矢量場(chǎng)的通量及散度.PPT

1、1第二章第二章 場(chǎng)論場(chǎng)論第第6講講 矢量場(chǎng)的通量及散度矢量場(chǎng)的通量及散度2主要內(nèi)容主要內(nèi)容l1. 通量通量l2. 散度散度l3.平面矢量場(chǎng)的通量與散度平面矢量場(chǎng)的通量與散度*教材：第教材：第2章章 第第3節(jié)節(jié)3簡(jiǎn)單曲線與簡(jiǎn)單曲面術(shù)語(yǔ)介紹簡(jiǎn)單曲線與簡(jiǎn)單曲面術(shù)語(yǔ)介紹（1 1）簡(jiǎn)單曲線：）簡(jiǎn)單曲線：設(shè)連續(xù)曲線參數(shù)方程為：設(shè)連續(xù)曲線參數(shù)方程為：)(),(),(tztytx 曲線上的每一點(diǎn)都只對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)參數(shù)值曲線上的每一點(diǎn)都只對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)參數(shù)值t.(t.(閉合曲線閉閉合曲線閉合點(diǎn)除外合點(diǎn)除外) )。簡(jiǎn)單曲線的一般特征是一條沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線。簡(jiǎn)單曲線的一般特征是一條沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線。（2 2）簡(jiǎn)

2、單曲面：）簡(jiǎn)單曲面：設(shè)連續(xù)曲面參數(shù)方程為：設(shè)連續(xù)曲面參數(shù)方程為：),(),(),(vuzvuyvux 曲面上的每一點(diǎn)都只對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)參數(shù)值曲面上的每一點(diǎn)都只對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)參數(shù)值（u, v）.(.(閉合閉合曲面閉合點(diǎn)除外曲面閉合點(diǎn)除外) )。簡(jiǎn)單曲面的一般特征是一條沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)。簡(jiǎn)單曲面的一般特征是一條沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲面。曲面。4l1.通量通量引例：引例： 設(shè)有流速場(chǎng)設(shè)有流速場(chǎng)v(M), ,流體是不可壓縮的，設(shè)其密度為流體是不可壓縮的，設(shè)其密度為1.1.求單求單位時(shí)間內(nèi)流體向正側(cè)穿過(guò)有向曲面位時(shí)間內(nèi)流體向正側(cè)穿過(guò)有向曲面S S的流量的流量Q Q（如圖）。（如圖）。 取微元取微元ds( (微元

3、內(nèi)速度矢量和法矢微元內(nèi)速度矢量和法矢量近似看做不變量近似看做不變) )，則穿過(guò)，則穿過(guò)ds的流量的流量dQ近似等于：近似等于：dsvdQn以以 表示點(diǎn)表示點(diǎn)M M處的單位法矢量則處的單位法矢量則流量表示為：流量表示為：0n)()(00dsnvdsnvdsvdQn5dSdsndS,0 令令 為在點(diǎn)為在點(diǎn)M M處的這樣一個(gè)矢量，其處的這樣一個(gè)矢量，其方向與法向量方向與法向量n n一致，其模等于面積一致，其模等于面積dsds。 據(jù)此，在單位時(shí)間內(nèi)向正側(cè)穿過(guò)據(jù)此，在單位時(shí)間內(nèi)向正側(cè)穿過(guò)S S的流量，就的流量，就可用曲面積分表示為：可用曲面積分表示為：dSvdsvQssn 又如：在電位移矢量又如：在電位

4、移矢量D D分布的電場(chǎng)中，穿過(guò)曲面分布的電場(chǎng)中，穿過(guò)曲面S S的的電通量：電通量：ssnedSDdsD 在磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量在磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B B分布的電場(chǎng)中，穿過(guò)曲面分布的電場(chǎng)中，穿過(guò)曲面S S的的磁通量：磁通量：ssnmdSDdsB6通量定義：通量定義： 設(shè)有矢量場(chǎng)設(shè)有矢量場(chǎng)A(M),A(M),沿其中有向曲面沿其中有向曲面S S某一側(cè)的曲某一側(cè)的曲面積分：面積分：叫做矢量叫做矢量A(M)A(M)向積分所沿一側(cè)穿過(guò)曲面向積分所沿一側(cè)穿過(guò)曲面S S的的通量通量。ssndSAdsA若：若： miimAAAAA121則有：則有： miimisissmiidSAdSAdSA111)(通量是可疊加的。通量

