類型11 最短路徑類問題（精選20題） 2020年中考數(shù)學(xué) 三輪沖刺 難點(diǎn)題型突破

1、最短路徑類問題1如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A13cmB2cmCcmD2cm2如圖，已知圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（）A4dmB2dmC2dmD4dm3如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（）A5B25C10+5D354如圖是一個三級臺

2、階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（）dmA20B25C30D355如圖，點(diǎn)A是正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個頂點(diǎn)，正方體的棱長為2，一螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是（）A3BCD46如圖所示，是一圓柱體，已知圓柱的高AB3，底面直徑BC10，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬行到對角C處去捕食，則它爬行最短路徑是（）（本題取3）A13B3CD27已知如圖，圓錐的底面圓的半徑為r（r0），母線長OA為3r，C為母線OB的中點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上

3、，一只螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短線路長為（）ABCD8在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為 cm（結(jié)果保留）9如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長為 cm10圖所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖的幾何體，一只螞蟻沿著圖的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為 cm11如圖，在RtABC中，ACB90，AC9，BC12，AD是BAC的平分線若P、Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+

4、PQ的最小值是 12如圖，在矩形ABCD中，AB，BC1，將ABD沿射線DB平移得到ABD，連接BC，DC，則BC+DC的最小值是 13如圖，RtABC中，B90，A30，AC4，D是AC的中點(diǎn)，P是AB上一動點(diǎn)，則CP+PD的最小值為 14如圖，矩形ABCD中，AB20，AD30，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的兩個動點(diǎn)，且EF12，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)H為AD邊上一動點(diǎn)，連接CH、GH，則GH+CH的最小值為 15如圖，等腰直角ABC中，ACBC，ACB90，D為BC中點(diǎn)，AD4，P為AB上一個動點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，PC+PD的最小值為 16如圖1，A村和B村在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的

5、距離AC、BD分別為1千米和4千米，又知道CD的長為4千米（1）現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水，有兩種方案備選擇方案1：水廠建在C點(diǎn)，修自來水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如圖2）；方案2：作A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A，連接AB交CD于M點(diǎn)，水廠建在M點(diǎn)處，分別向兩村修管道AM和BM（即AM+BM）（如圖3）從節(jié)約建設(shè)資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進(jìn)行施工，請利用已有條件分別進(jìn)行計(jì)算，判斷哪種方案更合適（2）有一艘快艇Q從這條河中駛過，若快艇Q在CD之間（即點(diǎn)Q在線段CD上），當(dāng)DQ為多少時？ABQ為等腰三角形，請直接寫出結(jié)果17如圖，在ABC中，已知ABAC，AB

6、的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB（1）若ABC70，則NMA的度數(shù)是 度（2）若AB8cm，MBC的周長是14cm求BC的長度；若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請你直接寫出PBC周長的最小值18如圖，在ABC中，ABAC，AD是中線，且AC是DE的中垂線（1）求證：BADCAD；（2）連接CE，寫出BD和CE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）當(dāng)BAC90，BC8時，在AD上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)C與到點(diǎn)E的距離之和最小，求BCP的面積19如圖，一個無蓋的正方體盒子的棱長為10厘米，頂點(diǎn)C1處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)A處有一只昆蟲乙（盒壁的厚度忽略不計(jì)）（1）假設(shè)昆蟲甲在頂點(diǎn)C1處靜止不

7、動，如圖，在盒子的內(nèi)部我們先取棱BB1的中點(diǎn)E，再連接AE、EC1蟲乙如果沿路徑AEC1爬行，那么可以在最短的時間內(nèi)捕捉到昆蟲甲仔細(xì)體會其中的道理，并在圖中畫出另一條路徑，使昆蟲乙從頂點(diǎn)A沿這條路徑爬行，同樣可以在最短的時間內(nèi)捕捉到昆蟲甲；（請簡要說明畫法）（2）如圖，假設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)C1，以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱C1C向下爬行，同時昆蟲乙從頂點(diǎn)A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲？（精確到1秒）20李老師在與同學(xué)進(jìn)行“螞蟻怎樣爬最近”的課題研究時設(shè)計(jì)了以下三個問題，請你根據(jù)下列所給的重要條件分別求出螞蟻需要爬行的最短路程的長（1）如圖1，正方

8、體的棱長為5cm一只螞蟻欲從正方體底面上的點(diǎn)A沿著正方體表面爬到點(diǎn)C1處；（2）如圖2，正四棱柱的底面邊長為5cm，側(cè)棱長為6cm，一只螞蟻從正四棱柱底面上的點(diǎn)A沿著棱柱表面爬到C1處；（3）如圖3，圓錐的母線長為4cm，圓錐的側(cè)面展開圖如圖4所示，且AOA1120，一只螞蟻欲從圓錐的底面上的點(diǎn)A出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點(diǎn)A試題解析1如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是（）A13cmB2cmCcmD2cm解：如圖：高為

