【教案】《利用向量法求空間角》教案

1、精品word可編輯資料- - - - - - - - - - - - -3.2.3 立體幾何中的向量方法利用空間向量求空間角教學目標1. 使同學學會求異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的向量方法；2. 使同學能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡潔的立體幾何問題；3. 使同學的分析與推理才能和空間想象才能得到提高.教學重點求解二面角的向量方法教學難點二面角的大小與兩平面法向量夾角的大小的關(guān)系教學過程一、復習引入1. 用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（ 1 ）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面， 把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（ 化為向量問題 ）（ 2 ）

2、通過向量運算，討論點、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（進行向量運算）（ 3 ）把向量的運算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義；（回到圖形）2. 向量的有關(guān)學問：第 5 頁，共 8 頁- - - - - - - - - -（ 1）兩向量數(shù)量積的定義：a b| a |b | cosa,b（ 2）兩向量夾角公式：cosa,ba b| a | b |a（ 3 ）平面的法向量：與平面垂直的向量ob二、學問講解與典例分析學問點 1 ：面直線所成的角 （范疇： 0, ）2（ 1 ）定義： 過空間任意一點 o 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a 與 b ，那么直線 a 與 b所成的銳角

3、或直角，叫做異面直線a 與 b 所成的角 .（ 2 ）用向量法求異面直線所成角設(shè)兩異面直線a、b 的方向向量分別為 a 和 b ，a問題 1 ： 當 a 與 b 的夾角不大于90 時，異面直線 a、b 所成o的角與 a 和 b 的夾角的關(guān)系？ba, b問題 2 ： a 與 b 的夾角大于 90 時，異面直線 a、b 所成的角與 a 和 b 的夾角的關(guān)系？baoa, b結(jié)論：異面直線 a、b 所成的角的余弦值為cos| cosm, n| mn |摸索： 在正方體 abcda1 b1c1d1 中，如e1與 f1 分別為a1 b1 、| m | n |zcd1f111a1e1bc1d1 的四等分點，

4、求異面直線df1 與 be1 的夾角余弦值？dy（1 ）方法總結(jié)： 幾何法；向量法cabx（2 ） cosdf1, be1與 cosdf1, e1b相等嗎？（3 ）空間向量的夾角與異面直線的夾角有什么區(qū)分？例 1 如圖，正三棱柱abca1b1c1的底面邊長為a ,側(cè)棱長為2a，求ac1 和 cb1 所成的角 .c1解法步驟： 1. 寫出異面直線的方向向量的坐標；2. 利用空間兩個向量的夾角公式求出夾角；az1b1c解：如圖建立空間直角坐標系axyz，就adbyyxa0,0,0, c13 a,21 a,22a, c31a,a,0, b1 0,a, 222axac131a,a,2 a， cb13

5、a, 1 a,2a即 cos2ac12, cb1ac1| ac1cb1| cb1 |223 a 2213a 22ac1 和 cb1所成的角為3練習 1 ：在 rtaob 中， aob=90 ，現(xiàn)將 aob 沿著平面 aob 的法向量方向平移到 a1o1b1的位置，已知 oa=ob=oo 1，取 a1b1、a1o1 的中點 d 1 、f1，求異面直線 bd1 與 af 1 所成的角的余弦值；解：以點 o 為坐標原點建立空間直角坐標系，并設(shè)oa=1 ,1就 a1,0,0， b0,1,0， f121,0,1 ， d 121,12af11 ,0,12, bd1 1 ,21 ,12101cosaf1,

6、bd1af1| af1bd1430| bd1 |531042所以，異面直線 bd1 與 af1 所成的角的余弦值為學問點 2 、直線與平面所成的角 （范疇：0, ）2摸索：設(shè)平面的法向量為 n ，就an, ban與 的關(guān)系？aabobo（圖 1）bon（圖 2）n, ba2n, ba2sin| cosn, ab|據(jù)圖分析可得：結(jié)論：例 2 、如圖， 正三棱柱abca1b1c1的底面邊長為 a ,側(cè)棱長為2a ，求ac1 和 面aa1b1b 所成角的正弦值 .分析： 直線與平面所成的角步驟：1. 求出平面的法向量2. 求出直線的方向向量3. 求以上兩個向量的夾角，銳角 其余角為所求角ac13 a

