分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)法解分?jǐn)?shù)計(jì)算

1、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)計(jì)算本講知識(shí)點(diǎn)屬于計(jì)算大板塊內(nèi)容，其實(shí)分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)很大程度上是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、 利用公式的過(guò)程，可以分為觀察、改造、運(yùn)用公式等過(guò)程。很多時(shí)候裂項(xiàng)的方 式不易找到，需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，或者先進(jìn)行一部分運(yùn)算，使其變得更加簡(jiǎn) 單明了。本講是整個(gè)奧數(shù)知識(shí)體系中的一個(gè)精華部分，列項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分 的，所以先找通項(xiàng)是裂項(xiàng)的前提，是能力的體現(xiàn)，對(duì)學(xué)生要求較高。分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)一、“裂差”型運(yùn)算將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng) 法.裂項(xiàng)分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和整數(shù)裂項(xiàng)，常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個(gè)或多個(gè) 數(shù)字單位的和或差。遇到裂項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)的觀察每項(xiàng)的分子和分母， 找出每項(xiàng)分子

2、分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無(wú)需復(fù) 雜的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過(guò)程，這樣的話，找到相鄰兩項(xiàng)的相似部 分，讓它們消去才是最根本的(1) 對(duì)于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即丄形式的，這里我們把較小a的數(shù)寫在前面，即a :b，那么有 二(-)aKb b-a a b1n (n 1) (n 2)(2) 對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即：n (n 1) . 2) (n 3)形式的，我們有:裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征:(1)分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來(lái)即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算(2)分母上均為

3、幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接(3) 分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。二、“裂和”型運(yùn)算：2 2 2 2a b a b a b=+- +-a b a b a b b a常見(jiàn)的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式:(1)丄1 .丄(2) ax：b a：b axb b a裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目【例1】丄+丄+丄+丄+丄=。1X22工33漢44漢55乂6【鞏固】計(jì)算：25-13漢55X72325 丿【鞏固】計(jì)算:丄丄丄 62 55 77

4、1111 1616 2222 2929【例2】計(jì)算:(1 .丄丄丄.丄丄82448801201681224)128 二288【鞏固】 1 +丄+丄+丄+丄+丄+丄+丄=612203042567290【鞏固】計(jì)算：丄一丄一丄一丄一丄一丄一丄=2612203042567290【鞏固】丄 -1111。104088154238【例3】計(jì)算：一11111漢3漢5 3漢5匯7 5漢7漢92001漢2003漢2005例 4】計(jì)算:111234206 12 201420【鞏固】計(jì)算:【鞏固】計(jì)算:【鞏固】計(jì)算:【鞏固】計(jì)算:1111 120082009201020112012=18541081802701+丄

5、+2十2+土=。2 615357711111 1 13 153563991431951 5111929.9701.遜二2 612203097029900【鞏固】計(jì)算:【鞏固】計(jì)算:12 31+| +98x99 X1001+111 +一3 5 720 22 24【例5】計(jì)算:19we【鞏固】計(jì)算:1155 (口)9 10 11【鞏固】計(jì)算:kTl TTT山12+10 11 13 14【鞏固】計(jì)算:-993!4!100!【例6】1 1 15 -17 -19 -1【鞏固】計(jì)算:【鞏固】計(jì)算:11(1 2 ) (1 2 ) (1 233572 2 2 , 223342【鞏固】計(jì)算:【鞏固】計(jì)算:【鞏固】計(jì)算:“2小21 22 2 23151713-15-17 -12 2 2 2 2 21324352十 2十 213 -14 -12 2 21 111 -113 -111小12) (12 MH (12 ) (145487 X822.993 +11995 +1221993 -11995 -12 29810050【鞏固】計(jì)算:【鞏固】計(jì)算:【例計(jì)算:5 799 1015 79101119一 +-+ + +=7 82 02124351113151719-+ _+ 0 3042567290+ 111 +11+-11 川+133 5298