平面向量學(xué)案

1、第一課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1了解向量的實際背景，以位移、力等物理背景抽象 出向量.2 .理解向量、相等向量、共線向量、零向量的概念及 向量的表示.1. 向量的概念向量：數(shù)學(xué)中，我們把既有大小，又有方向的量叫做向量.數(shù)量：把那些只有大小，沒有方向的量，稱為數(shù)量.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段，其方向是由起點指向終點. A為起點、uuuuuuB為終點的有向線段記作 AB （如圖所示），線段AB的長度也叫做有向線段 AB的長度，記 uuu作| AB I書寫有向線段時，起點寫在終點的前面，上面標(biāo)上箭頭.有向線段的三個要素：起點、方向度.知道了有向線段的起點、方向、長度, 它的終點就唯一確定了.思考

2、1兩個向量可以比較大小嗎？提示：不能.因為向量既有大小，又有方向.2. 向量的表示法幾何表示：用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向，向量的大小就uuuuuu是向量的長度(或稱模)，如向量AB的長度記作|AB |.(2)字母表示：通常在印刷時，用黑體小寫字母a, b, c,表示向量書寫時，可寫成帶箭頭的小寫字母 a , b, C，還可以用表示向量的有向線段的起點和終點的字母表示，uuu如以A為起點，以B為終點的向量記為 AB 特別提醒(1)向量的書寫要規(guī)范，如向量a不能寫成a;uuu uuu(2)向量的起點、終點要搞清，如AB與BA的起點與終點正好相反.3. 有關(guān)概念名稱記法零同鼠-

3、fl度為g的向鼠叫做零向量0單位 向量反度等于丄個單位的向星，叫做單位 向量相等向童且方向相同的向呈叫做相零向ftn = b說明，任盤兩個相等的非零向晴，都 可用同一條有向線段來表示，并且與 肓向線段的起點無關(guān).在平面上兩 個性度相等且齊向一敷的有向線段 表示同一個向量平行 向最方向相同或相反的非零向址叫做平 行向量a J b規(guī)圭：零同星與任一向華平盯說明；任組平行向雖都可以移動到 同71線上*因此嚴(yán)行向凰也叫做 貝線向址思考2單位向量都相等嗎？提示：不一定，單位向量的模相等，都等于1,但方向不一定相同.思考3表示相等向量的有向線段一定重合嗎？提示：不一定，也可以平行，或在一條直線上.思考4共

4、線向量與相等向量有什么關(guān)系？提示：相等向量一定共線，而共線向量不一定相等.特別提醒(1)零向量表示為0,而不是數(shù)字0;零向量的方向是任意的；規(guī)定零向量與任一向量是共線向量.(2)注意向量平行，向量所在直線不一定平行，還有可能是同一條直線.第二課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解向量加法的概念及向量加法的幾何意義.2 .熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法貝U,會作已知兩向量的和向量.3.掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，會用它們進(jìn)行計算.1. 向量加法的定義求兩個向量租的運(yùn)算，叫做向量的加法.兩個向量的和仍然是一個向量.歡迎下載112. 向量加法的三角形法則uuuuuiuuuu如圖，已知非零向量 a

5、, b,在平面內(nèi)任取一點 A,作AB = a, BC = b，則向量AC叫uuu uuiu uuu做a與b的和，記作a+ b,即a+ b = AB + BC = AC .這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.3. 向量加法的平行四邊形法則如圖，以同一點 0為起點的兩個已知向量 a, b為鄰邊作?OACB，則以O(shè)為起點的對uuu角線0C就是a與b的和.這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.思考1向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：(1)兩個法則的使用條件不同.三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和.(2)當(dāng)

6、兩個向量不共線時，兩個法則是一致的.uuu uuu uuir如圖所示，AC = AB + AD （平行四邊形法則）.uuu uur uuu uuu uuu又BC = AD ,. AC = AB + BC （三角形法則）.（3）在使用三角形法則時，應(yīng)注意“首尾連接”；在使用平行四邊形法則時，應(yīng)注意范圍的限制及和向量與兩向量的起點相同.思考2向量加法的三角形法則能否推廣用來求多個向量的和？提示：能.向量加法的多邊形法則：n個向量經(jīng)過平移，順次使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合，組成一組向量折線，這n個向量的和等于從折線起點到終點的向量.這個法則叫做向量加法的多邊形法則.多邊形法則的實質(zhì)是三角

