漫談算術(shù)數(shù)與有理數(shù)

1、漫談算術(shù)數(shù)與有理數(shù)學習了負數(shù)之后，所研究的數(shù)的范圍，就由算術(shù)數(shù)（ 正整數(shù)、正分數(shù)和零）擴充到了有理數(shù). 那么隨著數(shù)的集合的擴充， 數(shù)的性質(zhì)是否也隨著發(fā)生變化了呢 ?這是一個值得大家認真思考的問題 .同學們可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，算術(shù)數(shù)的有些性質(zhì)，在有理數(shù)集合內(nèi)被“完整”地保留下來 . 如數(shù) 0 和 1 的運算性質(zhì)： “任何數(shù)同 0 相加仍得這個數(shù)； 任何數(shù)同 1 相乘仍得這個數(shù)” ，在有理數(shù)集合中仍然成立；加法和乘法的運算律在有理數(shù)中也仍然使用， 并且有理數(shù)的四則運算的法則都是通過算術(shù)數(shù)的四則運算的法則加以規(guī)定的 . 但是大家一定要注意到，并不是算術(shù)數(shù)集合的所有性質(zhì)都能夠原封不動地搬到有理數(shù)集合中使用

2、. 也就是說，有些算術(shù)數(shù)所具備的性質(zhì)，在有理數(shù)集合中不一定成立；反之，算術(shù)數(shù)所不具備的性質(zhì)，在有理數(shù)集合中卻能夠成立. 下面我們從幾個具體的方面加以說明 .1 零的意義不再表示“沒有” 在小學學習自然數(shù)時，以前學過，自然數(shù)是數(shù)物體的個數(shù)而得到的如從一只羊，兩個蘋果，三棵樹，十個手指頭等數(shù)具體物體的過程中，逐漸抽象 產(chǎn)生出自然數(shù)1, 2, 3,10,.后來為了計算的需要和表示沒有物體，就想出了用“零”來代替，記作0，這是在小學算術(shù)中，我們對“零”的理解在生活語言中，也常有類似的情況，如有人說： “張三的話等于零” ，意思是指張三說了不起作用，和沒說一個樣. 但是在有理數(shù)集合中，“ 0”不再表示“

3、沒有”了.例如，某地海拔高度是0 米，是指這個地點與海平面的高度一樣高， 而不是指這個地點沒有高度. 類似的例子，同學們自己也能夠舉出一些！2零不再是最小的數(shù)了在算術(shù)數(shù)中， 0 是最小的一個數(shù)， 0 以外的其它數(shù)都比 0 大 . 而在有理數(shù)集合中，卻既沒有最大的數(shù)，也沒有最小的數(shù). 0 不再是最小的有理數(shù)，比 0 小的有理數(shù)有無數(shù)多個，所有的負數(shù)都小于 03 關(guān)于減法運算的封閉性在算術(shù)數(shù)中，我們知道， 任意兩個算術(shù)數(shù)的和、 積、商 （ 除數(shù)不得為 0） 仍然還是算術(shù)數(shù). 所以， 我們就說算術(shù)數(shù)關(guān)于加法、乘法和除法具有封閉性. 不過， 算術(shù)數(shù)關(guān)于減法卻不具有封閉性. 如 2 3， 小學同學都會說

4、， 這“不夠減的” 或“減不著” . 原因就是，被減數(shù)2 小于減數(shù) 3，在算術(shù)數(shù)中找不到這樣一個數(shù)，它與3的和等于 2. 所以，在算術(shù)數(shù)中，實行減法運算有一個限定：被減數(shù)一定要不小于減數(shù)，這時差才存有（ 是個算術(shù)數(shù)） ，否則減法將無法實行. 在有理數(shù)集合中，這個限定被取消了，任何兩個有理數(shù)都能相減， 并且差還是一個有理數(shù)， 當被減數(shù)大于減數(shù)時， 差是正數(shù)； 當被減數(shù)等于減數(shù)時， 差是 0； 當被減數(shù)小于減數(shù)時，差是負數(shù). 有理數(shù)關(guān)于加法、減法、乘法、除法 （ 除數(shù)不得為零） 和乘方運算都具有封閉性.4 減法統(tǒng)一為加法對于算術(shù)數(shù)來說，加法與減法是相互對立的：加法和減法互為逆運算， 二者有各自不同的運算法則 . 在有理數(shù)集合中，加法和減法也互為逆運算，但根據(jù)有理數(shù)減法法則，便把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法實行，從而使