7、, 122a,2a解：如圖建立空間直角坐標系axyz，就aa10,0,2a , ab 0, a,0,ac13 a, 1 a,222 ac1設(shè)平面aa1 b1b 的法向量為 n x,y, zaz1b1naa10由2az0y0nab0ay0z0c取 x1 ，ncosac , n1,0,0ac1 n3 a 221dbyayxx1| ac1| n |3a 22ac 和 面aa bb 所成角的正弦值 1 .1練習： 正方體11abcd2a1b1c1d1 的棱長為 1 ，點 e 、 f 分別為 cd 、dd1 的中點 .求直線b1c1與平面ab1c所成的角的正弦值.za1d1b1c 1aaybdbcx學問

8、點 3 ：二面角 （范疇：0, ）方向向量法： 將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面 的方向向量 （在二面角的面內(nèi)且垂直于二面角的棱）的夾角；如圖，設(shè)二面角l的大小為，其中 abl , ab,cdbl,cd.結(jié)論：coscosab , cdab| abcd| cd |alcd例 3、如圖，甲站在水庫底面上的點a 處，乙站在水壩斜面上的點b 處.從 a ，b 到直線 （ 庫底與水壩的交線） 的距離 ac 和 bd 分別為 a 和 b ,cd 的長為 c , ab 的長為 d .求庫底與水壩所成二面角的余弦值.解：如圖 aca ，bdb ，cdc ，abd.依據(jù)向量的加法法就 ,abaccddb.2d 2

9、ab accddb 222accd2bd2 ac cdacdbcddb 22aca2c2b2ac db2b22ca db精品word可編輯資料- - - - - - - - - - - - -于是，得2ca dba2b2c2d 2設(shè)向量 ca 與 db 的夾角為， 就是庫與水壩所成的二面角.因此2ab cosa 2所以cosa2b 2c 2b2c22d.d 2 .2aba2b2c2d 2庫底與水壩所成二面角的余弦值是.2ab法向量法n1 , n2n 2n1ln1, n2n1 ,n2n1n2ln1, n2coscosn1 , n2coscosn1 , n2結(jié)論：或歸納： 法向量的方向：一進一出，

10、二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角 .例 4 、如圖， abcd 是始終角梯形，abc90 ，sa面 abcd ，saabz sbc1 ，bca第 6 頁，共 8 頁d- - - - - - - - - -精品word可編輯資料- - - - - - - - - - - - -ad1 ，求面 scd 與面 sba所成二面角的余弦值 .2解：如圖建立空間直角坐標系axyz，就1第 9 頁，共 8 頁- - - - - - - - - -a0,0,0, c 1,1,0, d 0,0, s0,0,121易知面 sba的法向量為n1ad0,02cd1,1 ,0, sd20, 1

11、 , 12設(shè)面 scd 的法向量為 n2 x, y, z，就有yx02，取 z yz021 ，得 x1, y2 ，n21, 12,1cosn1, n2n1| n1n26| n2 |3又 n1方向朝面內(nèi)，n2 方向朝面外，屬于“一進一出 ”的情形，二面角等于法向量夾角6即所求二面角的余弦值為.3練習： 正方體abcda1b1c1d1 的棱長為 1 ，點 e 、 f 分別為 cd 、dd1 的中點 .求二面角 faed 的余弦值；解：由題意知，f 0,1,1 , e21 ,1,0 ，就 af20,1, 1 2, ae 1 ,1,02設(shè)平面 aef 的法向量為 n x,y, z ，就naf0nae0n 2,1, 2y1 z21 xy20，取 y01，得 xz2za1d1b1c1f又平面 aed 的法向量為aa10