第四章動態(tài)元件與動態(tài)電路x2

1、第四章 動態(tài)元件和動態(tài)電路 導(dǎo)論 山東大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院內(nèi)容提要n電容元件n電感元件n耦合電感元件n動態(tài)電路的輸入輸出方程n初始狀態(tài)與初始條件n零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng)n單位階躍函數(shù)與單位沖激函數(shù)4-1 電容元件 n電容元件q反應(yīng)電場儲能現(xiàn)象的元件模型q模擬電容器和其它實際部件的電容特性n電容元件分類q按電容所儲電荷量與電壓關(guān)系區(qū)分n線性電容元件：電容所儲電荷量與電壓呈線性關(guān)系 n非線性電容元件：電容所儲電荷量與電壓呈非線性關(guān)系。 q按電容參數(shù)的時變特征區(qū)分 n時不變電容元件 n時變電容元件 線性時不變電容元件是我們分析的重點電容元件的q-u特性(a)線形電容 (b)非線性電容 (c

2、)時變電容線性電容元件n基本約束關(guān)系：q量綱：電荷量庫侖（C）；電容法拉（F）微法(uF)，皮法(pF)( )( )q tcu t傳導(dǎo)電流：電容引線上的電流位移電流：電容元件極板間電介質(zhì)中的電流 1F=10-6 F，1pF=10-12 F。(1nF = 1000pF )線性電容元件n電容電流（電容VCR）( )( )( )dq tdu ti tcdtdt0011( )( )( )( )tttu ti t dtu ti t dtCC線性電容元件n電容的充電與放電 q充電：電壓逐漸升高，電流為正值，電荷量逐漸增加。q放電：電壓逐漸降低，電流為負值，電荷量逐漸減少。電容元件的動態(tài)特性電容元件的動態(tài)特

3、性n 電阻元件電阻元件其電壓-電流關(guān)系通過歐姆定律相聯(lián)系，在任意瞬時，我們知道電壓即可決定電流，反之亦然。n電容元件電容元件的電壓-電流關(guān)系通過微分式和積分式相聯(lián)系，無法通過電流瞬時值確定電壓瞬時值，也無法通過電壓瞬時值確定電流瞬時值，瞬時電壓和瞬時電流之間呈動態(tài)關(guān)系。因此，電容元件是一種動態(tài)元件。線性電容元件n電容的“記憶效應(yīng)” 0011( )( )( )( )tttu ti t dtu ti t dtCC( )( )du ti tCdt電容瞬時電壓不僅僅取決于瞬時電流，還與“過去時刻”的電流有關(guān)，電容具有“記憶性”。這與電阻元件形成鮮明對比。 在有限電流激勵下，電容電壓不可能發(fā)生突變。 線

4、性電容元件n電容元件的儲能 q電容元件吸收的瞬時功率q電容元件在有限時間內(nèi)吸收的能量q電容元件的瞬時能量 ( )( )( ) ( )( )du tp tu t i tcu tdt00( )2200()11 , ( )( )( )22tu ttu tW t tp t dtcuducutcut21( )( )2W tcut線性電容元件的串聯(lián)/并聯(lián)n電容的串聯(lián)121111eqnCCCC121111eqnCCCC線性電容元件的串聯(lián)/并聯(lián)n電容的并聯(lián)12eqnCCCC4-2 電感元件 n法拉第電磁感應(yīng)定律q當(dāng)穿過一個線圈的磁通隨時間而變化時，就會在這個線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓 n楞次定律q感應(yīng)電壓的作用總是企

5、圖利用感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁通去阻止原磁通的變化。dudt電感元件n電感元件q電感元件是與電容元件相互對偶的儲能元件模型，其儲能形式為磁場能量。q模擬電感線圈和其它實際部件的電感特性。n電感元件的分類q按磁通鏈與電流關(guān)系區(qū)分：線性電感元件、非線性電感元件 q按元件參數(shù)的時變特征區(qū)分：時不變電感元件、時變電感元件 時不變線性電感元件是我們分析的重點 電感元件分類(a)線形電感 (b)非線性電感 (c)時變電感線性電感元件n基本約束關(guān)系q磁通鏈與電流的關(guān)系：q感應(yīng)電壓（端電壓）( )( )tLi t( )( )di tu tLdt001( )( )( )tti ti tu t dtL 電感元件的動態(tài)特