5、是可疊加的。7在直角坐標(biāo)系中，設(shè)在直角坐標(biāo)系中，設(shè),),(),(),(kzyxrjzyxQizyxPA,),cos(),cos(),cos(dydzkdxdzjdydzikzndsjyndsixndsdsndSo則通量可寫(xiě)成：則通量可寫(xiě)成：ssRdxdyQdxdzPdydzdSA又：又：8例例1 1： 設(shè)由矢徑設(shè)由矢徑 構(gòu)成的矢量場(chǎng)中，構(gòu)成的矢量場(chǎng)中，有一由圓錐面有一由圓錐面 及平面及平面 所圍所圍成的封閉曲面成的封閉曲面S,S,如圖，試求矢量場(chǎng)如圖，試求矢量場(chǎng) 從從S S內(nèi)穿出內(nèi)穿出S S的的通量通量。解：解：zkyjxir222zyx) 0(HHz 以以 表示曲面表示曲面S S的平面部分，

6、以的平面部分，以 表示錐面部分，表示錐面部分，則通量為：則通量為：1S2S12sSsdSrdSrdSr9其中其中321111HHHdxdyHHdxdyzdxdyydxdzxdydzdSrDDss其中其中 為為 在在xOy面上的投影。面上的投影。1D1S在在 上有上有 則：則： 00222ssnsdsdsrdSr2Snr 3HdSrs所以：所以：10例例2 2： 設(shè)設(shè)S S為曲面為曲面 被圍在圓柱面被圍在圓柱面 內(nèi)的部分，求矢量場(chǎng)內(nèi)的部分，求矢量場(chǎng) 向下穿出向下穿出S S的通量的通量 。223yxz422 yxzkyjxiA 2解：解： S S為函數(shù)為函數(shù) 當(dāng)當(dāng)u u取值為取值為0 0時(shí)的一張時(shí)

7、的一張等值面。由于矢量場(chǎng)向下穿出等值面。由于矢量場(chǎng)向下穿出S S的方向，是的方向，是z z減小的減小的方向同時(shí)也是方向同時(shí)也是u u值減小的方向，故值減小的方向，故S S朝此方向的單位朝此方向的單位法矢量為：法矢量為：223yxzu13646222yxkyjxigradugraduno11所求通量為：所求通量為：243)( 336411364)3(6413646420203222222222222220drrddxdyyxdxdyyxyxyxyxdSyxzyxdSnAxyxyDDss12通量為正負(fù)時(shí)的物理意義：通量為正負(fù)時(shí)的物理意義： 對(duì)于流速場(chǎng)對(duì)于流速場(chǎng)v(M),v(M),設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)流體

8、向正側(cè)穿過(guò)設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)流體向正側(cè)穿過(guò)S S的流量為的流量為Q Q，根據(jù)前面所述，單位時(shí)間內(nèi)流體向正側(cè)穿，根據(jù)前面所述，單位時(shí)間內(nèi)流體向正側(cè)穿過(guò)曲面元素過(guò)曲面元素dSdS的流量為：的流量為：dSvdQ 其結(jié)果是個(gè)代數(shù)值：若其結(jié)果是個(gè)代數(shù)值：若v v從曲面的負(fù)側(cè)傳到曲面從曲面的負(fù)側(cè)傳到曲面的正側(cè)時(shí)，的正側(cè)時(shí)，v v與與n n夾角為銳角因此夾角為銳角因此dQdQ為正流量，如下為正流量，如下圖左所示；反之，圖左所示；反之，v v與與n n夾角為鈍角夾角為鈍角dQdQ為負(fù)流量，如為負(fù)流量，如下圖右所示：下圖右所示：13因此，對(duì)于總流量因此，對(duì)于總流量sdSvQ 一般應(yīng)理解為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體向正側(cè)穿過(guò)曲

