高中數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)——數(shù)形結(jié)合思想

1、思想方法專題數(shù)形結(jié)合思想【思想方法詮釋】一、數(shù)形結(jié)合的思想所謂的數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何意義，使數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合” ，尋找解題思路使問題得到解決，數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)兩方面思考問題，拓寬 了解題思路，是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可

2、以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.二、數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：1 .構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；2 .構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；3 .構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；4 .構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；5 .構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；6 .構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；7 .構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；8 .研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等。三、數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常見方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮奇特功效，具體操作時，應(yīng)注意以下幾點：1 .準(zhǔn)確畫出函

3、數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；2 .用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖）然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解。四、在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：1 .要清楚一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；2 .要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；3 .要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；4 .精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，以便于問題求解【核心要點突破】要點考向1:利用數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)式的幾何意義解題例1:

4、實系數(shù)一元二次方程 x2+ax+2b=0有兩個根，一個根在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求:(1)點(a,b )對應(yīng)的區(qū)域的面積；r (2)也i的取值范圍；(3) (a-1) 2+(b-2) 2的值域.思路精析：列出a,b滿足的條件一畫出點 范圍一根據(jù)(a-1) 2+(b-2) 2的幾何意義求值域.(a,b)對應(yīng)的區(qū)域一求面積一根據(jù)1的幾何意義求解析：方程x2+ax+2b=0的兩根在區(qū)間(0,1)和(1,2)上的幾何意義分別是：函數(shù)y=f(x)= x2+ax+2b與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)分別在區(qū)間( 0, 1)和(1, 2)內(nèi),由此可得不等式組a j f+2=0,解得a (

5、-3 , 1).由,解得c (-10).，在如圖所示的aob坐標(biāo)平面內(nèi)，滿足條件的點(a,b)對應(yīng)的平面區(qū)域為 abc(不包括邊界).(1) abc的面積為? (h為a到oa軸的距離).幾何意義是點(a,b)和點d(1,2)邊線的斜率.,2-1 i l 2m由圖可知= i書一彳*匕iti一丁一-1.即-j).1 a_1 a _ 1 i(3) (a-1) 2+(b-2) 2表示的區(qū)域內(nèi)的點(a,b)與定點(1,2)之間距離的平方,a (a-i)-+ct -2)-e (k j7) .注：如果等式、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，就要考慮用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解題, 即所謂的幾何法求解，比較常見的

6、對應(yīng)有:(1)(2);n) + (力一加 ( di b) j 加之間的距離;(3)。力”為直角三角形的三邊;(4)/( a- g= b g j* 皿)圖象的對稱軸為x= 2.只要具有一定的觀察能力,連線的斜率;再掌握常見的數(shù)與形的對應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.要點考向2:用數(shù)形結(jié)合求方程根的個數(shù)，解決與不等式有關(guān)的問題例2:(1)已知：函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：f(x+1)=f(x-1); 當(dāng)xc-1,1時，f(x)=x 2,則方程 f(x)=lgx解的個數(shù)是(a)5(b)7(c)9(d)10(2)設(shè)有函數(shù)f(x)=a+；3c和 g(x)=，已知 x -4,0時，恒有 f

7、(x) wg(x),求實數(shù)a的范圍.思路精析：(1)畫出f(x)的圖象一畫出y=lgx的圖象一數(shù)出交點個數(shù).(2) f(x) & g(x)變形為一畫出工 的圖象一畫出-1成立的位置的圖象一尋找解析：(1)選c.由題間可知，f(x)是以2為周期，值域為0, 1的函數(shù).又f(x) =lgx ,則xc (0, 10,畫出兩函數(shù)圖象，則交點個數(shù)即為解的個數(shù).由圖象可知共9個交點.變形得2為半徑的圓的上半圓;,即表示以(-2,0)為圓心,(2) f(x) wg(x)表示斜率為；，縱截距為1-a的平行直線系.設(shè)與圓相切的直線為at,其傾斜角為，則有一 u 11、- 一1位tan = ,4. 2c i h-

8、 -7)sle1q _i 八4 i n 輯a事yv t (01要使f(x) wg(x)在x -4,0時恒成立，則成立所表示的直線應(yīng)在直線at的上方或與它重合，故有 1-a 6, a -5 .注：(1)用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解 的個數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個熟悉函數(shù)的表達(dá)式 (不熟悉時，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)的圖象，圖象的交點個數(shù)即為方程解的個數(shù).(2)解不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(或多個) 函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位

