分類計數(shù)原理與分布計數(shù)原理2

1、 綜合問題排列問題(在排列應用問題給合應用問題(含與不含)與不在，鄰與有限制條件的組合問題不鄰)相互獨立事件同時發(fā)生的概率互斥事件有一個發(fā)生的概率隨機事件的概率系數(shù)性質概率有限制條件的選排列公式排列數(shù)公式排列數(shù)公式通項公式二項式定理組合排列全排列公式組合數(shù)性質加法原理乘法原理應用第十章 排列、組合和概率問題一： 從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.一天中，火車有3班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？10.1分類計數(shù)原理與分步計算原理：完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法在第n類辦法中有mn種不同

2、的方法.那么完成這件事共有N=m1+m2+mn種不同的方法.對于分類計數(shù)原理，注意以下幾點.（1）從分類計數(shù)原理中可以看出，各類之間相互獨立，都能完成這件事，且各類方法數(shù)相加，所以分類計數(shù)原理又稱加法原理；（2）分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類的標準，然后在確定的分類標準下進行分類；（3）完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同兩類的兩種方法都是不同的方法.問題二： 從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地.一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？分步計數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的

3、方法，做第2步有m2種不同的方法做第n步有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N=m1m2mn種不同的方法.對于分步計數(shù)原理，應注意以下幾點.（1）分步計數(shù)原理與“分步”有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟完成了，這件事才算完成；分步計數(shù)原理又叫乘法原理。（2）分步時首先要根據(jù)問題的特點確定一個分步的標準；（3）分步時還要注意滿足完成一件事必須并且只需連續(xù)完成n個步驟后這件事才算完成.例題講解例1 書架上層放有6本不同的數(shù)學書，下層放有5本不同的語文書 1）從中任取一本，有多少種不同的取法？ 2）從中任取數(shù)學書與語文書各一本，有多少的取法？ 解：（1）從書架上任取一本書，有兩類辦法：第一類辦法

4、是從上層取數(shù)學書，可以從6本書中任取一本，有6種方法第二類辦法是從下層取語文書，可以從5本書中任取一本，有5種方法根據(jù)加法原理，得到不同的取法的種數(shù)是 6十5=11 答：從書架L任取一本書，有11種不同的取法 （2）從書架上任取數(shù)學書與語文書各一本，可以分成兩個步驟完成：第一步取一本數(shù)學書，有6種方法；第二步取一本語文書，有5種方法根據(jù)乘法原理，得到不同的取法的種數(shù)是 N6X530 答：從書架上取數(shù)學書與語文書各一本，有30種不同的方法例題講解 例2 由數(shù)字l，2，3，4，5可以組成多少個數(shù)字允許重復三位數(shù)？解：要組成一個三位數(shù)可以分成三個步驟完成： 第一步確定百位上的數(shù)字，從5個數(shù)字中任選一

5、個數(shù)字，共有5種選法； 第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復， 這仍有5種選法， 第三步確定個位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法 根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位數(shù)的個數(shù)是 N=5X5X5=125 答：可以組成125個三位數(shù)例3電視臺在“歡樂大本營”節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多種不同的結果？ 解：分兩大類：（1）幸運之星在甲箱中抽，先定幸運之星，再在兩箱中各定一名幸運伙伴有：302920=17400種結果；（2）幸運之星在乙箱中抽，同理

6、有201930=11400種結果，因此共有不同結果17400+11400=28800種 大家在綜合運用兩個原理時，既要會合理分類，又能合理分步，一般情形是先分類后分步.例44張卡片的正、反面分別有0與1，2與3，4與5，6與7，將其中3張卡片排放在一起，可組成多少個不同的三位數(shù)？解：分三個步驟：第一步：首位可放81=7個數(shù)；第二步：十位可放6個數(shù)；第三步：個位可放4個數(shù).根據(jù)分步計數(shù)原理，可以組成N=764=168個數(shù).這兩個原理的本質區(qū)別在于分類與分步，分類用分類計數(shù)原理，分步用分步計數(shù)原理.用分類計數(shù)原理的關鍵在于恰當分類，分類要做到“不重不漏”，應用分步計數(shù)原理的關鍵在于分步，要正確設計

7、分步程序.課堂練習：課堂練習： 1、從甲地到乙地有2條陸路可走，從乙地到丙地有3條陸路可走，又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走 （1）從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？ （2）從甲地到丙地共有多少種不同的走法？ 2一名兒童做加法游戲在一個紅口袋中裝著2O張分別標有數(shù)1、2、19、20的紅卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為被加數(shù)；在另一個黃口袋中裝著10張分別標有數(shù)1、2、9、1O的黃卡片，從中任抽一張，把上面的數(shù)作為加數(shù)這名兒童一共可以列出多少個加法式子？ 3由09這10個數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？例5四個人各寫一張賀卡，放在一起，再各取一張不是自己送出的賀卡，共有多少種

8、不同的方法？我們可排出所有的分配方案：（1）甲取得乙卡，然后類推，按甲、乙、丙、丁各取得的賀卡列出方案如下：乙丙丁甲、乙甲丁丙、乙丁甲丙；（2）甲取得丙卡，方案為：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲；（3）甲取得丁卡，方案為：丁甲乙丙，丁丙甲乙，丁丙乙甲.由分類計數(shù)原理，共有3+3+3=9種. 另外，此題也可分步解決：第一步：甲取一張，有3種取法；第二步：由甲取出的那張賀卡的供卡人取，也有3種取法；第三步：由剩余兩人中任一人取，有一種取法；第四步：最后一人取，只有一種取法.由分步計數(shù)原理得不同取法有3311=9種. 要解決某個此類問題，首先要判斷是分類，還是分步？分類時用加法， 分步時用乘法，其次要

9、注意怎樣分類和分步，以后會進一步學習 在計算完成事件的方法種數(shù)時，何時用加法原理？何時用乘法原理？ 這兩個原理分別是怎樣敘述的？它們的根本區(qū)別是什么？（口答）一件工作可以用兩種方法完成有 5人會用第一種方法完成， 另有4人會用第二種方法完成選出一個人來完成這件工作，共有多少種選法？ 在讀書活動中，一個學生要從 2本科技書、 2本政治書、 3本文藝書里任選一本，共有多少種不同的選法？ 從甲地到乙地有2條路可通，從乙地到丙地有3條路可通；從甲地到丁地有4條路可通，從丁地到丙地有2條路可通從甲地到丙地共有多少種不同的走法？一個口袋內裝有5個小球，另一個口袋內裝有4個小球，所有這些小球的顏色互不相同

10、（1）從兩個口袋內任取一個小球，有多少種不同的取法？ （2）從兩個口袋內各取一個小球，有多少種不同的取法？練習題：練習題： 1。有兩個口袋，分別裝有5個小球和4個小球，所有這些小球的顏色互不相 同， （1）從兩口袋中任取一個，有多少種不同的取法。 （2）從兩口袋中各取一個，有多少種不同的取法。 2。從3名男生和2名女生中選出優(yōu)秀學生3人，要求其中至少有1名女生，那 么有多少中不同的選法？ 3。有大小兩個正方體，在它們的6個表面上分別標有1，2，3，4，5，6。將 兩個正方體擲在桌面上，向上一面的兩個數(shù)的和為偶數(shù)的情形有多少種？ 4。 三面不同顏色的旗幟，可以升一面、兩面，頁可以三面一起升，那么可 以表示多少種不同的信號？5。平面上有10個點，無三點共線，