9、面一般應(yīng)理解為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體向正側(cè)穿過(guò)曲面S S的正流量與負(fù)流量的代數(shù)和。的正流量與負(fù)流量的代數(shù)和。 如果如果S S為一封閉曲面，此時(shí)積分為一封閉曲面，此時(shí)積分 一般指沿一般指沿S S的的外側(cè)，此時(shí)流量表示從內(nèi)穿出外側(cè)，此時(shí)流量表示從內(nèi)穿出S S的正流量與從外穿入的正流量與從外穿入S S的負(fù)流量的代數(shù)和。的負(fù)流量的代數(shù)和。s 若若Q0,Q0,那那S S內(nèi)必內(nèi)必有正源有正源；同理；同理Q0,SQ0,S內(nèi)必內(nèi)必有負(fù)源有負(fù)源。但是當(dāng)?shù)钱?dāng)Q=0Q=0時(shí)，不能斷言時(shí)，不能斷言S S內(nèi)無(wú)源。內(nèi)無(wú)源。14例例3 3： 在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷q q所產(chǎn)生的電場(chǎng)中。任何一點(diǎn)所產(chǎn)生的電場(chǎng)中。任何一點(diǎn)M M處的電位處

10、的電位移矢量為移矢量為024rrqD 其中其中r r是點(diǎn)電荷是點(diǎn)電荷q q到點(diǎn)到點(diǎn)M M的距離，的距離， 是從點(diǎn)電荷是從點(diǎn)電荷q q指向點(diǎn)指向點(diǎn)M M的單位矢量。設(shè)的單位矢量。設(shè)S S為以點(diǎn)電荷為球心，為以點(diǎn)電荷為球心，R R為半為半徑的球面，求從內(nèi)穿出徑的球面，求從內(nèi)穿出S S的電通量的電通量 。0r解：解： 如圖，在球面如圖，在球面S S上恒有上恒有r=Rr=R , ,且法矢量且法矢量n n與與 的方向一致，所以的方向一致，所以0rqRRqdSRqdSrRqdSDssse22202444415l2.散度散度散度定義：散度定義： 設(shè)有矢量場(chǎng)設(shè)有矢量場(chǎng)A(M)A(M)，于場(chǎng)中一點(diǎn)，于場(chǎng)中一點(diǎn)M

11、 M的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)作一包含作一包含M M點(diǎn)在內(nèi)的任一閉曲面點(diǎn)在內(nèi)的任一閉曲面S S，設(shè)其所包圍的空間，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)閰^(qū)域?yàn)?，以，以V V表示其體積，以表示其體積，以表示從其內(nèi)穿表示從其內(nèi)穿出出S S的通量，若當(dāng)?shù)耐?，若?dāng)以任意方式縮向點(diǎn)以任意方式縮向點(diǎn)M M時(shí)，比式：時(shí)，比式：VdSAVS 的極限存在，此極限為矢量場(chǎng)的極限存在，此極限為矢量場(chǎng)A(M)A(M)在點(diǎn)在點(diǎn)M M處的處的散度散度。 記作記作div A,div A,VdSAVdivASMMlimlim16 散度散度div Adiv A為一數(shù)量，表示在場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)為一數(shù)量，表示在場(chǎng)中一點(diǎn)處通量對(duì)體積的變化率，也就是

12、在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來(lái)體積的變化率，也就是在該點(diǎn)處對(duì)一個(gè)單位體積來(lái)說(shuō)所穿出的通量，稱為該點(diǎn)處說(shuō)所穿出的通量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。源的強(qiáng)度。 div A div A的符號(hào)為正表示該點(diǎn)處有散發(fā)通量的正源，的符號(hào)為正表示該點(diǎn)處有散發(fā)通量的正源，反之則有吸收通量的負(fù)源。其絕對(duì)值反之則有吸收通量的負(fù)源。其絕對(duì)值| div A | div A |表表示該點(diǎn)處散發(fā)或吸收通量的強(qiáng)度。示該點(diǎn)處散發(fā)或吸收通量的強(qiáng)度。 當(dāng)當(dāng)div Adiv A的值為零時(shí)，表示該點(diǎn)處無(wú)源，由此的值為零時(shí)，表示該點(diǎn)處無(wú)源，由此稱稱div A0div A0的矢量場(chǎng)為的矢量場(chǎng)為無(wú)源場(chǎng)。無(wú)源場(chǎng)。 把矢量場(chǎng)把矢量場(chǎng)A A中每一點(diǎn)的散度與場(chǎng)中