9、置關(guān)系轉(zhuǎn)化數(shù)量關(guān)系來解決不等式的解的問題，往往可以避免 繁瑣的運(yùn)算，獲得簡捷的解答.(3)函數(shù)的單調(diào)性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的升、降；奇偶性經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的對稱性；最值(值 域)經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)圖象的最高、最低點的縱坐標(biāo).要點考向2:數(shù)形結(jié)合在解析幾何中的應(yīng)用例3:已知橢圓c的中心在原點，一個焦點f(0,且長軸長與短軸長的比是j2：1 .(i )求橢圓c的方程；(n)若橢圓c在第一象限的一點 p的橫坐標(biāo)為1,過點p作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同的直線pa,pb分別交橢圓c于另外兩點a, b,求證：直線 ab的斜率為定值；(出)求 pab面積的最大值.22當(dāng)1(a b 0)解析：()設(shè)橢圓c的方程為a b.2.

10、 22a b c ,a: b .2:1,c 2.八由題息 2分所以橢圓c的方程為(n)由題意知，兩直線pa,pb的斜率必存在，設(shè)pb的斜率為k ,則pb的直線方程為y ，2 k(x 1),2 k(x1),1.(2 k2 *)x2 2k( .2 k)x ( , 2 k)20 6 分1k2 272k 2設(shè) a(xa, ya) , b(xb,yb),則 b b 2 k2k2 2,2k 2同理可得2 k24、, 2k8kr ya y k(xa 1) k(xb 1) 2 k2 kya所以直線ab的斜率(出)設(shè)ab的直線方程為y j2x m.m,1.,2得4x此時(2 .2m)2xaxb16(m2一 2m

11、p到ab的距離為s pab則abd4) 0,得m2 810分ab(xa xb)2 (ya yb)21m2( m2 8)1213分所以pab面積的最大值為j2.注：1.數(shù)形結(jié)合思想中一個非常重要的方面是以數(shù)輔形，通過方程等代數(shù)的方法來研究幾何問題，也就是解析法，解析法與幾何法結(jié)合來解題，會有更大的功效.2.此類題目的求解要結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì)，將條件信息或結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，即方程（組）或不等式（組），從而將問題解決.要點考向2:數(shù)形結(jié)合在立體幾何中的應(yīng)用例4：如圖1,在直角梯形abcd中，adc 90,cd/ab,ab 4，ad cd 2, m為線段ab的中點.

12、將adc沿ac折起，使平面adc平面abc,得到幾何體d abc,如圖2所示.（i）求證：bc平面acd ；（n）求二面角a cd m的余弦值.解析：（i）在圖1中，可得acbc 2衣，從而 ac2 bc2 ab2,故 ac bc取ac中點。連結(jié)do,則doac,又面 adc 面 abc ,面 adc i 面 abc ac , do面acd ,從而od 平面abc .od bc,.又 acbc aci od o,：,bc平面acd.（h）建立空間直角坐標(biāo)系o xyz如圖所示,則 m (0,72,0) , c( 72,0,0) , d(0,0,我)uuuu cm( x2, . 2,0) cd(

13、.2,0, , 2)ur設(shè)口（x,y,z）為面cdm的法向量，ur n1 ur則n1uuuu cm uur cd即ur2x . 2yj2x 2z0,解得1，可得(1,1,1)uu又n2（0,1,0）為面acd的一個法向量，ur uu cos n1, r2ur uum 11n21二面角a cd m的余弦值為3 .注：1.應(yīng)用空間向量可以解決的常見問題有空間角中的異面直線所成的角、線面角、二面角;位置關(guān)系中的平行、垂直及點的空間位置.其一般思路是：盡量建立空間直角坐標(biāo)系，將要證、要 求的問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.結(jié)合該類圖形的幾何性質(zhì),2 .立體幾何問題的求解往往將題目所給信息先轉(zhuǎn)換成幾何圖形性質(zhì),將條