6、性電感元件的動態(tài)特性 無法根據(jù)電流瞬時值確定電壓瞬時值，也無法根據(jù)電壓瞬時值確定電流瞬時值。電感元件的電壓和電流呈動態(tài)關(guān)系。因此，電感元件與電容元件相似，也是一種動態(tài)元件。電感電流不僅僅取決于瞬時電壓，還與過去的電流有關(guān)。電感電流不能突變。 線性電感元件n線性電感元件的儲能q瞬時功率q有限時間內(nèi)吸收的能量q瞬時能量 ( )( )( ) ( )( )di tp tu t i tLi tdt00( )2200()11 , ( )( )( )22ti tti tW t tp t dtLidiLi tLi t21( )( )2W tLi t電感與電容是對偶參數(shù)，電感電流與電容電壓是對偶變量，電感元件的

7、磁通鏈與電容元件的電荷量互為對偶。 12eqnLLLL電感的串聯(lián) n電感的并聯(lián)121111eqnLLLL121111eqnLLLL4-3 動態(tài)電路的輸入-輸出方程 n動態(tài)電路：含有動態(tài)元件(即儲能元件)的電路。n輸入：輸入激勵源的簡稱，一般為電流源或電壓源。 n輸出：在電路分析中，給定輸入激勵源，我們感興趣的電路變量往往是某個電壓或電流變量。簡稱輸出。 n動態(tài)電路的電路方程：由于動態(tài)元件的電壓與電流之間呈導(dǎo)數(shù)關(guān)系或積分關(guān)系，根據(jù)基爾霍夫定律對動態(tài)電路列出的電路方程是微分方程或積分微分方程。n動態(tài)電路的輸入-輸出方程：根據(jù)基爾霍夫定律和元件約束關(guān)系建立的僅含激勵源和目標變量的電路方程，稱為輸入-

8、輸出方程。 動態(tài)電路的輸入-輸出方程n輸入-輸出方程一般形式 n動態(tài)電路的階數(shù)：即微分方程的階數(shù)n，與電路中動態(tài)元件個數(shù)和連接關(guān)系有關(guān)。1110111101( )( )( ).( )( )( )( ).( )nnnnnmmmmmmd r tdr tdr taaa r tdtdtdtdf tdf tdf tbbbb f tdtdtdt實例分析n根據(jù)電容的工作屬性：n根據(jù)基爾霍夫電壓定律： ( )( )cdu ti tCdt( )( )( )( )csdi tRi tLu tu tdt( )( )cdu ti tCdt22( )( )11( )( )cccsd u tdu tRu tu tdtLd

9、tLCLC輸入-輸出方程為二階微分方程，該電路為二階動態(tài)電路。求得電容電壓，即可求得支路電流、電阻電壓、電感電壓。( )( )( )( )RLCSutututut實例分析n采用回路分析法，建立2個獨立回路方程 111112( )1( ) ( )( )( )tsdi ti t RLi ti t dtu tdtC222221( )1( ) ( )( )0tdi ti t RLi ti t dtdtC回路1： 回路2： 實例分析（續(xù)）n消去i2(t)得關(guān)于i1(t)的輸入-輸出方程32121121121211213212121222211212( )( )( )( )( )( )( )1sssd i

10、 tR LR Ld i tR R CLLdi tRRi tdtL LdtL L CdtL L Cd u tdu tu tRLdtL LdtL L C這是一個三階的常系數(shù)線性微分方程，表明電路為三階動態(tài)電路。同理，可以得到關(guān)于i2(t)的輸入-輸出方程，同樣為三階微分方程。線性動態(tài)電路的輸入-輸出方程nn階線性動態(tài)電路n含多個獨立源的線性動態(tài)電路q根據(jù)線性電路的性質(zhì)，可以利用疊加定理分別讓每個獨立源單獨作用，求得每個獨立源對應(yīng)的輸出后，取代數(shù)和即可。 1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnmmmmmmd r tdr tdr taaa r tdtdtdtd