9、12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點(diǎn)A處，AD5cm，BD123+AE12cm，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點(diǎn)A，連接AB，則AB即為最短距離，AB13（Cm）故選：A2如圖，已知圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（）A4dmB2dmC2dmD4dm解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長度圓柱底面的周長為4dm，圓柱高為2dm，AB2dm，BCBC2dm，AC222+224+48，AC2dm

10、，這圈金屬絲的周長最小為2AC4dm故選：A3如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是（）A5B25C10+5D35解：將長方體展開，連接A、B，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，（1）如圖，BD10+515，AD20，由勾股定理得：AB25（2）如圖，BC5，AC20+1030，由勾股定理得，AB5（3）只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖：長方體的寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是5，BDCD+BC20+525，AD10，在直角三角形ABD中，根據(jù)勾股定理得：AB5；由于2

11、555，故選：B4如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)A處有一只螞蟻，想到點(diǎn)B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)B的最短路程為（）dmA20B25C30D35解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為20dm，寬為（2+3）3dm，則螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到B點(diǎn)最短路程為xdm，由勾股定理得：x2202+（2+3）32252，解得：x25（dm）故選：B5如圖，點(diǎn)A是正方體左側(cè)面的中心，點(diǎn)B是正方體的一個頂點(diǎn)，正方體的棱長為2，一螞蟻從點(diǎn)A沿其表面爬到點(diǎn)B的最短路程是（）A

12、3BCD4解：如圖，AB故選：C6如圖所示，是一圓柱體，已知圓柱的高AB3，底面直徑BC10，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬行到對角C處去捕食，則它爬行最短路徑是（）（本題取3）A13B3CD2解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點(diǎn)A、C的最短距離為線段AC的長在RTADC中，ADC90，CDAB3，AD為底面半圓弧長，AD515，所以AC3，此時考慮一種情況就是螞蟻在圓柱體上方走直徑這一情況：即路程為AB+RBC3+1013133最短路徑為13故選：A7已知如圖，圓錐的底面圓的半徑為r（r0），母線長OA為3r，C為母線OB的中點(diǎn)在圓錐的側(cè)面上，一只螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)C的最短線路長為

13、（）ABCD解：由題意知，底面圓的直徑為2r，故底面周長等于2r，設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，2r，解得n120，所以展開圖中扇形的圓心角為120，AOA120，160，過C作CFOA，C為OB中點(diǎn)，BO3r，OCr，160，OCF30，F(xiàn)Or，CF2CO2OF2r2，AO3r，F(xiàn)Or，AFr，AC2AF2+FC2r2+r2r2，AC，故選：B8在底面直徑為2cm，高為3cm的圓柱體側(cè)面上，用一條無彈性的絲帶從A至C按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為3cm（結(jié)果保留）解：如圖所示，無彈性的絲帶從A至C，繞了1.5圈，展開后AB1.523cm，B

14、C3cm，由勾股定理得：AC3cm故答案為：39如圖，長方體的底面邊長分別為2cm和4cm，高為5cm若一只螞蟻從P點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達(dá)Q點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路徑長為13cm解：PA2（4+2）12，QA5PQ13故答案為：1310圖所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖的幾何體，一只螞蟻沿著圖的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為（3+3）cm解：如圖所示：BCD是等腰直角三角形，ACD是等邊三角形，在RtBCD中，CD6cm，BECD3cm，在RtACE中，AE3cm，從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為（3+3）cm故答案為：（3+

15、3）11如圖，在RtABC中，ACB90，AC9，BC12，AD是BAC的平分線若P、Q分別是AD和AC上的動點(diǎn)，則PC+PQ的最小值是解：過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EQAC于點(diǎn)Q，EQ交AD于點(diǎn)P，連接CP，此時PC+PQEQ取最小值，如圖所示在RtABC中，ACB90，AC9，BC12，AB15AD是BAC的平分線，CADEAD，在ACD和AED中，ACDAED（AAS），AEAC9EQAC，ACB90，EQBC，即，EQ，故答案為12如圖，在矩形ABCD中，AB，BC1，將ABD沿射線DB平移得到ABD，連接BC，DC，則BC+DC的最小值是解：四邊形ABCD是矩形，ADBC1，A

16、90，2，將ABD沿射線DB平移得到ABD，BDBD2，作點(diǎn)C關(guān)于BD的對稱點(diǎn)G，連接CG交BD于E，連接DG，則CDGDCEBD，CG2CE，CE，CG，以BD，GD為鄰邊作平行四邊形BDGH，則BHDGCD，當(dāng)C，B，H在同一條直線上時，CB+BH最短，則BC+DC的最小值CH，四邊形BDGH是平行四邊形，HGBD2，HGBD，HGCG，CH，故答案為：13如圖，RtABC中，B90，A30，AC4，D是AC的中點(diǎn)，P是AB上一動點(diǎn)，則CP+PD的最小值為2本題考查的是最短線路問題及等邊三角形的性質(zhì)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵14如圖，矩形ABCD中，AB20，AD30，點(diǎn)

