一偏導數的定義及其計算法PPT學習教案

1、會計學1一偏導數的定義及其計算法一偏導數的定義及其計算法同理可定義同理可定義函數函數),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導數，的偏導數， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.第1頁/共56頁如果函數如果函數),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D內任一點內任一點),(yx處對處對x的偏導數都存在，那么這個偏導數的偏導數都存在，那么這個偏導數就是就是x、y的函數，它就稱為函數的函數，它就稱為函數),

2、(yxfz 對對自變量自變量x的偏導數，的偏導數， 記作記作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定義函數同理可以定義函數),(yxfz 對自變量對自變量y的偏導的偏導數，記作數，記作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.第2頁/共56頁偏導數的概念可以推廣到二元以上函數偏導數的概念可以推廣到二元以上函數如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 第3頁/共56頁例例1 1 求求 223yxy

3、xz 在在點點) 2 , 1 (處處的的偏偏導導數數解解例例 2 2 設設yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證解解第4頁/共56頁例例 4 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程RTpV （R為常數） ，求證：為常數） ，求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 第5頁/共56頁偏導數偏導數xu 是一個整體記號，不能拆分是一個整體記號，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設設例例如如 有關偏導數的幾點說明：有關

4、偏導數的幾點說明：、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導數要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 第6頁/共56頁、偏導數存在與連續(xù)的關系、偏導數存在與連續(xù)的關系例如例如,函數函數 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數在該點處并不連續(xù)但函數在該點處并不連續(xù). 偏導數存在偏導數存在 連續(xù)連續(xù).一元函數中在某點可導一元函數中在某點可導 連續(xù)，連續(xù)，多元函數中在某點偏導數存在多元函數中在某點偏導數存在 連續(xù)，連續(xù)，第7

5、頁/共56頁4、偏導數的幾何意義、偏導數的幾何意義,),(),(,(00000上一點上一點為曲面為曲面設設yxfzyxfyxM 如如圖圖第8頁/共56頁 偏導數偏導數),(00yxfx就是曲面被平面就是曲面被平面0yy 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線xTM0對對x軸的軸的斜率斜率. 偏導數偏導數),(00yxfy就是曲面被平面就是曲面被平面0 xx 所截得的曲線在點所截得的曲線在點0M處的切線處的切線yTM0對對y軸的軸的斜率斜率.幾何意義幾何意義: :第9頁/共56頁),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2

6、yxfxyzyzxyx 函函數數),(yxfz 的的二二階階偏偏導導數數為為純偏純偏導導混合偏導混合偏導定義：二階及二階以上的偏導數統(tǒng)稱為高定義：二階及二階以上的偏導數統(tǒng)稱為高階偏導數階偏導數.第10頁/共56頁例例 5設設13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解例例6 6 設設byeuaxcos ，求求二二階階偏偏導導數數.解解第11頁/共56頁定理定理 如果函數如果函數),(yxfz 的兩個二階混合偏導數的兩個二階混合偏導數xyz 2及及yxz 2在區(qū)域在區(qū)域 D D 內連續(xù)，那末在該區(qū)域內這內連續(xù)，那末在該區(qū)域內這兩個二階混合偏導數

7、必相等兩個二階混合偏導數必相等問題：問題：混合偏導數都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導數都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？例例 7 7 驗驗證證函函數數22ln),(yxyxu 滿滿足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程 . 02222 yuxu解解第12頁/共56頁若函數若函數),(yxf在點在點),(000yxP連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),(000yxP的偏導數必定存在？的偏導數必定存在？課堂思考題課堂思考題第13頁/共56頁思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如

8、例如,第14頁/共56頁解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 第15頁/共56頁證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結論成立原結論成立第16頁/共56頁解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 第17頁/共56頁 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在第18頁/共56頁解解),ln(21ln2222yxyx ,22

9、yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 第19頁/共56頁解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx第20頁/共56頁解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byab

10、eyxuax .sin2byabexyuax 第21頁/共56頁),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數數對對x和和對對y的的偏偏微微分分 二二元元函函數數對對x和和對對y的的偏偏增增量量由一元函數微分學中增量與微分的關系得由一元函數微分學中增量與微分的關系得第22頁/共56頁 如果函數如果函數),(yxfz 在點在點),(yx的某鄰域內的某鄰域內有定義，并設有定義，并設),(yyxxP 為這鄰域內的為這鄰域內的任意一點，則稱這兩點的函數值之差任意一點，則稱這兩點的函數值之差 ),(),(yxfyyxxf 為函數在點為函數在點

11、 P對應于自變量增量對應于自變量增量yx ,的全增的全增量，記為量，記為z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 全增量的概念全增量的概念第23頁/共56頁 如果函數如果函數),(yxfz 在點在點),(yx的全增量的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示為可以表示為)( oyBxAz ，其中，其中BA,不依賴于不依賴于yx ,而僅與而僅與yx,有關，有關，22)()(yx ，則稱函數則稱函數),(yxfz 在點在點),(yx可微分，可微分，yBxA 稱為函數稱為函數),(yxfz 在點在點),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz，即，即 dz= =yBxA . .全微分的定

