計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理

1、高三理科午練（5）1. 在三個(gè)不同的盒子中，分別裝有不同標(biāo)號(hào)的紅球20個(gè)，白球15個(gè)，黃球8個(gè)若要從盒子中任取2個(gè)球，其顏色不同的取法有_種2. 將3個(gè)不同的小球放入4個(gè)盒子中，則不同放法種數(shù)有_3. 兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏三局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有_種4. 用5種不同的顏色給圖中所給出的四個(gè)區(qū)域涂色，每個(gè)區(qū)域涂一種顏色若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有多少種不同的涂色方法有 種13245. 某班有30名男生，20名女生，現(xiàn)要從中選出5人組成一個(gè)宣傳小組，其中男、女學(xué)生均不少于2人的選法為_(只列式，不計(jì)算)6. A1，2，

2、3，4，5，6，7，8，9，則含有五個(gè)元素，且其中至少有兩個(gè)偶數(shù)的子集個(gè)數(shù)為_7. 現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能都是同一種顏色，且紅色卡片至多1張不同取法的種數(shù)為_8. 6個(gè)人坐在一排10個(gè)座位上問：(1) 空位不相鄰的坐法有多少種？(2) 4個(gè)空位只有3個(gè)相鄰的坐法有多少種？(3) 4個(gè)空位至多有2個(gè)相鄰的坐法有多少種？8.4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).(1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？1、580 2、64 3、20 4、250

3、5、CCCC 6、105 7、4728、解：6個(gè)人排有A種，6人排好后包括兩端共有7個(gè)“間隔”可以插入空位(1) 空位不相鄰相當(dāng)于將4個(gè)空位安插在上述7個(gè)“間隔”中，有C35種插法，故空位不相鄰的坐法有AC252 00種(2) 將相鄰的3個(gè)空位當(dāng)作一個(gè)元素，另一空位當(dāng)作另一個(gè)元素，往7個(gè)“間隔”里插有A種插法，故4個(gè)空位中只有3個(gè)相鄰的坐法有AA302 40種(3) 4個(gè)空位至少有2個(gè)相鄰的情況有三類： 4個(gè)空位各不相鄰有C種坐法； 4個(gè)空位2個(gè)相鄰，另有2個(gè)不相鄰有CC種坐法； 4個(gè)空位分兩組，每組都有2個(gè)相鄰，有C種坐法綜合上述，應(yīng)有A(CCCC)115 920種坐法9、解(1)為保證“恰

4、有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”，即把4個(gè)球分成2,1,1的三組，然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步計(jì)數(shù)原理，共有CCCA144種放法.(2)“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.(3)確定2個(gè)空盒有C種方法.4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有C種方法.故

5、共有C(CCAC)84種放法.高三理科午練（6）1.二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是_.2.在的展開式中，x的有理項(xiàng)共有_項(xiàng)3若在(x1)4(ax1)的展開式中，x4的系數(shù)為15，則a的值為_4若將函數(shù)f(x)x5表示為f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5為實(shí)數(shù)，則a3_.5若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(1x)2an(1x)n，則a0a1a2(1)nan_.6設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m_.7已知(1x)n的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相

6、等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為_8若()n展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求：(1)展開式中所有x的有理項(xiàng)；(2)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)9已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.1、-84 2、四 3、4 4、10 5、(3n1) 6、6 7、298、解易求得展開式前三項(xiàng)的系數(shù)為1，C，C.據(jù)題意得2C1Cn8.(1)設(shè)展開式中的有理項(xiàng)為Tr1，由r為4的倍數(shù)，又0r8，r0,4,8.故有理項(xiàng)為 (2)設(shè)展開式中Tr1項(xiàng)的系數(shù)最大，則：()rC()r1C且()rC()r1Cr2或r3.故展

7、開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為 9、解令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)方法一(12x)7展開式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.方法二|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.高三理科午練（7）1隨機(jī)變量X的概率

