電路分析中電容元件和電感元件的特性

1、第七章第七章 電容元件和電感元件電容元件和電感元件 前幾章討論了電阻電路，即由獨(dú)立電源和電阻、受控前幾章討論了電阻電路，即由獨(dú)立電源和電阻、受控源、理想變壓器等電阻元件構(gòu)成的電路。描述這類電路電源、理想變壓器等電阻元件構(gòu)成的電路。描述這類電路電壓電流約束關(guān)系的電路方程是代數(shù)方程。但在實(shí)際電路的壓電流約束關(guān)系的電路方程是代數(shù)方程。但在實(shí)際電路的分析中，往往還需要采用電容元件和電感元件去建立電路分析中，往往還需要采用電容元件和電感元件去建立電路模型。這些元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對(duì)時(shí)間的模型。這些元件的電壓電流關(guān)系涉及到電壓電流對(duì)時(shí)間的微分或積分，稱為動(dòng)態(tài)元件。含動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)微分或

2、積分，稱為動(dòng)態(tài)元件。含動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)電路，描述動(dòng)態(tài)電路的方程是微分方程。本章先介紹兩種電路，描述動(dòng)態(tài)電路的方程是微分方程。本章先介紹兩種儲(chǔ)能元件儲(chǔ)能元件電容元件和電感元件。再介紹簡單動(dòng)態(tài)電路微電容元件和電感元件。再介紹簡單動(dòng)態(tài)電路微分方程的建立。以后兩章討論一階電路和二階電路的時(shí)域分方程的建立。以后兩章討論一階電路和二階電路的時(shí)域分析，最后一章討論線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路的頻域分析。分析，最后一章討論線性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路的頻域分析。 常用的幾種電容器71 電容元件電容元件 一、一、 電容元件電容元件 集總參數(shù)電路中與電場(chǎng)有關(guān)的物理過程集中在電容元集總參數(shù)電路中與電場(chǎng)有關(guān)的物理過程集中在電容元件

3、中進(jìn)行，電容元件是構(gòu)成各種電容器的電路模型所必需件中進(jìn)行，電容元件是構(gòu)成各種電容器的電路模型所必需的一種理想電路元件。的一種理想電路元件。 電容元件的定義是：如果一個(gè)二端元件在任一時(shí)刻，電容元件的定義是：如果一個(gè)二端元件在任一時(shí)刻，其電荷與電壓之間的關(guān)系由其電荷與電壓之間的關(guān)系由u-q平面上一條曲線所確定，則平面上一條曲線所確定，則稱此二端元件為電容元件。稱此二端元件為電容元件。圖圖7-1 (a) 電容元件的符號(hào)電容元件的符號(hào) (c) 線性時(shí)不變電容元件的符號(hào)線性時(shí)不變電容元件的符號(hào) (b) 電容元件的特性曲線電容元件的特性曲線 (d) 線性時(shí)不變電容元件的特性曲線線性時(shí)不變電容元件的特性曲線

4、 電容元件的符號(hào)和特性曲線如圖電容元件的符號(hào)和特性曲線如圖7-1(a)和和(b)所示。所示。 其特性曲線是通過坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電容元件稱為其特性曲線是通過坐標(biāo)原點(diǎn)一條直線的電容元件稱為線性電容元件，否則稱為非線性電容元件。線性電容元件，否則稱為非線性電容元件。圖圖7-1 線性時(shí)不變電容元件的符號(hào)與特性曲線如圖線性時(shí)不變電容元件的符號(hào)與特性曲線如圖(c)和和(d)所所示，它的特性曲線是一條通過原點(diǎn)不隨時(shí)間變化的直線，示，它的特性曲線是一條通過原點(diǎn)不隨時(shí)間變化的直線，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 ) 17( Cuq 式中的系數(shù)式中的系數(shù)C為常量，與直線的斜率成正比，稱為電為常量，與直線的斜率成正