13、的點(diǎn)一一對(duì)中每一點(diǎn)的散度與場(chǎng)中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)就得到一個(gè)數(shù)量場(chǎng)，稱之為由此矢量場(chǎng)產(chǎn)應(yīng)起來(lái)就得到一個(gè)數(shù)量場(chǎng)，稱之為由此矢量場(chǎng)產(chǎn)生的生的散度場(chǎng)。散度場(chǎng)。17散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式：散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式：定理：定理：在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)kzyxRjzyxQizyxPA),(),(),(在任一點(diǎn)的散度為：在任一點(diǎn)的散度為：zRyQxPdivAdVzRyQxPRdydzQdxdzPdydzdSASS)(證明：證明：由高斯公式得由高斯公式得：18再按中值定理有再按中值定理有VzRyQxPM* M M* *為為內(nèi)的某一點(diǎn)，由此：內(nèi)的某一點(diǎn)，由此：*limlimMMMzRyQ

14、xPVdivA當(dāng)縮向點(diǎn)縮向點(diǎn)M M時(shí)，時(shí)， M M* *就趨于就趨于M, M, 所以所以zRyQxPdivA19推論推論1 1：高斯公式可寫(xiě)成如下的矢量形式：高斯公式可寫(xiě)成如下的矢量形式：推論推論2 2：divAdVdSAs 穿出封閉曲面穿出封閉曲面S S的通量等于的通量等于S S所圍區(qū)域所圍區(qū)域上的散度上的散度在在上的三重積分上的三重積分 由推論由推論1 1可知：若在封閉曲線可知：若在封閉曲線S S內(nèi)處處有內(nèi)處處有divA=0, divA=0, 0dSAs推論推論3 3： 若在矢量場(chǎng)若在矢量場(chǎng)A A內(nèi)，某些點(diǎn)（或區(qū)域）上有內(nèi)，某些點(diǎn)（或區(qū)域）上有divA0divA0或或divAdivA不存在

15、，而在其他的點(diǎn)都有不存在，而在其他的點(diǎn)都有divA=0divA=0，則穿過(guò)包圍這些點(diǎn)（或區(qū)域）的任意兩張封閉曲面則穿過(guò)包圍這些點(diǎn)（或區(qū)域）的任意兩張封閉曲面的通量都相等，為一常數(shù)。的通量都相等，為一常數(shù)。20例例4 4： 在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷q q所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中。求電位移矢量所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)中。求電位移矢量D D在任在任一點(diǎn)一點(diǎn)M M處的散度處的散度div Ddiv D。解：解：取點(diǎn)電荷所在之點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)：取點(diǎn)電荷所在之點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)：rrqD34其中其中rrzkyjxir,因此因此3334,4,4rqzDrqyDrqxDzyx52252252234,34,34rzrqzDryrqyDr

16、xrqxDzyx于是有于是有210)(33452222rzyxrqzDyDxDdivDzyx（r 0 ）所以所以 可見(jiàn)，除點(diǎn)電荷可見(jiàn)，除點(diǎn)電荷q q所在的原點(diǎn)（所在的原點(diǎn)（r=0r=0）divDdivD不存在外，不存在外，電位移電位移D D的散度處處為零，為一無(wú)源場(chǎng)。的散度處處為零，為一無(wú)源場(chǎng)。 根據(jù)推論根據(jù)推論3 3和例和例3 3有電場(chǎng)穿過(guò)包含點(diǎn)電荷有電場(chǎng)穿過(guò)包含點(diǎn)電荷q q在內(nèi)的任在內(nèi)的任何風(fēng)閉曲面何風(fēng)閉曲面S S的電通量都等于的電通量都等于q q，再根據(jù)通量可累加，再根據(jù)通量可累加，可以得出電學(xué)上的可以得出電學(xué)上的高斯定理：高斯定理： 穿出任意封閉曲面穿出任意封閉曲面S S的電通量，等于