7、形法則的連續(xù)應(yīng)用.4. 向量加法的運(yùn)算律交換律a+ b = b+ a結(jié)合律(a+ b)+ c= a+ (b + c)思考3零向量與其他向量的加法運(yùn)算是怎樣規(guī)定的？提示：對于零向量與任一向量a,規(guī)定：a + 0= 0 + a= a.思考4|a|b|, |a+ b|, |a|+ |b|之間的大小關(guān)系是怎樣的?提示：IB|b|w|a + b|w|a|+ |b|.當(dāng)a與b同向或a與b中至少有一個為零向量時，|a + b|= |a|+ |b|;當(dāng)a與b反向或a與b中至少有一個為零向量時，|a|b|= |a+ b|.第三課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1理解相反向量的意義；知道向量減法的定義.2 .掌握向量減法的運(yùn)算

8、及幾何意義，能作出兩 個向量的差向量1.相反向量定義如果兩個向量長度相等，而方向相反，那么稱這兩個向量是相反向量性質(zhì)對于相反向量，有a+ (- a)= 0若a, b互為相反向量，則a=- b, a + b = 0零向量的相反向量仍是零向量特別提醒 相反向量要從向量的“長度”與“方向”兩個方面去理解;(2)相反向量必為平行向量；平行向量不一定是相反向量.2. 向量的減法定義a- b= a + (- b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量作法在平面內(nèi)任取一點 0,作0A = a, OB = b,則向量a b= BA.如圖所示幾何意義如果把兩個向量a, b的起點放在一起，則 a-b可以表示

9、為從向量 b的終點指 向向量a的終點的向量uuuuounuu思考1若0A = a, OB = b，貝U AB , BA如何用a, b表示?提示：uuu uuu uuuumr uuu uuuAB = Ob OA = b a, BA = OA OB = a b.思考2若a與b是兩個不共線的向量，則|a+ b和 |a b|的幾何意義是什么？uur uuu提示：如圖所示，設(shè) OA = a, OB = b，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的uuuurn三角形法則，有0C = a+ b, BA = a b.uuuuuu四邊形OACB是平行四邊形， |a+ b|= |0C |, |a b|=|BA|分

10、別是以O(shè)A, OB為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長.思考3向量加法與減法的幾何表示的區(qū)別？提示：向量的減法是加法的逆運(yùn)算，求a+ b時，是將b的起點放在向量a的終點，然后連接向量a的起點與向量b的終點所得的向量；求 a b時，是把這兩個向量的起點放在 一起，它們的差是以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點的向量.第四課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義.2 掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，并能用已知向量表 示未知向量.3 掌握向量共線定理，會判定或證明兩個向量 共線1.向量的數(shù)乘定義一般地，實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作長度閃|=|川a|方向40X的方向

11、與a的方向相同X= 0X = 0K0X的方向與a的方向相反思考1向量數(shù)乘與原向量有什么樣的關(guān)系？提示：向量數(shù)乘與原向量是共線向量.思考2向量數(shù)乘 七的幾何意義是什么？提示：(1)當(dāng)|入1時，有|?a|a|，這意味著表示向量 a的有向線段在原方向(Q1)或反方 向(K - 1)上伸長了 |開倍.(2)當(dāng)0| ”1時，有| ?a|a|，這意味著表示向量 a的有向線段在原方向(0 X1)或反方向 (-1 ?0)上縮短了 |入倍.思考3向量的大小與方向如何？|a|a提示：向量的大小為1,方向與a的方向相同，所以該向量是向量a方向上的單位|a|向量.2. 向量數(shù)乘的運(yùn)算律向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足下列運(yùn)算律：設(shè)

12、人為實數(shù)，則(1) X 歸)=(入)!S；(2) ( X- p)a= X + 歸；(3) ?(a+ b)= X + b特別地，(一Xa= ( X) = X a), ?(a b) = Xa ?b.特別提醒向量的數(shù)乘運(yùn)算、加減運(yùn)算類似于多項式的運(yùn)算，運(yùn)算過程類似于多項式的“合并同類項”.3. 共線向量定理向量a(a豐0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)入使b= Xa.思考4共線向量定理中為何要限制0?提示：共線向量定理中，若不限制a豐0,則當(dāng)a= b = 0時，入的值不唯一，定理不成立.并 且當(dāng)0, a = 0時，入的值不存在.特別提醒(1)如果非零向量a與b不共線，且 X = Q,那么X=尸0.

