線性代數(shù)習題及解答

1、線性代數(shù)習題一說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，|表示向量的長度，T表示向量的轉置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1設行列式=2，則=（ ）A-6B-3C3D62設矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（ ）AE+A-1BE-ACE+ADE-A-13設矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結論正確的是（ ）A可逆，且其逆為B不可逆C可逆，且其逆為D可逆，且其逆為4設1，2，k是

2、n維列向量，則1，2，k線性無關的充分必要條件是（ ）A向量組1，2，k中任意兩個向量線性無關B存在一組不全為0的數(shù)l1，l2，lk，使得l11+l22+lkk0C向量組1，2，k中存在一個向量不能由其余向量線性表示D向量組1，2，k中任意一個向量都不能由其余向量線性表示5已知向量則=（ ）A（0，-2，-1，1）TB（-2，0，-1，1）TC（1，-1，-2，0）TD（2，-6，-5，-1）T6實數(shù)向量空間V=(x, y, z)|3x+2y+5z=0的維數(shù)是（ ）A1B2C3D47設是非齊次線性方程組Ax=b的解，是其導出組Ax=0的解，則以下結論正確的是（ ）A+是Ax=0的解B+是Ax=

3、b的解C-是Ax=b的解D-是Ax=0的解8設三階方陣A的特征值分別為，則A-1的特征值為（ ）ABCD2,4,39設矩陣A=，則與矩陣A相似的矩陣是（ ）ABCD10以下關于正定矩陣敘述正確的是（ ）A正定矩陣的乘積一定是正定矩陣B正定矩陣的行列式一定小于零C正定矩陣的行列式一定大于零D正定矩陣的差一定是正定矩陣二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。11設det (A)=-1，det (B)=2，且A，B為同階方陣，則det (AB)3)=_12設3階矩陣A=，B為3階非零矩陣，且AB=0，則t=_13設方陣A滿足Ak=E，這里k

4、為正整數(shù)，則矩陣A的逆A-1=_14實向量空間Rn的維數(shù)是_15設A是mn矩陣，r (A)=r,則Ax=0的基礎解系中含解向量的個數(shù)為_16非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是_17設是齊次線性方程組Ax=0的解，而是非齊次線性方程組Ax=b的解，則=_18設方陣A有一個特征值為8，則det（-8E+A）=_19設P為n階正交矩陣，x是n維單位長的列向量，則|Px|=_20二次型的正慣性指數(shù)是_三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21計算行列式22設矩陣A=，且矩陣B滿足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩陣B23設向量組求其一個極大線性無關組，并將其余向量通過極大線性無

5、關組表示出來24設三階矩陣A=，求矩陣A的特征值和特征向量25求下列齊次線性方程組的通解26求矩陣A=的秩四、證明題（本大題共1小題，6分）27設三階矩陣A=的行列式不等于0，證明：線性無關線性代數(shù)習題二說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。 表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.設3階方陣A的行列式為2，則( )A.-1B.C.D.12.設則方程的根的個數(shù)為（ ）A.0B.1C

6、.2D.33.設A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若則必有（ ）A.B. C. D. 4.設A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是（ ）A.B.C.D.5.設其中則矩陣A的秩為（ ）A.0B.1C.2D.36.設6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為（ ）A.0B.2C.3D.47.設向量=（1，-2，3）與=（2，k，6）正交，則數(shù)k為（ ）A.-10B.-4C.3D.108.已知線性方程組無解，則數(shù)a=( )A.B.0C.D.19.設3階方陣A的特征多項式為則( )A.-18B.-6C.6D.1810.若3階實對稱矩陣是正定矩陣，則A的3個特征值可能為（ ）A.-

7、1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.設行列式其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為_.12.設則_.13.設A是43矩陣且則_.14.向量組（1，2）,（2，3）（3，4）的秩為_.15.設線性無關的向量組1，2，r可由向量組1，2，,s線性表示，則r與s的關系為_.16.設方程組有非零解，且數(shù)則_.17.設4元線性方程組的三個解1，2，3，已知則方程組的通解是_.18.設3階方陣A的秩為2，且則A的全部特征值為_.19.設矩陣有一個特征值對應的特征向量為則數(shù)a=_.

8、20.設實二次型已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規(guī)范形為_.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設矩陣其中均為3維列向量，且求22.解矩陣方程23.設向量組1=（1，1，1，3）T，2=（-1，-3，5，1）T，3=（3，2，-1，p+2）T，4=（3，2，-1，p+2）T問p為何值時，該向量組線性相關？并在此時求出它的秩和一個極大無關組.24.設3元線性方程組,（1）確定當取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解？（2）當方程組有無窮多解時，求出該方程組的通解（要求用其一個特解和導出組的基礎解系表示）.25.已知2階方陣A的特征值為及方陣（1）求B的特征值；（

9、2）求B的行列式.26.用配方法化二次型為標準形，并寫出所作的可逆線性變換.四、證明題(本題6分)27.設A是3階反對稱矩陣，證明習題一答案習題二答案線性代數(shù)習題三說明:在本卷中,AT表示矩陣A的轉置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.設A為3階矩陣,|A|=1,則|-2AT|=( )A.-8 B.-2 C.2 D.82.設矩陣A=,B=(1,1),則AB=( )A.0 B

10、.(1,-1) C. D. 3.設A為n階對稱矩陣,B為n階反對稱矩陣,則下列矩陣中為反對稱矩陣的是( )A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA4.設矩陣A的伴隨矩陣A*=,則A-1= ( )A. B. C. D. 5.下列矩陣中不是初等矩陣的是( )A. B. C. D. 6.設A,B均為n階可逆矩陣,則必有( )A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆7.設向量組1=(1,2), 2=(0,2),=(4,2),則 ( )A. 1, 2,線性無關 B. 不能由1, 2線性表示C. 可由1, 2線性表示,但表示法不惟一 D. 可由1, 2線性表示,且表示法惟

11、一8.設A為3階實對稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎解系所含解向量的個數(shù)為( )A.0 B.1 C.2D.39.設齊次線性方程組有非零解,則為( )A.-1 B.0 C.1 D.210.設二次型f(x)=xTAx正定,則下列結論中正確的是( )A.對任意n維列向量x,xTAx都大于零 B.f的標準形的系數(shù)都大于或等于零C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式的值為_.12.已知A=,則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為_.13.

12、設矩陣A=,P=,則AP3=_.14.設A,B都是3階矩陣,且|A|=2,B=-2E,則|A-1B|=_.15.已知向量組1,=(1,2,3),2=(3,-1,2), 3=(2,3,k)線性相關,則數(shù)k=_.16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, 1, 2, 3為該方程組的3個解,且則該線性方程組的通解是_.17.已知P是3階正交矩,向量_.18.設2是矩陣A的一個特征值,則矩陣3A必有一個特征值為_.19.與矩陣A=相似的對角矩陣為_.20.設矩陣A=,若二次型f=xTAx正定,則實數(shù)k的取值范圍是_.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)21.求行列式D=22.設矩陣A=求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.23.若向量組的秩為2,求k的值.24.設矩陣(1)求A-1;(2)求解線性方程