14、件信息和結(jié)論信息結(jié)合在一起，觀察圖形特征，為代數(shù)法求解找到突破口.【跟蹤模擬訓(xùn)練】一、選擇題（每小題 6分，共36分）1 .方程lgx=sinx的根的個數(shù)（）(a)1 個(b)2 個(c)3 個(d)4 個2 .已知全集u=r集合a=x|x2-3x-103,則右圖中陰影部分表示的集合為（）a. (3,5) b.(-2,+) c . (-2,5)d. (5,+3.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知平面區(qū)域a=(x,y)|x+yw 1,且 x 0,y 0,則平面區(qū)域b=(x+y,x-y)|(x,y) a的面積為（(a)2(b)1(c)(d)4.函數(shù)f(x)bx2cxd圖象如圖,則函數(shù)3 bxc-的單調(diào)

15、遞增區(qū)間為（3a.2b.2,35.不等式組2a有解,則實數(shù)a的取值范圍是（)dea. ( 1,3)b. (, 1)u(3,)c. ( 3,1)d. (, 3)u(1,)6.已知f(x)是定義在(-3 , 3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0x3時，f(x)的圖象如圖所示)那么不等式f(x) cosx0(c)(-3i-du(0j)u0則使a b成立的實數(shù) m的取值范圍是三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)10.如圖，已知四棱錐 p abcd的底面是正方形,pa,底面 abcd,且 pa ad 2 ,點 m、n分別在側(cè)棱pd、pc上，且pm md(i)求證:am，平面 pcd ；uur p

16、n ()若1 ulirnc2,求平面amn與平面pab的所成銳.面角的大小11.如圖，l1l2是通過某市開發(fā)區(qū)中心 0的兩條南北和東西走向的道路，連接n兩地的鐵路2 km、4km ,是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線l1對稱. m到l1、l2的距離分別是n至ij l1、l2的距離分別是 3 km、9 kin .flf(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線弧mn的方程；(n)該市擬在點 0的正北方向建設(shè)一座工廠，考慮到環(huán)境問題，要求.廠址到點0的距離大于5km而不超過8km,并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于76km.求 此廠離點0的最近距離.(注：工廠視為一個點)12.已知函數(shù) f(x)=-

17、x 2+8x,g(x)=6lnx+m.求f(x)在區(qū)間t,t+1 上的最大值 h(t);(2)是否存在實數(shù) m,使彳導(dǎo)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出 m 的取值范圍；若不存在，說明理由 .參考答案3.與y=sinx的圖象，如圖.其交點數(shù)為3.i u=工十y【解析】選民令由此i v= ar y 1/-= i 可得 go.所以 u!j jc y*x y)(工=(小 i tfc u+ u- .作出不等式組表示的平面區(qū)域b,如圖所示，根據(jù)圖形可知該區(qū)域為等腰直角三角形，可求出面積,所以平面區(qū)域 b的面積為1.s=- x 2x 1 = i4 .答案：d5 .答

18、案：a6【解析】選b.根據(jù)對稱性畫出f(x 在(-3,0), (0,3) 上函數(shù)值的正負(fù)，(易知不等式f(x)cosx0 的解集是f(x-2): 4 y7【解析】由題意知1廿。上的點及原點的直線斜率，作圖如下：二岳3 又又.井0二月一色(nufo 昌.)在(-3,0 )上的圖象如圖， 結(jié)合y=cosx尸|-,-l)uc0.du,習(xí) i=i、幾皿 4322，設(shè)工，則k為過圓(x-2) +y =17t-11一冬0)5。, 二”由對稱性，可得答案：3答案:8.【解析】令f(x)=x 2-4|x|+5=(|x|-2)2+1,其圖象如圖.畫直線y=m,由圖象知當(dāng)1m0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點的集合,要使18

19、,則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含(如圖，),即直線x+y+m=0應(yīng)與圓相切或相離(在圓的下方)，而當(dāng)直線與圓相切時有m + i.4 r3 支 m 3 j. j2 i，i |故m的取值范圍是-1 -1.答案：m-110.解：（i）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系a xyz,又pa=ad=2 則有 p (0, 0, 2), d (0, 2, 0)m (0,1,1),c(2,2,0).uurpcuuuu(2,2, 2). am (0,1,1)3 分(i)uuuir uulr q am gdduuur uuir0, am gpc 0 am cd, am pc又 pc i cd c,am 平面pcduuirn(x

20、, y, z),q pn (n)設(shè)同理可得y23,z4.3即得1 uu.rnc, x2 則有2 2 4n(3,3,3).10 2(2 x),uuruurpc an由0, pc an.uuir平面amn的法向量為pc（2,2，2）.而平面pab的法向量可為uurad(0,2,0),uur unr cos pc, aduur uurpc aduuruurpc ad故所求平面amnw pab所成銳二面角的大小為,3 arccos312分11.解析：（1）分別以l1、l2為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則m (24), n (3,9)4 4a c2設(shè)mn所在拋物線的方程為y ax c ,則有