13、(2) 共線向量定理可以分為兩個定理：判定定理：如果存在一個實數(shù)入滿足b = X( X R),那么a/ b.性質(zhì)定理：如果a / b,0，那么存在唯一一個實數(shù) X使得b= X4. 向量的線性運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算,對于任意向量a, b,以及任意實數(shù) 入2, 爲(wèi)，恒有 X pia （j?b）=入 i（a入 2b.第五課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.了解平面基底的含義，并能判斷基底.2 .理解并掌握平面向量基本定理，會用基底表示平 面內(nèi)的任一向量.3.掌握兩個向量夾角的疋義以及兩個向量垂直的疋 義.平面向量基本定理思考1設(shè)ei, e2是平面向量的一組基底， 則ei, e2中可能有零

14、向量嗎？平面向量的基底 唯一嗎？提示：平面向量基本定理的前提條件是ei，e2不共線，若ei， e2中有零向量，而零向量和任意向量共線，這與定理的前提矛盾，故ei，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它們不共線即可，且基底不同時，實數(shù)入，蘢的值也不相同.思考2向量的夾角與兩條直線的夾角有何區(qū)別？提示：向量的夾角a的范圍為OWaW i80，兩條直線的夾角 B的范圍是090第六課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1理解平面向量的坐標(biāo)的概念；2 .會寫出給定向量的坐標(biāo)，會作出已知坐標(biāo)表示的向量1. 平面向量的正交分解把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解.2. 平面向量的坐標(biāo)表示

15、(1)基底：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底.坐標(biāo)：對于平面內(nèi)的一個向量a,有且只有一對實數(shù)x, y,使得a= xi + yj，我們把有序?qū)崝?shù)對(x, y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a= (x, y)，其中x叫做向量a在x軸上的坐標(biāo)， y叫做向量a在y軸上的坐標(biāo).坐標(biāo)表示：a= (x, y)就叫做向量的坐標(biāo)表示.特殊向量的坐標(biāo)：i = 11,0), j =仗,0= (0.0).思考1由向量的坐標(biāo)定義知，當(dāng)且僅當(dāng)兩向量a= (xi , yi) , b =(X2, y2)滿足什么條件時相等？提示：兩向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)相等，即a = b? xi = X2

16、且yi = y2.3. 向量與坐標(biāo)的關(guān)系uuuua設(shè)OA = xi + yj,則向量OA的坐標(biāo)(x, y)就是終點A的坐標(biāo)；反過來，終點A的坐標(biāo)(x,uury)也就是向量OA的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一有序?qū)?數(shù)對唯一表示，即以原點為起點的向量與實數(shù)對是一一對應(yīng)的.思考2點的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系是什么？提示：(1)區(qū)別： 表示形式不同，向量a= (x, y)中間用等號連接，而點的坐標(biāo)A(x, y)中間沒有等號. 意義不同，點 A(x, y)的坐標(biāo)(x, y)表示點A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a = (x, y)的坐標(biāo)(x, y)既表示向量的大小，也表示向量的

17、方向，另外(x, y)既可以表示點，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點 (x, y)或向量(x, y).聯(lián)系：當(dāng)平面向量的起點在原點時，平面向量的坐標(biāo)與向量終點的坐標(biāo)相同.第七課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1理解向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算法則， 能熟練進(jìn) 行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.2 .能借助向量的坐標(biāo)，用已知向量表示其他向量.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a = （xi, yi）, b=（X2, y2）,入 R，則有下表:文字描述付號表示加法兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和a + b = (xi + x2, yi + y2)減法兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差a b = (xi x2,

18、yi y2)數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的 相應(yīng)坐標(biāo)七=（入x入y向量坐標(biāo)公式一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的 坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)已知 A(xi , yi), B(X2, y2), uuu貝V AB =(X2 xi, V2 yi)uur思考如何區(qū)別a b的坐標(biāo)運(yùn)算與 AB的坐標(biāo)運(yùn)算？uuu提示：a b的坐標(biāo)是對應(yīng)的坐標(biāo)相減，AB的坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo).歡迎下載21第八課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.2 .能用向量的坐標(biāo)表示判疋向量是否共線.證明 三點共線.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a = (xi, yi), b= (X2, y

19、2),其中 0,當(dāng)且僅當(dāng) xjyg-X2yi = 0 時，向量 a, b 共線. 思考1如果兩個非零向量共線，你能通過它們的坐標(biāo)判斷它們同向還是反向嗎？提示：當(dāng)兩個向量的對應(yīng)坐標(biāo)同號或同為零時，同向；當(dāng)兩個向量的對應(yīng)坐標(biāo)異號或同為零時，反向.例如：向量(1,2)與(-1,- 2)反向；向量(1,0)與(3,0)同向；向量(一1,2)與(-3,6)同向； 向量(-1,0)與(3,0)反向等.思考2已知a=(X1, y1), b = (x2, y2),則向量a和向量b共線條件的表示方法有哪些？ 提示：在討論向量共線時，規(guī)定零向量可以與任一向量共線，當(dāng)b工0時，a和b共線條件的表示方法有以下三種形式