8、分布規(guī)律為P(Xn)(n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則P(X)的值為_2袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設(shè)得分為隨機(jī)變量，則P(6)_.3. 某一批花生種子，若每1粒發(fā)芽的概率為，則播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率為_.4袋中有3紅5黑8個(gè)大小形狀相同的小球，從中依次摸出兩個(gè)小球，則在第一次摸得紅球的條件下，第二次仍是紅球的概率為_5.如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連結(jié)成一個(gè)系統(tǒng)當(dāng)K正常工作且A1，A2至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9,0.8，0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為_6甲射擊命中目標(biāo)

9、的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為_7. 袋中有大小、質(zhì)地均相同的4個(gè)紅球與2個(gè)白球若從中有放回地依次取出一個(gè)球，記6次取球中取出紅球的次數(shù)為，則的期望E()_.8某人向一目標(biāo)射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為，該目標(biāo)分為3個(gè)不同的部分，第一、二、三部分面積之比為136，擊中目標(biāo)時(shí)，擊中任何一部分的概率與其面積成正比(1)設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的概率分布；(2)若目標(biāo)被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊中1次或第二部分被擊中2次”，求P(A)9. 一個(gè)袋中裝有8個(gè)大小質(zhì)地相同的球，其中4個(gè)紅球、4個(gè)白球，現(xiàn)從中任意取出四個(gè)球，設(shè)

10、為取得紅球的個(gè)數(shù)（1）求的分布列；（2）若摸出4個(gè)都是紅球記5分，摸出3個(gè)紅球記4分，否則記2分求得分的期望1、 2、 3、 4、 5、0.864 6、 7、48、解(1)依題意知XB(4，)，P(X0)C()0(1)4，P(X1)C()1(1)3，P(X2)C()2(1)2，P(X3)C()3(1)1，P(X4)C()4(1)0.X的概率分布為X01234P(2)設(shè)Ai表示事件“第一次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i1,2.Bi表示事件“第二次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中第i部分”，i1,2.依題意知P(A1)P(B1)0.1，P(A2)P(B2)0.3，AA111B1A1B1A2B2，所求的概率為P(A

11、)P(A11)P(1B1)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(1)P(1)P(B1)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)0.10.90.90.10.10.10.30.30.28.高三理科午練（8）1.設(shè)點(diǎn)C(2a1，a1,2)在點(diǎn)P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)確定的平面上，則a_.2.已知平面內(nèi)有一點(diǎn)M(1，1,2)，平面的一個(gè)法向量為n(6，3,6)，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是_.P(2,3,3) P(2,0,1)P(4,4,0) P(3，3,4)3.如圖，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為

12、_.4.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是_.5.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1M與DN所成的角的大小是_.6.已知向量m，n分別是直線l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，則l與所成的角為_.7.如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為2，則AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為_.8.直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，則BM與AN所成角的余弦值為_.9.如圖，在四棱錐PAB

13、CD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).(1)證明：BEDC；(2)求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；(3)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BFAC，求二面角FABP的余弦值.10.如圖，在四棱錐PABCD中，已知PA平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，ABCBAD，PAAD2，ABBC1.(1)求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；(2)點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí)，求線段BQ的長.1、16 2、 3、(，1) 4、90 5、90 6、30 7、 8、9、 (1)證明依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖

14、，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).1分由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(1,1,1).(0,1,1)，(2,0,0)，故0，所以BEDC.2分(2)解(1,2,0)，(1,0，2).設(shè)n(x，y，z)為平面PBD的法向量，則即不妨令y1，4分可得n(2,1,1)為平面PBD的一個(gè)法向量.于是有cosn，所以，直線BE與平面PBD所成角的正弦值為.6分(3)解(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0).由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)，01，故(12，22，2).由BFAC，得0，因此，2(12)2(22)0，解得，即(，).9分設(shè)n1(x，y，z)為平面FAB的法向量，則即不妨令z1，可得n1(0，3,1)為平面FAB的一個(gè)法向量.取平面ABP的法向量n2(0,1,0)，則cosn1，n2.易知，二面角FABP是銳角，所以其余弦值為.14分解分別以，為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2).(1)因?yàn)锳D平面PAB，所以是平面PAB的一個(gè)法向量，(0,2,0).因?yàn)?1,1，2)，(0,2，2).設(shè)平面PCD