21、9 9a c ,解得c2（說明:所求方程為y x (2wxw3)22分)若建系后直接射拋物線方程為x 2py（p 0）,代入一個點坐標(biāo)求對方程，本問扣2(2)設(shè)拋物線弧上任意一點p (x, x)(2wxw3)2221廠址為點a (0, t) (5t07 分2令 u x , 2w x w3, 4w u w92 2，對于任意的u 4,9,不等式u (1 2t)u (t 6) 0恒成立(*)8分1 2t 159設(shè) f(u) u2 (1 2t)u (t2 6), . 5 t8., 2 2 2要使(*)恒成立，需0,即(2t 1)4(t6) 4 , t的最小值為4所以，該廠距離點 o的最近距離為6.25

22、km12.【解析】(1) f(x)=-x 2+8x=-(x-4) 2+16.圖當(dāng)t+14即t4時，f(x)在t,t+1 上單調(diào)遞減(如圖)，h(t)=f(t)=-t2+8t.fflraf i 1- 6/ - 7 ：二三 擦上、風(fēng)1(1i -rqxi r (2)函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)()(x)=g(x)-f(x) 的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點.j (x)=x 2-8x+6lnx+m,。、7 電a2h二8工6一年1r1 1直 8 1m5當(dāng) x c (0,1)時 4 (x)0, 4 (x)是增函數(shù);當(dāng) x c (1,3)時，4 (x)0

23、, 4 (x)是增函數(shù);當(dāng) x=1 或 x=3 時，4 ( x) =0.1- 4 (x)極大值=4 (1) =m-7, 4 (x)極小值=4 (3) =m+6ln3-15.當(dāng)x充分接近0時，4 ( x) 0,.，.要使4 (x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，1 以 j ) + rft m 7，i 城外小.=e + (hn3 jo* .1 即 7vm ；x-id1 【解析】選仁桑舍m的長度為1 .集合n的長度為1當(dāng)m=o,n=時.集合man的長度超小為:十告一i13小川w . a( )/(c)cj mby /( r)n ti i2 11和函數(shù)1耳)1邢(小卜3凡日b 噌,一的大小關(guān)系是【解

24、析i選el p r) = inn h+ i，的 困總?cè)缋?包包.?？沙?6 c著作是點(小fg . i h“ _ i卜1 1 (c.fi c)與點(0川)連線的斜率.以山/() a h e -士如圖.fi fil卜 分別最幃imt1.- 2 = 6oi的兩個但 b點.a和b是聯(lián)o為一心以 ?？跒槠綍膱A與該肺網(wǎng)的兩個交點，且eab是等邊 jzj(b)ito八u i【解析】選1上依眶點如nf： aff)0zaf fi ?.alafj=4l fi f i = c.iaf-i- 曲捕圓定義群/ af j十i af： i = 2公* c 73 i 1) c- 2&r e- - = /it l a4 .

25、已知函數(shù)f(x)=|x 2+2x,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0 有7個不同的實數(shù)根，則 b, c的大小 關(guān)系是()(a)bc (b)b c或bwc中至少有一個正確(c)bc (d)不能確定【解析】選c.f(x)=|x 2+2x|的圖象如圖.要使關(guān)于x的方程f 2(x)+bf(x)+c=0 有7個不同的實數(shù)根，則關(guān)于f(x)的一元二次方程f2(x)+bf(x)+c=0有兩個不同的根.且一個根在(0,1 )內(nèi)，另一個根為1.則有(bc.5 .若直線y=kx-1與曲線丫=-4一工一一*-三有公共點，則k的取值范圍是 的定義域為1,3,且其圖象為圓(x-2) 2+y2=1的下半圓，如【解析】二.曲線丫=7- - 4氏-3圖所示，則直線y=kx-1要與曲線有公共點，則直線只能處于l 1,1 2之間，且可與11、12重合，則k的取值范圍是0, 1.答案：0, 16 .已知有向線段pq的起點p與終點q的坐標(biāo)分別為p(-1,1),q (2,2).若直線1 :x+my+m=0與有向線段pq延長線相交，求實數(shù) m的取值范圍 【解析為mn時.八丁一k與燧竟不符，30時,直線的方程