20、：(1) 當(dāng)b豐0時，a = %.這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系.(2) X1 y2 - X2y1 = 0.這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點在于不需要引入?yún)?shù) “，從而減少未知數(shù)個數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點、程序化的特征.X,(3)當(dāng) X2y2 豐 0 時，一=X2=/ ,即兩個向量的對應(yīng)坐標(biāo)成比例.這種形式是較容易記憶的y2向量共線的坐標(biāo)表示，而且不易出現(xiàn)搭配錯誤.第九課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2 .掌握向量a與b的數(shù)量積公式及其投影的定義.3 .掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律.4 .會求向量的數(shù)量積、長度、夾角，會

21、用兩個向量的數(shù)量 積解決向量的垂直冋題1.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a與b，我們把數(shù)量|a|b|cos B叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）,其中B是a與b的夾角記法記作 a b, 即卩 a b= |a|b|cos B規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0投影|a|cos B（|b|cos B）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影幾何意義數(shù)量積a b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos B的乘積思考1向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是向量還是實數(shù)？如果是向量，如何確定大小和方向?如果是實數(shù)，如何確定它的符號？提示：向量的數(shù)量積是實數(shù)，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦之

22、積.當(dāng)a, b為非零向量時，由a b = |a|b|cos B, a b的符號由a與b的夾角B的余弦值來確 定.當(dāng)0 00;當(dāng)90180時，a b0，當(dāng)a與b至少有一個為零向量或B=90寸，a b = 0.思考2根據(jù)投影的定義，如何利用兩向量的數(shù)量積求向量a在向量b上的投影？提示：根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知，向量a在向量b上的投影為|a|cos B,又a b = |a|b|cos9,所以 cos 0= a，所以向量 a在向量 b上的投影為|a|cos 0= |a|x ab = ?_|a|b|a|b|b|2.運(yùn)算律交換律a b = b a結(jié)合律(?a) b= Xa b) = a (沏分配律(a +

23、 b) c = a c+ b c思考3平面向量數(shù)量積運(yùn)算適合乘法結(jié)合律嗎？提示：數(shù)量積的運(yùn)算只適合交換律、 分配律及數(shù)乘結(jié)合律， 不適合乘法結(jié)合律，即(ab)c 不一定等于a(b c),這是因為(a b)c表示一個與c共線的向量，而a(b c)表示一個與a共線的 向量，而c與a不一定共線.3.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a, b為兩個非零向量，a與b的夾角為9垂直a 丄 b? a b = 0共線同向a b = |a|b|a a = a2= |a|2, |a|= J a a反向a b= |a|b|絕對值|a b|00 0,2a b= 00=2a b00 一 ,2夾角公式a bcos 0=|a|b|思考4當(dāng)

24、兩向量的數(shù)量積為零時，這兩個向量垂直嗎？提示：不一定垂直.當(dāng)兩向量都不為零時，若數(shù)量積為零，則兩向量垂直.第十課時課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會用向量的坐標(biāo)形 式求數(shù)量積、向量的模及兩個向量的夾角.2會用兩個向量的數(shù)量積判斷它們的垂直關(guān)系平面向量數(shù)量積、模、垂直、夾角的坐標(biāo)表示設(shè)非零向量a= (xi, yi), b =(X2, y2), a與b的夾角為0,則有下表:坐標(biāo)表小數(shù)量積a b= Xix2 + yiy2模|a|=yF 或 ai2=臥土y2ULUU設(shè) Pi(xi, yi), P2(X2, y2)，則 |RP2 | =/ 2 2V XiX2yiy2垂直a丄b? a b=

25、 0? xix2 + yjy2= 0夾角a bX1X2y“2cos 0= ”一2問屆詩乜提示：不一定.當(dāng)a = (0,0)時，|a|= 0，此時,cos 0=無意義，但思考1與非零向量a同向的單位向量的坐標(biāo)如何表示？aaq提示：由于|a|= .x 由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)， 如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此，可 用向量方法解決平面幾何中的一些問題. 用向量方法解決平面幾何問題的三步曲：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系， 用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題：第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.思考平面幾何中常涉及：求線段的長度或證明線段相等；證明直線或線段垂直； y2豐0,且單位向量ao=，所以ao=(x,V|a|a|y)= xy，此為與非零向量 a = (x, y)同向的單位向量的坐標(biāo).2 2 2 2x y x y思考2對任意的向量a與b，向量夾角的坐標(biāo)公式及垂直的坐標(biāo)公式都成立嗎？夾角為0同時，a b=X1X2+ yiy2= 0,但向量a與b不垂直，而是a/ b.故向量夾角的坐標(biāo)