為以4為首項且以2為公比的等比數(shù)列，nnnnaaaa2)(2113nnab12nnbb11a311 ab nb322243111nnnnn

5、aa解法二（累加法）解法二（累加法）：設(shè) ，則再由 ，得即 為以4為首項且以2為公比的等比數(shù)列，則累加得：32, 3211nnnnaaaa)( 211nnnnaaaannnaab112nnbb11a311 ab nbnnnnbaabaaa2211121121322221132nnna解法三（迭代法）解法三（迭代法）：,32,32,321211aaaaaannnn32)22121(3232323233223)32(211 -1 -2211 -222nnnnnnnnaaaa解法四（特征根法）解法四（特征根法）：找出其齊次遞推關(guān)系nnaa21得到特征方程 x-2=0,特征根為x=2得到通解為 nnc

6、a21設(shè)特解 A是待定常數(shù)，Aan 代入原遞推關(guān)系式，得 A=2A+3，得A=-3得到 ， 為待定常數(shù)。321nnca根據(jù) ，可得 即 1c11a13211 ca21c321nna類型類型4 4 （其中p,q均為常數(shù)）這種類型求通項的方法一般有待定系數(shù)法。nnnqapaa12步驟：1）把原遞推公式轉(zhuǎn)化為)(112nnnnsaatsaa2）去括號得 nnntsaatsa12)(3）聯(lián)合原遞推式，可得qtspts4）解出可得 是以t為公比的等比數(shù)列12nnsaa5）根據(jù)4），最后可把它化到類型1的形式進行求解例例 （20062006年高考福建卷）年高考福建卷）已知數(shù)列 滿足 ，求數(shù)列 的通項公式。

7、 nannnaaaaa23, 3, 11221 na解解：設(shè) 則)(112nnnnsaatsaa23tstsnnntsaatsa12)( 與已知等式比較，得 解得，s=1,t=2或s=2,t=1 考題剖析考題剖析方法一方法一 取s=1,t=2,得即 是以 為首項，2為公比的等比數(shù)列， )( 2112nnnnaaaannaa1212aa （類型1的形式）nnnnaaaa22)(1121根據(jù)累加法，可得 （經(jīng)驗證，n=1也滿足）12 nna方法二方法二 取s=2,t=1,得 （類型3的形式） 122212112aaaaaannnn121nnaa根據(jù)待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列 ，得12 nna方法三方法

8、三 綜合聯(lián)立方法一、二的 ，可得) 2( 12nann方法四方法四（特征根法）特征方程為解出特征根得到通解為 （ ， 為待定數(shù)）。0232xx2, 121xxnncca2211c2c根據(jù)初始條件，得34122121cccc解方程組，得 =-1， =1.1c2c代入，得）（112nann類型類型5 5這種類型一般利用與 消去或與 )(nnafS )2() 1(11nSSnSannn)()(11nnnnnafafSSa)2( nSnnnnnanSSfS消去)2)(1（2006，陜西,理,20本小題滿分12分)已知正項數(shù)列 ，其前n項和 滿足 且 成等比數(shù)列，求數(shù)列 的通項 。 nanS65102n

9、nnaaS1531,aaa nana解解：由 ，可知解之得 又 65102nnnaaS65101211aaa3211aa或65101 -21 -1 -nnnaaS由 - 得 )( 6)(101212nnnnnaaaaa)2(5011naaaannnn則而當 不成等比數(shù)列， .73,13,31531aaa時1531,aaa31a當滿足 ， 則 .72,12,21531aaa時15123aaa21a35 nan0) 5)(11nnnnaaaa即類型類型6 6這種類型的一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為)()()(1nhanganfannnqpaann1類型3步驟：1）將原遞推式取倒數(shù)，得)()()(

10、11nfnganhann2）令 ,得)()(),(1nfngqnhpabnn，qpbbnn1例（例（20062006年高考江西卷）年高考江西卷）已知數(shù)列 滿足 ，且 求數(shù)列 的通項公式。 na考題剖析考題剖析231a)2(12311nnanaannn na解：原遞推式取倒數(shù)，得)2(321313231111nanannnanannnn用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列（類型3的步驟），設(shè))2)(1(311nanannn去括號，化簡，與所求遞推式比較，得則 是以公比為 的等比數(shù)列。1 1nan31由，得nnnnnaan)(1)31(311311類型類型7 7 ) 1 , 0)(1pnfpaann)(nf1

11、nc這種類型的一般有下面兩種方法兩邊同除以 ，轉(zhuǎn)化成類型3，進行求解。兩邊同除以 時，就化成類型1，運用累加法或逐差法解決?？碱}剖析考題剖析例.已知數(shù)列 中， 求數(shù)列 的通項公式。 na nannnaaa2,3111解法一解法一：對已知式兩邊同除以 ，得12n1221211nnnnaa令 ，則nnnab21211nnbb用類型3的待定系數(shù)法求解，得.)21(31312)21(3131nnnnnab 3) 1(2nnna）（也適合，時，當*13) 1(2311Nnaannnn解法二解法二：對已知式兩邊同除以 ，得 11n）（.)2() 1() 1(11nnnnnaa .)2() 1(1nnnnn

12、nbbab，則令用類型1的累加法可得，3)2(1nnb3) 1(2nnna）（也適合，時，當*13) 1(2311Nnaannnn方法方法1 1 周期性周期性例題剖析例題剖析 20*11),(133, 02005.aNnaaaaannnn則滿足年高考湖南卷）已知（例解析解析：這種題一般都是通過求出前幾項，驗證找出其周期性。解解：, 0,3,3133, 0431121aaaaaa故 是周期為3的周期數(shù)列，故 na3220 aa類型類型8 8 )()(1nganfann),()1()(,)1()()(1nganhnhanhnhnfnn步驟：1）構(gòu)造輔助數(shù)列 使)(nh),1()()() 1(1nh

13、ngnhanhann即）（類型則）令1)1()(),(21nhngbbnhabnnnn方法方法2 2 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法由數(shù)列前幾項用不完全歸納猜測出數(shù)列的通項公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性，這種方法叫歸納法。.),(0*2時命題成立：假設(shè)nkNkknS時命題成立：證明01nnS推理：證明當n=k+1時命題也成立。例（2002年北京春季高考）已知點的序列 是線段 的中點， 是線段 的中點， 是線段 的中點，(1)寫出 之間的關(guān)系式(2)設(shè) ，計算 ，又此推測 的通項公式，并加以證明考題剖析考題剖析),0(, 0,),0 ,(21*其中aaxxNnxAnn3A21AA4A32AAnA12nnAAna21,nnnxxx 與).3(nnnnxxa1,321aaa解析：（解析：（1） 是線段 的中點 nA12nnAA)3(221nxxxnnn（2）,41)(212,21)(212,02332334312212232121axxxxxxxaaxxxxxxxaaaxxa猜想 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明。),()21(*1Nnaann(i)n=1時已知結(jié)論成立。(ii)假