5、比，稱為電容，單位是法容，單位是法拉拉,用用F表示。表示。圖圖7-1 實(shí)際電路中使用的電容器類型很多，電容的范圍變化實(shí)際電路中使用的電容器類型很多，電容的范圍變化很大，大多數(shù)電容器漏電很小，在工作電壓低的情況下，很大，大多數(shù)電容器漏電很小，在工作電壓低的情況下，可以用一個(gè)電容作為它的電路模型。當(dāng)其漏電不能忽略時(shí)，可以用一個(gè)電容作為它的電路模型。當(dāng)其漏電不能忽略時(shí)，則需要用一個(gè)電阻與電容的并聯(lián)作為它的電路模型。則需要用一個(gè)電阻與電容的并聯(lián)作為它的電路模型。 在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個(gè)電感來構(gòu)在工作頻率很高的情況下，還需要增加一個(gè)電感來構(gòu)成電容器的電路模型，如圖成電容器的電路模型，如圖

6、7-2所示。所示。 圖圖7-2 電容器的幾種電路模型電容器的幾種電路模型 二、電容元件的電壓電流關(guān)系二、電容元件的電壓電流關(guān)系 對(duì)于線性時(shí)不變電容元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)對(duì)于線性時(shí)不變電容元件來說，在采用電壓電流關(guān)聯(lián)參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式參考方向的情況下，可以得到以下關(guān)系式)27(ddd)(ddd)( tuCtCutqti 此式表明電容中的電流與其電壓對(duì)時(shí)間的變化率成正此式表明電容中的電流與其電壓對(duì)時(shí)間的變化率成正比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不比，它與電阻元件的電壓電流之間存在確定的約束關(guān)系不同，電容電流與此時(shí)刻電壓的數(shù)值之間并沒有確定的約束同，電容電流與

7、此時(shí)刻電壓的數(shù)值之間并沒有確定的約束關(guān)系。關(guān)系。 在直流電源激勵(lì)的電路模型中，當(dāng)各電壓電流均不隨在直流電源激勵(lì)的電路模型中，當(dāng)各電壓電流均不隨時(shí)間變化的情況下，電容元件相當(dāng)于一個(gè)開路時(shí)間變化的情況下，電容元件相當(dāng)于一個(gè)開路(i=0)。 在已知電容電壓在已知電容電壓u(t)的條件下，用式的條件下，用式(6-2)容易求出其電流容易求出其電流i(t)。例如已知。例如已知C=1 F電容上的電壓為電容上的電壓為u(t)=10sin(5t)V，其波，其波形如圖形如圖7-3(a)所示，與電壓參考方向關(guān)聯(lián)的電容電流為所示，與電壓參考方向關(guān)聯(lián)的電容電流為 A)5cos(50 A)5cos(1050 d)5sin

8、(10d10 dd)(66 tttttuCti 圖圖7-3 在幻燈片放映時(shí)，請(qǐng)用鼠標(biāo)單擊圖片放映錄像。例例7-1 已知已知C=0.5 F電容上的電壓波形如圖電容上的電壓波形如圖7-4(a)所示，所示， 試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)的電流試求電壓電流采用關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)的電流iC(t),并畫并畫 出波形圖。出波形圖。 圖圖74 例例71 A1=A101d)2(d105 . 0dd)(66CC tttuCti 2.當(dāng)當(dāng)1s t 3s時(shí)，時(shí)，uC(t)=4-2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到 A1A101d)24(d105 . 0dd)(66CC tttuCti 1.當(dāng)當(dāng)0 t 1s 時(shí)，時(shí)，

9、uC(t)=2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到解：根據(jù)圖解：根據(jù)圖74(a)波形，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算波形，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算圖圖74 例例71 3.當(dāng)當(dāng)3s t 5s時(shí)，時(shí)，uC(t)=-8+2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到 A1A101d)28(d105 . 0dd)(66CC tttuCti 4.當(dāng)當(dāng)5s t時(shí)，時(shí)，uC(t)=12-2t，根據(jù)式，根據(jù)式72可以得到可以得到 A1A101d)212(d105 . 0dd)(66CC tttuCti圖圖74 例例71 根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，畫出圖根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，畫出圖74(b)所示的矩形波形。所示的矩形波形。 在已知電容電