17、E，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的兩個動點(diǎn)，且EF12，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)H為AD邊上一動點(diǎn)，連接CH、GH，則GH+CH的最小值為44解：由已知，點(diǎn)G在以B圓心，5為半徑的圓在與長方形重合的弧上運(yùn)動作C關(guān)于AD的對稱點(diǎn)C，連接CB，交AD于H，交以D為圓心，以5為半徑的圓于G，由兩點(diǎn)之間線段最短，此時CB的值最小最小值為50，則GH+CH的最小值50644，故答案為：4415如圖，等腰直角ABC中，ACBC，ACB90，D為BC中點(diǎn)，AD4，P為AB上一個動點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，PC+PD的最小值為4解：設(shè)CDx，ACBC，ACB90，D為BC中點(diǎn)，ACBC2x，AD4，（2x）2+x242，x（負(fù)

18、值舍去），CD，ACBC，作點(diǎn)C關(guān)于AB對稱點(diǎn)C，則OCOC，連接DC，交AB于P，連接BC此時DP+CPDP+PCDC的值最小BDCD，由對稱性可知CBACBA45，CBC90，BCBC，BCCBCC45，BCBC，根據(jù)勾股定理可得DC4故答案為：416如圖1，A村和B村在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和4千米，又知道CD的長為4千米（1）現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水，有兩種方案備選擇方案1：水廠建在C點(diǎn)，修自來水管道到A村，再到B村（即AC+AB）（如圖2）；方案2：作A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)A，連接AB交CD于M點(diǎn)，水廠建在M點(diǎn)處，分別向兩村修管道

19、AM和BM（即AM+BM）（如圖3）從節(jié)約建設(shè)資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進(jìn)行施工，請利用已有條件分別進(jìn)行計(jì)算，判斷哪種方案更合適（2）有一艘快艇Q從這條河中駛過，若快艇Q在CD之間（即點(diǎn)Q在線段CD上），當(dāng)DQ為多少時？ABQ為等腰三角形，請直接寫出結(jié)果解：（1）方案1：AC+AB1+56，方案2：，方案1更合適；（2）（方法不唯一）如圖，若AQ1AB5或AQ4AB5時，（或）4（不合題意，舍去）若ABBQ25或ABBQ55時，當(dāng)AQ3BQ3時，設(shè)DQ3x，則有x2+42（4x）2+128x1，即：；故當(dāng)DQ3或時，ABQ為等腰三角形17如圖，在ABC中，已知ABAC，AB的垂直

20、平分線交AB于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)M，連接MB（1）若ABC70，則NMA的度數(shù)是50度（2）若AB8cm，MBC的周長是14cm求BC的長度；若點(diǎn)P為直線MN上一點(diǎn)，請你直接寫出PBC周長的最小值解：（1）ABAC，CABC70，A40，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，ANM90，NMA50，故答案為：50；（2）MN是AB的垂直平分線，AMBM，MBC的周長BM+CM+BCAM+CM+BCAC+BC，AB8，MBC的周長是14，BC1486；當(dāng)點(diǎn)P與M重合時，PBC周長的值最小，理由：PB+PCPA+PC，PA+PCAC，P與M重合時，PA+PCAC，此時PB+PC最小，PBC周長的最小值A(chǔ)C+

21、BC8+61418如圖，在ABC中，ABAC，AD是中線，且AC是DE的中垂線（1）求證：BADCAD；（2）連接CE，寫出BD和CE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（3）當(dāng)BAC90，BC8時，在AD上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)C與到點(diǎn)E的距離之和最小，求BCP的面積解：（1）ABAC，AD是中線，BADCAD；（2）連接EC結(jié)論：BDCE理由：AD是中線，BDCD，AD，AE關(guān)于AC對稱，CDCE，BDCE；（3）連接BE交AD于點(diǎn)P，此時PE+PC的值最小ABAC，BAC90，BDDC4，ADAE4，由題意AEBD，AEADBD，四邊形ABDE是平行四邊形，PAPD2，PDBC，SBCP82819如圖

22、，一個無蓋的正方體盒子的棱長為10厘米，頂點(diǎn)C1處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)A處有一只昆蟲乙（盒壁的厚度忽略不計(jì)）（1）假設(shè)昆蟲甲在頂點(diǎn)C1處靜止不動，如圖，在盒子的內(nèi)部我們先取棱BB1的中點(diǎn)E，再連接AE、EC1蟲乙如果沿路徑AEC1爬行，那么可以在最短的時間內(nèi)捕捉到昆蟲甲仔細(xì)體會其中的道理，并在圖中畫出另一條路徑，使昆蟲乙從頂點(diǎn)A沿這條路徑爬行，同樣可以在最短的時間內(nèi)捕捉到昆蟲甲；（請簡要說明畫法）（2）如圖，假設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)C1，以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱C1C向下爬行，同時昆蟲乙從頂點(diǎn)A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時間才能捕捉到昆蟲甲？（精確到1秒）解：（1）畫出圖中AE2C1，AE3C1，AE4C1中任意一條路徑；（E1、E2、E3分