1.1 集合的概念（解析版）[1]

1、2020-2021學年高一數學同步題型學案（新教材人教版必修第一冊）第一章 集合與常用的邏輯用語11集合的概念 【課程標準】1.通過實例,了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關系.2.針對具體問題,能在自然語言和圖形語言的基礎上,用符號語言刻畫集合【本節(jié)知識點】知識點一元素與集合的相關概念(1)元素：一般地,把研究對象統(tǒng)稱為元素,通常用小寫拉丁字母a,b,c,表示(2)集合：把一些元素組成的總體叫做集合,簡稱為,通常用大寫拉丁字母A,B,C,表示(3)集合相等：組成兩個集合的元素是一樣的(4)集合中元素的特性：確定性、互異性和無序性知識點二元素與集合的關系及常用數集(1)如果a是集合A的元素,

2、就說a屬于集合A,記作aA；如果a不是集合A中的元素,就說a不屬于集合A,記作aA.(2)數學中一些常用的數集及其記法名稱自然數集正整數集整數集有理數集實數集符號NN*或NZQR知識點三列舉法把集合的所有元素一一列舉出來,并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法. 知識點四描述法一般地,設A是一個集合,我們把集合A中所有具有配合特征P(x)的元素x所組成的集合表示為xA|P(x),這種表示集合的方法稱為描述法【題型分類】題型一集合與元素的含義題型要點點撥：集合的三個特性描述性“集合”是一個原始的不加定義的概念,它同平面幾何中的“點”“線”“面”等概念一樣都只是描述性的說明整體性集合是一個整

3、體,暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對象一旦組成了集合,這個集合就是這些對象的總體廣泛性組成集合的對象可以是數、點、圖形、多項式、方程,也可以是人或物等【例1】下列對象能組成集合的是()A的所有近似值B某個班級中學習好的所有同學C2020年全國高考數學試卷中所有難題D屠呦呦實驗室的全體工作人員【參考答案】D【解析】D中的對象都是確定的,而且是不同的A中的“近似值”,B中的“學習好”,C中的“難題”標準不明確,不滿足確定性,因此A、B、C都不能組成集合【方法技巧】判定一組對象能否組成一個集合,關鍵要看是否有一個明確的客觀標準來界定這些對象若界定對象的客觀標準是明確的,則這些對象就能組

4、成集合,否則不能組成集合【易錯提醒】不是所有的對象都能組成集合,只有具有明確標準可以判定是否在集合內的對象才能組成集合【同類練習】1下列所給的對象不能組成集合的是()A我國古代的四大發(fā)明B二元一次方程xy1的解C某班年齡較小的同學D平面內到定點距離等于定長的點【參考答案】C【解析】C項中“年齡較小的同學”的標準不明確,不符合確定性,故選C.2.現有以下說法：高二(1)班較胖的同學組成一個集合；正方體的全體組成一個集合；未來世界的高科技產品組成一個集合；不大于3的所有自然數組成一個集合其中正確的是()ABC D【參考答案】D【解析】：在中,高二(1)班較胖的同學不能組成一個集合,故錯誤；在中,正

5、方體的全體能組成一個集合,故正確；在中,未來世界的高科技產品不能組成一個集合,故錯誤；在中,不大于3的所有自然數能組成一個集合,故正確題型二、元素與集合的關系題型要點點撥：元素與集合的關系解讀唯一性aA與aA取決于a是不是集合A中的元素,只有屬于和不屬于兩種關系方向性符號“”“”具有方向性,左邊是元素,右邊是集合【例2】(1)下列所給關系正確的個數是()R； Q；0N*；|5|N*.A1B2C3 D4(2)集合A中的元素x滿足N,xN,則集合A中的元素為_【參考答案】(1)B(2)2,1,0【解析】(1)是實數,所以R正確；是無理數,所以Q正確；0不是正整數,所以0N*錯誤；|5|5為正整數,

6、所以|5|N*錯誤故選B.(2)由題意可得：3x可以為1,2,3,6,且x為自然數,因此x的值為2,1,0.因此A中元素有2,1,0.【方法及其】判斷元素與集合關系的兩種方法直接法(1)使用前提：集合中的元素是直接給出的(2)判斷方法：首先明確集合是由哪些元素組成,然后再判斷該元素在已知集合中是否出現即可推理法(1)使用前提：對于某些不便直接表示的集合(2)判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征,然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可【同類練習】1已知集合A中元素滿足2xa0,aR,若1A,2A,則()Aa4 Ba2C4a2 D4a2【參考答案】D【解析】：1A,2A,21a0