10、流在已知電容電流iC(t)的條件下，其電壓的條件下，其電壓uC(t)為為 ) 37( d)(1) 0(d)(1d)(1d)(1)( 0 CC0 0 CC CC tttiCuiCiCiCtu 其中其中 0 CCd)(1)0( iCu稱為電容電壓的初始值稱為電容電壓的初始值, ,它是從它是從t t=-=-到到t t=0=0時(shí)間范圍內(nèi)流過時(shí)間范圍內(nèi)流過電容的電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生的電壓。電容的電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生的電壓。 式式(73)表示表示t0某時(shí)刻電容電壓某時(shí)刻電容電壓uc(t)等于電容電壓的等于電容電壓的初始值初始值uc(0)加上加上t=0到到t時(shí)刻范圍內(nèi)電容電流在電容上積累時(shí)刻范圍

11、內(nèi)電容電流在電容上積累電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個(gè)直流電荷所產(chǎn)生電壓之和，就端口特性而言，等效為一個(gè)直流電壓源電壓源uc(0)和一個(gè)初始電壓為零的電容的串聯(lián)和一個(gè)初始電壓為零的電容的串聯(lián) 如圖如圖75所所示。示。) 37( d)(1) 0(d)(1d)(1d)(1)( 0 CC0 0 CC CC tttiCuiCiCiCtu 圖圖75 從上式可以看出電容具有兩個(gè)基本的性質(zhì)從上式可以看出電容具有兩個(gè)基本的性質(zhì) (1)電容電壓的記憶性。電容電壓的記憶性。 從式（從式（73）可見，任意時(shí)刻）可見，任意時(shí)刻T電容電壓的數(shù)值電容電壓的數(shù)值uC(T)，要由從要由從- 到時(shí)刻到時(shí)刻T之間的

12、全部電流之間的全部電流iC(t)來確定。也就是說，來確定。也就是說，此時(shí)刻以前流過電容的任何電流對(duì)時(shí)刻此時(shí)刻以前流過電容的任何電流對(duì)時(shí)刻T 的電壓都有一定的電壓都有一定的貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時(shí)刻的的貢獻(xiàn)。這與電阻元件的電壓或電流僅僅取決于此時(shí)刻的電流或電壓完全不同，我們說電容是一種記憶元件。電流或電壓完全不同，我們說電容是一種記憶元件。 ) 37( d)(1) 0(d)(1d)(1d)(1)( 0 CC0 0 CC CC tttiCuiCiCiCtu 例例72 電路如圖電路如圖76(a)所示，已知電容電流波形如圖所示，已知電容電流波形如圖76(b)所示，試求電容電壓所示，

13、試求電容電壓uC(t)，并畫波形圖。，并畫波形圖。 圖圖7-6解：根據(jù)圖解：根據(jù)圖(b)波形的情況，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算波形的情況，按照時(shí)間分段來進(jìn)行計(jì)算 1當(dāng)當(dāng)t 0時(shí)，時(shí)，iC(t)=0，根據(jù)式，根據(jù)式7-3可以得到可以得到 ttiCtu 6 CC0d0102d)(1)( 2當(dāng)當(dāng)0 t1s時(shí)，時(shí)，iC(t)=1 A，根據(jù)式，根據(jù)式7-3可以得到可以得到 V2) s1( s1 220d10102)0(d)(1)(C 0 66C CC utttuiCtutt時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 圖圖7-6 3當(dāng)當(dāng)1s t3s時(shí)，時(shí)，iC(t)=0，根據(jù)式，根據(jù)式73可以得到可以得到 V2) s3( s3 2V=0+V2

14、d0102)1(d)(1)(C 1 6C CC utuiCtutt時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 4當(dāng)當(dāng)3s t5s時(shí)，時(shí)，iC(t)=1 A，根據(jù)式，根據(jù)式73可以得到可以得到 6V=4V+V2) s5( s5 3)2(+2d10102)3(d)(1)(C 3 66C CC uttuiCtutt時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 5當(dāng)當(dāng)5s t時(shí)，時(shí)，iC(t)=0，根據(jù)式，根據(jù)式73可以得到可以得到 6V0+V6d0102)5(d)(1)( 5 6C CC ttuiCtu 根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，可以畫出電容電壓的波形如圖以畫出電容電壓的波形如圖(c)所示，由此可見任意時(shí)刻電所示，由此可見任意時(shí)刻電容電壓的數(shù)值與此時(shí)刻以前