11、f tdf tdf tbbbb f tdtdtdt4-4 初始狀態(tài)與初始條件n換路q電路與電源的接通、切斷，電路參數(shù)的突然改變，電路連接方式的突然改變，電壓源的電壓或電流源的電流的突然改變等。q發(fā)生換路時，動態(tài)電路會由一個工作狀態(tài)經(jīng)過一個過渡過程后轉(zhuǎn)變到另一個工作狀態(tài)。q一般規(guī)定換路時刻為t=0，且換路在瞬間完成(換路所需時間為0)，把換路前的最終時刻記作0-，把換路后的最初時刻記作0+。n動態(tài)電路的分析q即求解換路后各支路電壓/電流的變化規(guī)律。q分析過程：利用初始條件求解輸入-輸出方程。4-5 初始狀態(tài)與初始條件n動態(tài)電路的原始狀態(tài)與初始狀態(tài)q原始狀態(tài)：把各獨立電容電壓(或電荷量)和各獨立電

12、感電流(或磁通鏈)在0-時的數(shù)值的集合。q零狀態(tài)： 0-時各電容電壓和電感電流均為零，無原始儲能。 q初始狀態(tài)，簡稱初態(tài)：動態(tài)電路中各獨立電容電壓(或電荷量)和各獨立電感電流(或磁通鏈)在0+時的數(shù)值的集合。q動態(tài)元件的初始狀態(tài)及其各階導(dǎo)數(shù)是求解輸入-輸出方程的基礎(chǔ)。4-5 初始狀態(tài)與初始條件n線性微分方程的邊界條件q動態(tài)電路的n階輸入-輸出方程的邊界條件也就是指該方程中輸出變量的初始值及其1階至n-1階導(dǎo)數(shù)的初始值 1110111101( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnmmmmmmd r tdr tdr taaa r tdtdtdtd f tdf tdf tbbbb

13、f tdtdtdt1(0 ), (0 ), (0 ),.,(0 )nrrrr邊界條件：4-5 初始狀態(tài)與初始條件n動態(tài)元件原始狀態(tài)與初始狀態(tài)的關(guān)系q電容電流取有限值時 q電感電壓取有限值時 (0 )(0 )CCuu(0 )(0 )qq(0 )(0 )LLii(0 )(0 )若外部激勵取無窮大，則初始值需要根據(jù)激勵和電路結(jié)構(gòu)進行計算。 4-5 初始狀態(tài)與初始條件n動態(tài)元件原始狀態(tài)與初始狀態(tài)的確定q原始狀態(tài)的確定：根據(jù)換路前電路，利用已學(xué)過的電路分析方法可以計算。q初始狀態(tài)的確定：根據(jù)動態(tài)元件屬性、外部激勵及換路后電路結(jié)構(gòu)，進行計算。例題n開關(guān)閉合前，電路已經(jīng)工作了很長時間 。(0 )12VCsu

14、U(0 )(0 )12VCCuu131(0 )12 12(0 )0(A)4 10sCUuiR3232(0 )12(0 )6 10 (A)2 10CuiR312(0 )(0 )(0 )6 10 (A)Ciii 例題n換路前，電路已工作了很長的時間。 1210(0 )1(A)64sLUiRR(0 )(0 )1ALLii2(0 )(0 )1 44(V)LLuiR 110(0 )1.67(A)6sUiR(0 )(0 )(0 )1.6710.67(A)sLiii 4-6 零輸人響應(yīng)n零輸入響應(yīng)q電路在無輸入激勵情況下，僅由動態(tài)元件原始儲能引起的響應(yīng)（任意支路的電壓或電流 ）。q體現(xiàn)了動態(tài)元件通過耗能元件