7、,且22a0,解得4a2.2用符號“”或“”填空(1)設集合M中的元素為平行四邊形,p表示某個矩形,q表示某個梯形,則p_M,q_M.(2)設集合D是滿足方程yx2的有序數對(x,y)的集合,則1_D,(1,1)_D.【參考答案】：(1)(2)【解析】：(1)矩形是平行四邊形,梯形不是平行四邊形,故pM,qM.(2)因為集合D中的元素是有序數對(x,y),而1是數,所以1D,(1,1)D.題型三、集合中元素特性的簡單應用題型要點點撥：集合中元素特性的意義及作用特性意義作用確定性集合中的元素是確定的,即任何一個對象都必須明確它是或不是某個集合的元素,兩者必居其一判斷涉及的總體是否組成集合互異性集

8、合中的元素必須是互異的,就是說,對于一個給定的集合,它的任意兩個元素都是不同的求集合中的參數無序性集合中元素的排列無先后順序,任意調換集合中元素的位置,集合不變判斷兩個集合的關系【例3】已知集合A含有兩個元素a3和2a1,若3A,試求實數a的值【參考答案】0或1【解析】因為3A,所以3a3或32a1.若3a3,則a0.此時集合A含有兩個元素3和1,符合要求；若32a1,則a1,此時,集合A含有兩個元素4,3,符合要求綜上所述,滿足題意的實數a的值為0或1.【方法技巧】此類問題既要討論元素的確定性,又要利用元素的互異性檢驗解的正確與否元素的確定性常被用來判斷涉及的總體是否組成集合,互異性則常被用

9、來判斷集合的表示是否正確,或用來求集合中未知的元素另外,此類問題常涉及分類討論的數學思想【例4】集合Ax|kx28x160,若集合A只有一個元素,試求實數k的值,并用列舉法表示集合A.【參考答案】見解析【解析】當k0時,原方程為168x0,x2,此時A2當k0時,若集合A中只有一個元素,則方程kx28x160有兩個相等實根即6464k0,即k1,從而x1x24,集合A4綜上所述,實數k的值為0或1.當k0時,A2；當k1時,A4【方法技巧】 對于含參問題,隨著參數值的變化,問題的解發(fā)生變化,所以這類問題往往需要分類討論.通過分類,把復雜的問題簡單化,從而蘊含著轉化的數學思想.【同類練習】1已知

10、集合A中有0,m,m23m2三個元素,且2A,則實數m為()A2B3C0或3 D0,2,3均可【參考答案】B【解析】：由2A可知：若m2,則m23m20,這與m23m20相矛盾；若m23m22,則m0或m3,當m0時,與m0相矛盾,當m3時,此時集合A中含有3個元素0,2,3,故選B.2由實數x,x,|x|,及所組成的集合,最多含有()A2個元素 B3個元素C4個元素 D5個元素【參考答案】A【解析】：法一：因為|x|x,|x|,x,所以不論x取何值,最多只能寫成兩種形式：x,x,故集合中最多含有2個元素法二：令x2,則以上實數分別為：2,2,2,2,2,由元素互異性知集合最多含有2個元素3設

11、集合A中有兩個元素x,y,B中有兩個元素0,x2,若A,B相等,則實數x的值為_,y的值為_【參考答案】：10【解析】：因為集合A,B相等,所以x0或y0.當x0時,x20,則B中有兩個元素0,不滿足集合中元素的互異性,故舍去；當y0時,xx2,解得x0或x1,由知x0應舍去,故x1.綜上可知,x1,y0.題型四、列舉法表示集合 題型要點點撥：列舉法表示集合的種類(1)元素個數少且有限時,如1,2,3,4(2)元素個數多且有限時,可以列舉部分,中間用省略號表示如“從1到100的所有自然數”可以表示為1,2,3,4,100(3)元素個數無限但有規(guī)律時,也可以類似地用省略號列舉如“所有的正偶數”可

12、以表示為2,4,6,8,【例5】用列舉法表示下列給定的集合：(1)不大于10的非負偶數組成的集合A；(2)小于8的質數組成的集合B；(3)方程x22x30的實數根組成的集合C；(4)方程組的解集D.【參考答案】見解析【解析】(1)不大于10的非負偶數有0,2,4,6,8,10,所以A0,2,4,6,8,10(2)小于8的質數有2,3,5,7,所以B2,3,5,7(3)方程x22x30的實數根為1,3,所以C1,3(4)方程組的解為所以方程組的解集D(3,1)【方法技巧】列舉法表示集合的步驟及注意點分清元素列舉法表示集合,要分清是數集還是點集書寫集合列元素時要做到不重復、不遺漏【易錯提醒】二元方