15、容電壓的數(shù)值與此時(shí)刻以前的全部電容電流均有關(guān)系。的全部電容電流均有關(guān)系。 例如，當(dāng)例如，當(dāng)1st3s時(shí)，電時(shí)，電容電流容電流iC(t)=0，但是電容電壓，但是電容電壓并不等于零，電容上的并不等于零，電容上的2V電電壓是壓是0t1s時(shí)間內(nèi)電流作用的時(shí)間內(nèi)電流作用的結(jié)果。結(jié)果。 圖圖7-6 圖圖77(a)所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記所示的峰值檢波器電路，就是利用電容的記憶性，使輸出電壓波形憶性，使輸出電壓波形如圖如圖(b)中實(shí)線所示中實(shí)線所示保持輸入電壓保持輸入電壓uin(t)波形波形如圖如圖(b)中虛線所示中虛線所示中的峰值。中的峰值。 圖圖77 峰值檢波器電路的輸入輸出波形峰值檢波器

16、電路的輸入輸出波形 (2)電容電壓的連續(xù)性電容電壓的連續(xù)性 從例從例72的計(jì)算結(jié)果可以看出，電容電流的波形是不的計(jì)算結(jié)果可以看出，電容電流的波形是不連續(xù)的矩形波，而電容電壓的波形是連續(xù)的。從這個(gè)平滑連續(xù)的矩形波，而電容電壓的波形是連續(xù)的。從這個(gè)平滑的電容電壓波形可以看出電容電壓是連續(xù)的一般性質(zhì)。即的電容電壓波形可以看出電容電壓是連續(xù)的一般性質(zhì)。即電容電流在閉區(qū)間電容電流在閉區(qū)間t1,t2有界時(shí)，電容電壓在開區(qū)間有界時(shí)，電容電壓在開區(qū)間(t1,t2)內(nèi)內(nèi)是連續(xù)的。這可以從電容電壓、電流的積分關(guān)系式中得到是連續(xù)的。這可以從電容電壓、電流的積分關(guān)系式中得到證明。證明。 將將t=T和和t=T+dt代入

17、式代入式(63)中，其中中，其中t1Tt2和和t1T+dt0時(shí)，時(shí)，W(t)不可能為負(fù)值，電容不可能放出多于不可能為負(fù)值，電容不可能放出多于它儲(chǔ)存的能量，這說明電容是一種儲(chǔ)能元件。由于電容電它儲(chǔ)存的能量，這說明電容是一種儲(chǔ)能元件。由于電容電壓確定了電容的儲(chǔ)能狀態(tài)，稱電容電壓為狀態(tài)變量。壓確定了電容的儲(chǔ)能狀態(tài)，稱電容電壓為狀態(tài)變量。 從式從式(75)也可以理解為什么電容電壓不能輕易躍變，也可以理解為什么電容電壓不能輕易躍變，這是因?yàn)殡娙蓦妷旱能S變要伴隨電容儲(chǔ)存能量的躍變，在這是因?yàn)殡娙蓦妷旱能S變要伴隨電容儲(chǔ)存能量的躍變，在電流有界的情況下，是不可能造成電場(chǎng)能量發(fā)生躍變和電電流有界的情況下，是不可

18、能造成電場(chǎng)能量發(fā)生躍變和電容電壓發(fā)生躍變的。容電壓發(fā)生躍變的。 )57()( 21)(2C tuCtW 若電容的初始儲(chǔ)能為零，即若電容的初始儲(chǔ)能為零，即u(t0)=0,則任意時(shí)刻儲(chǔ)存在則任意時(shí)刻儲(chǔ)存在電容中的能量為電容中的能量為 )57()( 21)(2C tuCtW 此式說明某時(shí)刻電容的儲(chǔ)能取決于該時(shí)刻電容的電壓此式說明某時(shí)刻電容的儲(chǔ)能取決于該時(shí)刻電容的電壓值，與電容的電流值無關(guān)。值，與電容的電流值無關(guān)。 電容電壓的絕對(duì)值增大時(shí)，電容儲(chǔ)能增加；電容電壓電容電壓的絕對(duì)值增大時(shí)，電容儲(chǔ)能增加；電容電壓的絕對(duì)值減小時(shí)，電容儲(chǔ)能減少。的絕對(duì)值減小時(shí)，電容儲(chǔ)能減少。 1. 1. 兩個(gè)線性電容并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其端口特性而言，兩個(gè)線性電容并聯(lián)單口網(wǎng)絡(luò)，就其