定積分在物理上的應(yīng)用ppt課件

1、 由由物物理理學(xué)學(xué)知知道道，如如果果物物體體在在作作直直線線運運動動的的過過程程中中有有一一個個不不變變的的力力F作作用用在在這這物物體體上上，且且這這力力的的方方向向與與物物體體的的運運動動方方向向一一致致，那那么么，在在物物體體移移動動了了距距離離s時時，力力F對對物物體體所所作作的的功功為為sFW . 如如果果物物體體在在運運動動的的過過程程中中所所受受的的力力是是變變化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“元元素素法法”思思想想. 例例1 1 把把一一個個帶帶 q 電電量量的的點點電電荷荷放放在在 r 軸軸上上坐坐標標原原點點處處， 它它產(chǎn)產(chǎn)生生一一個個電電場

2、場 這這個個電電場場對對周周圍圍的的電電荷荷有有作作用用力力 由由物物理理學(xué)學(xué)知知道道， 如如果果一一個個單單位位正正電電荷荷放放在在這這個個電電場場中中距距離離原原點點為為 r 的的地地方方，那那么么電電場場對對它它的的作作用用力力的的大大小小為為 2rqkF （k是是常常數(shù)數(shù)） ，當當這這個個單單位位正正電電荷荷在在電電場場中中從從 ar 處處沿沿 r 軸軸移移動動到到 br 處處時時， 計計算算電電場場力力 F 對對它它所所作作的的功功 解解取取r為為積積分分變變量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,drrr ,2drrkqdw drrkqwba 2b

3、arkq 1.11 bakqdrrkqwa 2 arkq1.akq 假設(shè)要思索將單位電荷移到無窮遠處假設(shè)要思索將單位電荷移到無窮遠處所求功為所求功為功元素功元素例例 2 2 : 一圓柱形蓄水池高為一圓柱形蓄水池高為 5 米，底半徑米，底半徑 3 米，米，池內(nèi)盛滿了水池內(nèi)盛滿了水.問要把池內(nèi)的水全部吸出，問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？需作多少功？ xoxdxx 取取x為為積積分分變變量量，5 , 0 x5取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,建立坐標系如圖建立坐標系如圖解解xoxdxx 5這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 ,2 .88dxxdw dxxw 2 .885

4、050222 .88 x3462 (千焦千焦)功元素為功元素為,)(kxxf 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)挠描F錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第阻力與鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入一次錘擊時將鐵釘擊入1 1厘米，假設(shè)每次錘擊所厘米，假設(shè)每次錘擊所作的功相等，問第作的功相等，問第 次錘擊時又將鐵釘擊入多次錘擊時又將鐵釘擊入多少？少？n設(shè)設(shè) 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 厘米厘米hn次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n第一次錘擊時所作的功為第一次錘擊時所作的功

5、為設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇υO(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇闉榻饨?hhkxdxw0,22kh 1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n第第 次擊入的深度為次擊入的深度為n依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等 由由物物理理學(xué)學(xué)知知道道，在在水水深深為為h處處的的壓壓強強為為hp ，這這里里 是是水水的的比比重重如如果果有有一一面面積積為為A的的平平板板水水平平地地放放置置在在水水深深為為h處處，那那么么，平平板板一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力為為ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的點點處處壓壓強強p

6、不不相相等等，平平板板一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“元元素素法法”思思想想 例例 4 4 一一個個橫橫放放著著的的圓圓柱柱形形水水桶桶，桶桶內(nèi)內(nèi)盛盛有有半半桶桶水水，設(shè)設(shè)桶桶的的底底半半徑徑為為R，水水的的比比重重為為 ，計計算算桶桶的的一一端端面面上上所所受受的的壓壓力力xo取取x為為積積分分變變量量，, 0Rx 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx xdxx 小矩形片上各處的壓強近小矩形片上各處的壓強近似相等似相等小矩形片的面積為小矩形片的面積為.222dxxR ,xp 在端面建立坐標系如圖在端面建立坐標系如圖解解小矩形片的壓力元素為

7、小矩形片的壓力元素為dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的壓壓力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 例例 5 5 將將直直角角邊邊各各為為a及及a2的的直直角角三三角角形形薄薄板板垂垂直直地地浸浸人人水水中中，斜斜邊邊朝朝下下，長長直直角角邊邊與與水水面面平平行行，且且該該邊邊到到水水面面的的距距離離恰恰等等于于該該邊邊的的邊邊長長，求求薄薄板板所所受受的的側(cè)側(cè)壓壓力力 xoa2a2a,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a 建立坐標系如圖建立坐標系如圖面積元素面積元素解解 由物理學(xué)知

8、道，質(zhì)量分別為由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為21, mm相距為相距為r的兩個質(zhì)點間的引力的大小為的兩個質(zhì)點間的引力的大小為221rmmkF ，其中其中k為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點的為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點的連線方向連線方向 如如果果要要計計算算一一根根細細棒棒對對一一個個質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力，那那么么，由由于于細細棒棒上上各各點點與與該該質(zhì)質(zhì)點點的的距距離離是是變變化化的的，且且各各點點對對該該質(zhì)質(zhì)點點的的引引力力方方向向也也是是變變化化的的，就就不不能能用用此此公公式式計計算算例例 6 6 有一長度為有一長度為 l 、線密度為、線密度為 r r 的均勻細棒，的均勻細棒， 在其中垂線上

9、距棒在其中垂線上距棒 a 單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點的質(zhì)點 M ，計算該棒對質(zhì)點，計算該棒對質(zhì)點 M 的引力的引力 2l2l xyoMa取取y為積分變量為積分變量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dyyy ,2,2 lly,dyr rrydyy 將典型小段近似看成質(zhì)點將典型小段近似看成質(zhì)點小段的質(zhì)量為小段的質(zhì)量為建立坐標系如圖建立坐標系如圖解解小段與質(zhì)點的間隔為小段與質(zhì)點的間隔為,22yar ,22yadymkF r r,)(2322yadyamkdFx r r2322)(22yadyamkFllx r r,)4(22122laalkm r r. 0 yF由對稱性知，引力在鉛直方向分力為由對稱性知，引力在鉛直方向分力為程度方向的分力元素程度方向的分力元素引力引力例例7:,R有一半徑為中心角為 的圓弧形細棒,其線密度mr。求這細棒對圓心處質(zhì)量為 的質(zhì)點的引力。解解: 建立坐標如圖建立坐標如圖oxy ,222 則 變量積分變量 ,d 取微區(qū)