15、進行電磁能量釋放的物理過程。 4-6 零輸人響應(yīng)nn階動態(tài)電路，無輸入激勵，則其輸入-輸出方程將變?yōu)辇R次微分方程 n利用齊次微分方程可求解零輸入響應(yīng)q特征方程 q設(shè)特征方程的n個特征根互不相同，為 11101( )( )( )( )0nnnnnd r tdr tdr taaa r tdtdtdt11100nnnsasa sa12,ns ss4-6 零輸人響應(yīng)n零輸入響應(yīng)的一般形式q參數(shù) 由初始條件確定 q特征根決定了動態(tài)電路零輸入響應(yīng)的性質(zhì)：n如果特征根都是負實根，則響應(yīng)隨時間的增長而衰減，且特征根的絕對值越大，衰減越快；如果特征根中有復(fù)數(shù)根，則將出現(xiàn)振蕩情況。q在物理上，特征根取決于電路的拓

16、撲結(jié)構(gòu)及電路中元件參數(shù)的取值情況。因此，特征根又被稱為電路的固有頻率或自然頻率。 12121( )nins ts ts ts tniir tAeA eA eAe12,nA AA(1)(2)(1)(0 ),(0 ),(0 ),(0 )nrrrr例題n求解例圖中所給電路的零輸入響應(yīng) ( )i t5R 1HL 1F6C (0 )0Li(0 )6Cun無輸入激勵情況下的積分微分方程和微分方積分別為 例題例題例題4-7 零狀態(tài)響應(yīng)n零狀態(tài)響應(yīng)q動態(tài)電路中所有儲能元件沒有原始儲能(處于零狀態(tài)) ，換路后僅由輸入激勵（獨立源）產(chǎn)生的響應(yīng)。n輸入-輸出方程 q非齊次微分方程1110111101( )( )(

17、)( )( )( )( )( )nnnnnmmmmmmd r tdr tdr taaa r tdtdtdtd f tdf tdf tbbbb f tdtdtdt4-7 零狀態(tài)響應(yīng)n零狀態(tài)響應(yīng)求解q 為齊次微分方程的通解，取決于電路結(jié)構(gòu)q 為非齊次微分方程的特解，取決于激勵信號形式q零狀態(tài)響應(yīng)一般形式( )( )( )tfr tr tr t( )tr t( )fr t1( )( )( )( )ins ttfifir tr tr tBer t1( )ins ttiir tBe取決于電路結(jié)構(gòu)，稱自然響應(yīng)或自然分量取決于激勵信號，稱強迫響應(yīng)或強迫分量4-7 零狀態(tài)響應(yīng)n在具體求解零狀態(tài)響應(yīng)時，一般步驟

18、可歸納如下：例題n求的零狀態(tài)響應(yīng)n 根據(jù)基爾霍夫電壓定律，換路后( )i t5R 1HL 1F6C ( )Vtsu te0( )5 ( )(0 )6( )ttCdi ti tui t dtedt例題n兩邊同時求導(dǎo)，得輸入-輸出方程 n齊次微分方程的特征方程與特征根 n齊次微分方程的通解 22( )( )56 ( )td i tdi ti tedtdt 2560ss122,3ss 2312( )ttti tBeB e12,B B為待定常數(shù)例題n根據(jù)輸入-輸出方程右側(cè)函數(shù)形式，設(shè)特解為n代入非齊次微分方程，可得n電路的零狀態(tài)響應(yīng)為n根據(jù)電路原始狀態(tài)及激勵確定初始條件 ( )tfitKe12K 23121( )2ttti tBeB ee(0 )(0 )0ii(0 )(0 )0CCuu(0 )5 (0 )(0 )1Ciiu(0 )1A/si例題n利用初始條件可得 n故電路的零狀態(tài)響應(yīng)為 121(0 )02iBB121(0 )2312iBB 12B 232B 2331( )2,022ttti teeet4-8 全響應(yīng)n動態(tài)電路的全響應(yīng)：由動態(tài)元件原始儲能和輸入激勵共同作用的結(jié)果。n動態(tài)電路全響應(yīng)的直接求解q采用直接求解非齊次微