13、程組的解集,函數的圖象、點形成的集合都是點的集合,一定要寫成實數對的形式,元素與元素之間用“,”隔開如(2,3),(5,1)【同類練習】用列舉法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全體；(2)大于3.1小于12.8的整數的全體；(3)方程|y1|0的解集；(4)正奇數組成的集合【參考答案】見解析【解析】：(1)1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月(2)4,5,6,7,8,9,10,11,12(3)由方程|y1|0可知,即從而方程的解集用列舉法表示為(2,1)(4)正奇數組成的集合可用列舉法表示為1,3,5,7,題型五、描述法表示集合題型要點點撥：描述法表示集合的幾點注意(1)用描

14、述法表示集合,應先弄清楚集合的屬性,是數集、點集還是其他的類型一般地,數集用一個字母代表其元素,而點集則用一個有序數對來表示其元素(2)用描述法表示集合時,若描述部分出現元素記號以外的字母,需對新字母說明其含義或取值范圍(3)多層描述時,應當準確使用“且”和“或”,所有描述的內容都要寫在集合內【例6】用描述法表示下列集合：(1)不等式2x31的解組成的集合A；(2)被3除余2的正整數的集合B；(3)C2,4,6,8,10；(4)平面直角坐標系中第二象限內的點組成的集合D.【參考答案】見解析【解析】(1)不等式2x31的解組成的集合為A,則集合A中的元素是數,設代表元素為x,則x滿足2x31,則

15、Ax|2x31,即Ax|x2(2)設被3除余2的數為x,則x3n2,nZ.但元素為正整數,故x3n2,nN.所以被3除余2的正整數的集合Bx|x3n2,nN(3)設偶數為x,則x2n,nZ.但元素是2,4,6,8,10,所以x2n,n5,nN*.所以Cx|x2n,n5,nN*(4)平面直角坐標系中第二象限內的點的橫坐標為負,縱坐標為正,即x0,y0,故第二象限內的點的集合為D(x,y)|x0,y0【方法技巧】描述法表示集合的步驟(1)確定集合中元素的特征；(2)給出其滿足的性質；(3)根據描述法的形式寫出其滿足的集合【同類練習】1已知集合My|yx2,用自然語言描述M應為()A函數yx2的值域

16、B函數yx2的定義域C函數yx2的圖象上的點組成的集合D以上說法都不對【參考答案】A【解析】：由于集合My|yx2的代表元素是y,而y為函數yx2的函數值,則M為yx2的值域故A正確函數yx2的定義域是x|yx2,故B錯誤函數yx2的圖象上的點組成的集合是(x,y)|yx2,故C錯誤由于A對,故D錯誤故選A.2用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的實數的集合；(2)直線y2x3上所有點的集合；(3)正奇數集【參考答案】見解析【解析】：(1)比1大又比10小的實數有無數個,故用描述法表示為xR|1x10(2)集合的代表元素是點,用描述法可表示為(x,y)|y2x3(3)奇數可用式子x2n

17、1,nZ表示,但此題要求為正奇數,故nN,所以正奇數集可表示為x|x2n1,nN題型六、集合表示的綜合問題【例7】(2019-2020學年銅仁思南中學高一期中)已知集合M1,0,1,Nx|xab,a,bM,ab,則集合N中所有元素之和為()A1 B0C1 D2【參考答案】A【解析】集合M1,0,1,Nx|xab,a,bM,ab1,0,集合N中所有元素之和為1.【例8】用適當的方法表示下列集合：絕對值小于5的全體實數組成的集合；所有正方形組成的集合；除以3余1的所有整數組成的集合；組成英文單詞mathematics的全體字母【參考答案】見解析【解析】絕對值小于5的全體實數組成的集合可表示為x|x

18、|5所有正方形組成的集合可表示為正方形除以3余1的所有整數組成的集合可表示為a|a3x1,xZ組成英文單詞mathematics的全體字母可表示為m,a,t,h,e,i,c,s【題后反思】選用列舉法或描述法表示集合的原則要根據集合元素所具有的屬性選擇適當的表示方法列舉法的特點是能清楚地展現集合的元素,通常用于表示元素個數較少的集合,當集合中元素較多或無限時,就不宜采用列舉法；描述法的特點是形式簡單、應用方便,通常用于表示元素具有明顯配合特征的集合,當元素配合特征不易尋找或元素的限制條件較多時,就不宜采用描述法【同類練習】1集合Ay|yx21,集合B(x,y)|yx21(A,B中xR,yR)選項