17、其內(nèi)各點(diǎn)電的電通量，等于其內(nèi)各點(diǎn)電荷的代數(shù)和。荷的代數(shù)和。22 對(duì)于在電荷連續(xù)分布的電場(chǎng)中，點(diǎn)位移矢量對(duì)于在電荷連續(xù)分布的電場(chǎng)中，點(diǎn)位移矢量D D的的散度為：散度為：VVdSDdivDMSMlimlim根據(jù)高斯定理：根據(jù)高斯定理：VQdivDMlim即電位移即電位移D D的散度等于電荷分布的體密度。的散度等于電荷分布的體密度。23散度運(yùn)算的基本公式：散度運(yùn)算的基本公式：cdivAcAdiv)() 1 (divBdivABAdiv)()2(AgraduudivAuAdiv)()3(（c c為常數(shù)）為常數(shù)）(u(u為數(shù)性函數(shù)為數(shù)性函數(shù)) )24例例5 5： 已知已知 求求 。,zkyjxirexy

18、z)( rdiv由基本公式得：由基本公式得：rgraddivrrdiv)(3)(zkyjxidivdivr)(yzkxzjyzieegradgradxyzxyz故故xyzxyzxyzexyzxyzeerdiv)1 (333)(由于由于解：解：25l3.平面矢量場(chǎng)的通量與散度平面矢量場(chǎng)的通量與散度* 上面討論的是空間矢量場(chǎng)的通量和散度，用類似上面討論的是空間矢量場(chǎng)的通量和散度，用類似的方法可引入平面矢量場(chǎng)的通量和散度；的方法可引入平面矢量場(chǎng)的通量和散度； 為此將平面有向曲線上任一點(diǎn)處的法矢量為此將平面有向曲線上任一點(diǎn)處的法矢量n的方向的方向做這樣的規(guī)定：若將做這樣的規(guī)定：若將n按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)按

19、逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90度，它便度，它便與該點(diǎn)處的切向矢量與該點(diǎn)處的切向矢量t共線且同指向，如圖：共線且同指向，如圖：26通量定義通量定義（平面矢量場(chǎng)）（平面矢量場(chǎng)） 設(shè)有平面矢量場(chǎng)設(shè)有平面矢量場(chǎng)A(M),A(M),沿其中某一有向曲線沿其中某一有向曲線l的曲線的曲線積分積分 dlAln 叫做矢量場(chǎng)叫做矢量場(chǎng)A(M)A(M)沿法矢量沿法矢量n的方向穿過(guò)曲線的方向穿過(guò)曲線l的的通量通量 在直角坐標(biāo)系中，設(shè)在直角坐標(biāo)系中，設(shè)jyxQiyxPA),(),(又曲線又曲線l的單位法矢量的單位法矢量jdldxidldyjxtiytjynixnn),cos(),cos(),cos(),cos(027則通量則通量可表

20、示為：可表示為：QdxdyPdlnAdlAllln0 若若l為封閉平面曲線，取其逆時(shí)針為正方向，而且為封閉平面曲線，取其逆時(shí)針為正方向，而且對(duì)于環(huán)繞對(duì)于環(huán)繞l一周的曲線積分一周的曲線積分 來(lái)說(shuō)，默認(rèn)表示積分來(lái)說(shuō)，默認(rèn)表示積分沿沿l的正方向進(jìn)行。的正方向進(jìn)行。l據(jù)此，可引出散度的定義；據(jù)此，可引出散度的定義；28散度定義散度定義（平面矢量場(chǎng)）（平面矢量場(chǎng)） 設(shè)有平面矢量場(chǎng)設(shè)有平面矢量場(chǎng)A(M),A(M),于場(chǎng)中一點(diǎn)于場(chǎng)中一點(diǎn)M M的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)做的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)做已包含點(diǎn)已包含點(diǎn)M M在內(nèi)的任一閉曲線在內(nèi)的任一閉曲線l，設(shè)其所包圍的平面，設(shè)其所包圍的平面區(qū)域?yàn)閰^(qū)域?yàn)?，以，以S S表示其面積，以表示其面積，以表示從其內(nèi)表示從其內(nèi)穿出穿出l的通量，若當(dāng)?shù)耐?，若?dāng)以任意方式縮向點(diǎn)以任意方式縮向點(diǎn)M