12、義全微分的定義第24頁/共56頁 函函數數若若在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內內各各點點處處處處可可微微分分，則則稱稱這這函函數數在在 D 內內可可微微分分. 如果函數如果函數),(yxfz 在點在點),(yx可微分可微分, 則則函數在該點連續(xù)函數在該點連續(xù).事實上事實上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函數數),(yxfz 在在點點),(yx處處連連續(xù)續(xù).第25頁/共56頁 定理定理 1 1（必要條件必要條件） 如果函數如果函數),(yxfz 在點在點),(yx可微分，則該函數在點可微分，則該函數在點),(yx的偏導

13、數的偏導數xz 、yz 必存在，且函數必存在，且函數),(yxfz 在點在點),(yx的全微分的全微分為為 yyzxxzdz 第26頁/共56頁證證如如果果函函數數),(yxfz 在在點點),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某個個鄰鄰域域)( oyBxAz 總成立總成立,當當0 y時時，上上式式仍仍成成立立，此時此時|x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 第27頁/共56頁一元函數在某點的導數存在一元函數在某點的導數存在 微分存在微分存在多元函數的各偏導數存在多元函數的各偏導數存在 全微

14、分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在點在點)0 , 0(處有處有 (0,0)(0,0) 0 xyff 第28頁/共56頁)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點點),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而趨趨于于 0,0 當當 時，時，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函數在點函數在點)0 , 0(處處不可微不可微. 第29頁/共56頁說明說明：多元函數的各偏導數存在并不

15、能保證全：多元函數的各偏導數存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定定理理（充充分分條條件件） 如如果果函函數數),(yxfz 的的偏偏導導數數xz 、yz 在在點點),(yx連連續(xù)續(xù)，則則該該函函數數在在點點),(yx可可微微分分 證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 第30頁/共56頁),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一個方括號內，應用拉格朗日中值定理在第一個方括號內，應用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏導數的連續(xù)性）（依偏導數的連續(xù)性）且且當當0, 0 yx時時，01 .其中其

16、中1 為為yx ,的函數的函數,第31頁/共56頁xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函數故函數),(yxfz 在點在點),(yx處可微處可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 當當0 y時，時，02 ,第32頁/共56頁習慣上，記全微分為習慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數.dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數的全微分等于它的兩通常我們把二元函數的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數的微分符合個偏微分之和這件事稱為二元函數

17、的微分符合疊疊加原理加原理疊加原理也適用于二元以上函數的情況疊加原理也適用于二元以上函數的情況第33頁/共56頁解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分第34頁/共56頁解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 第35頁/共56頁解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 第36頁/共56頁思路：按有關定義討論；對于偏導

18、數需分思路：按有關定義討論；對于偏導數需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx討論討論.證證第37頁/共56頁多元函數連續(xù)、可導、可微的關系多元函數連續(xù)、可導、可微的關系函數可微函數可微函數連續(xù)函數連續(xù)偏導數連續(xù)偏導數連續(xù)函數可導函數可導第38頁/共56頁證證令令,cos x,sin y則則22)0,0(),(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函數在點故函數在點)0 , 0(連續(xù)連續(xù), )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf第39頁/共56頁

19、當當)0 , 0(),( yx時，時， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當當點點),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時時,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.第40頁/共56頁所以所以),(yxfx在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).同理可證同理可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在點在點)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df第41頁/共56頁證證),

20、()(tttu 則則);()(tttv 定理定理 如果函數如果函數)(tu 及及)(tv 都在點都在點 t可導，函數可導，函數),(vufz 在對應點在對應點),(vu具有具有連續(xù)偏導數， 則復合函數連續(xù)偏導數， 則復合函數)(),(ttfz 在在對應點對應點t可導，且其導數可用下列公式計算：可導，且其導數可用下列公式計算： dtdvvzdtduuzdtdz ，獲得增量獲得增量設設tt 第42頁/共56頁由由于于函函數數),(vufz 在在點點),(vu有有連連續(xù)續(xù)偏偏導導數數,21vuvvzuuzz 當當0 u，0 v時，時，01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 當當0 t時，時

21、， 0 u，0 v,dtdutu ,dtdvtv 第43頁/共56頁.lim0dtdvvzdtduuztzdtdzt 上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況上定理的結論可推廣到中間變量多于兩個的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導數以上公式中的導數 稱為稱為dtdz第44頁/共56頁解解tzdtdvvzdtduuzdtdz ttuvetcossin ttetettcossincos .cos)sin(costttet 第45頁/共56頁 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數上定理還可推廣到中間變量不是一元函數而是多元函數的情況：而是多元函數的情況

22、：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導數，且函數的偏導數，且函數),(vufz 在對應在對應點點),(vu具有連續(xù)偏導數，則復合函數具有連續(xù)偏導數，則復合函數),(),(yxyxfz 在對應點在對應點),(yx的兩個偏的兩個偏導數存在，且可用下列公式計算導數存在，且可用下列公式計算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .第46頁/共56頁uvxzy鏈式法則如圖示鏈式法則如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 第47頁/共56頁 類似地再推廣，設類似地再推廣，設),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在點都在點),(yx具有對具有對x和和y的偏導數，復合的