19、中元素與集合的關系都正確的是()A2A,且2BB(1,2)A,且(1,2)BC2A,且(3,10)BD(3,10)A,且2B【參考答案】C【解析】：集合A中元素y是實數,不是點,故選項B、D不對集合B的元素(x,y)是點而不是實數,2B不正確,所以A錯2.用適當的方法表示下列集合：(1)絕對值不大于3的偶數的集合；(2)被3除余1的正整數的集合；(3)一次函數y2x3圖象上所有點的集合；(4)方程組的解集【參考答案】(1)2,0,2(2)m|m3n1,nN(3)(x,y)|y2x3(4)(0,1)【本節(jié)同步分層練習】一、夯實基礎1下列各組對象能組成集合的有()接近于1的所有正整數；小于0的實數

20、；(2 019,1)與(1,2 019)A1組B2組C3組 D0組【參考答案】B【解析】：中接近于1的所有正整數標準不明確,故不能組成集合；中“小于0”是一個明確的標準,能組成集合；中(2 019,1)與(1,2 019)是兩個不同的數對,是確定的,能組成集合2若以集合A的四個元素a,b,c,d為邊長組成一個四邊形,則這個四邊形可能是()A梯形 B平行四邊形C菱形 D矩形【參考答案】A【解析】：由于a,b,c,d四個元素互不相同,故它們組成的四邊形的四條邊都不相等3方程組的解集是()A(5,4)B(5,4)C(5,4) D(5,4)【參考答案】D【解析】：解方程組得故解集為(5,4)4集合xN

21、*|x32的另一種表示法是()A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5【參考答案】B【解析】：x32,xN*,x5,xN*,x1,2,3,4.5下列各組中集合P與Q,表示同一個集合的是()AP是由元素1,組成的集合,Q是由元素,1,|組成的集合BP是由組成的集合,Q是由3.141 59組成的集合CP是由2,3組成的集合,Q是由有序數對(2,3)組成的集合DP是滿足不等式1x1的自然數組成的集合,Q是方程x21的解集【參考答案】A【解析】：由于A中P,Q元素完全相同,所以P與Q表示同一個集合,而B、C、D中元素不相同,所以P與Q不能表示同一個集合故選A

22、.6已知集合A中的元素x滿足x1,3A.又3143【解析】：因為3A,所以3是不等式xa0的解,所以3a3.6含有三個實數的集合A中有a2,a三個元素,若0A且1A,則a2 019b2 019_.【參考答案】：1【解析】：由0A,“0不能做分母”可知a0,故a20,所以0,即b0.又1A,可知a21或a1.當a1時,得a21,由集合元素的互異性,知a1不合題意當a21時,得a1或a1(由集合元素的互異性,舍去)故a1,b0,所以a2 019b2 019的值為1.7.設5x|x2ax50,則集合x|x2ax30_.【參考答案】：1,3【解析】：由題意知,5是方程x2ax50的一個根,所以(5)2

23、5a50,得a4,則方程x2ax30,即x24x30,解得x1或x3,所以x|x24x301,38.已知集合A中的元素均為整數,對于kA,如果k1A且k1A,那么稱k是A的一個“孤立元”給定集合S1,2,3,4,5,6,7,8,由S中的3個元素組成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有_個【參考答案】：6【解析】：依題意可知,所謂不含“孤立元”的集合就是集合中的3個元素必須是3個相鄰的正整數,故所求的集合為1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共6個9已知集合A含有兩個元素1和2,集合B表示方程x2axb0的解組成的集合,且集合A與集合B相等,求ab的值【參考

24、答案】1【解析】：因為集合A與集合B相等,且1A,2A,所以1B,2B,即1,2是方程x2axb0的兩個實數根所以所以故ab1.10.集合A中共有3個元素4,2a1,a2,集合B中也共有3個元素9,a5,1a,現知9A且集合B中再沒有其他元素屬于A,根據上述條件求出實數a的值【參考答案】見解析【解析】：9A,2a19或a29,若2a19,則a5,此時A中的元素為4,9,25；B中的元素為9,0,4,顯然4A且4B,與已知矛盾,故舍去若a29,則a3,當a3時,A中的元素為4,5,9；B中的元素為9,2,2,B中有兩個2,與集合中元素的互異性矛盾,故舍去當a3時,A中的元素為4,7,9；B中的元素為9,8,4,符合題