數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

1、數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念考綱解讀I權(quán)威解讀 科學(xué)預(yù)測1. 理解復(fù)數(shù)的基本概念.2. 理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.3. 了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，能將 代數(shù)形式的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用點(diǎn)或向量表示，并能將 復(fù)平面上的點(diǎn)或向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)用代數(shù)形式表示.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念是高考?？純?nèi)容，要求不高，一 般以小題形式出現(xiàn).琴,點(diǎn)梳理爭恩劫筆夯尖握拙【自查自糾】1. -1運(yùn)算律2. 實(shí)部 虛部 b= 0b0a= 0 b工03. a= c且 b= d a = b = 04. 實(shí)數(shù)原點(diǎn)純虛數(shù)5. 對應(yīng)6. |z|a2+ b27. 共軛復(fù)數(shù)z8. 整數(shù)集(Z)有理數(shù)集(Q)實(shí)數(shù)集(R)基甜I自淑！I |小易全活牛刀小

2、賦E1 (2013福建)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)2 = 1 +z= (x2 1) + (x 1)i為純虛數(shù)，則實(shí))11(2012湖北)方程x2 + 6x + 13= 0的一個(gè)根是B . 0D. 1 或 11. 虛數(shù)的單位為i，規(guī)定：i2 =，且實(shí)數(shù)與它進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加法、乘法的 仍然成立.2. 復(fù)數(shù)的概念形如：a+ bi(a, b R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a叫做復(fù)數(shù)的, b叫做復(fù)數(shù)的. 當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)a+ bi為實(shí)數(shù)； 當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)a+ bi為虛數(shù)； 當(dāng)且時(shí)，復(fù)數(shù)a+ bi為純虛數(shù).3. 復(fù)數(shù)相等的充要條件a+ bi= c + di(a, b, c, d R) ? ，特別地，a+ bi = 0? .

3、4. 在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示 ;虛軸上的點(diǎn)除 外都表示 .5. 復(fù)數(shù)z= a + bi(a, b R)與復(fù)平面上的點(diǎn) Z(a, b)、平面向量0Z都可建立 的關(guān)系(其中。是 坐標(biāo)原點(diǎn)).6. 復(fù)數(shù)的模向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)z= a + bi(a, b R)的模， 記作或 |a+ bi|.即 |z|= |a+ bi| = r =(r 0 r R).7. 共軛復(fù)數(shù)一般地，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為 ，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作.8. 數(shù)系的擴(kuò)充數(shù)集擴(kuò)充的過程是：自然數(shù)集(N) tttt復(fù)數(shù)集(C).數(shù)集的每一次擴(kuò)充，都使得在原有數(shù)集中能實(shí)施的運(yùn)算，在新的數(shù)集 中仍能

4、進(jìn)行，并且解決了在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不可 實(shí)施的矛盾.2i(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B .第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限若復(fù)數(shù)數(shù)x的值為(A .C .El3 + 2iB . 3+ 2i2 + 3iD. 2+ 3i已知 a 1 + 2ai = 4+ 4i(a C)，則復(fù)數(shù) aS (2012湖南)已知復(fù)數(shù)z= (3 + i)2(i為虛數(shù)單 位)，則 |z| =.典例解析 分英網(wǎng)折觸類潯通類型一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)F列命題中:(1) 在復(fù)數(shù)集中，任意兩個(gè)數(shù)都不能比較大??；(2) 若 z= m+ ni(m, n C),則當(dāng)且僅當(dāng) m= 0, n0 時(shí)，z為純虛數(shù)；(

5、3) 若(z1 z2)2 + (z2 Z3)2 = 0,貝V Z1 = z2= z3；(4) x+ yi = 1 + i? x= y= 1 ；(5) 若實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A . 0B . 1C . 2D . 3【評析】正確理解復(fù)數(shù)的概念，不要想當(dāng)然地認(rèn)為字母表示的數(shù)(特別是i的系數(shù))一定是實(shí)數(shù)，也不要 隨意將實(shí)數(shù)中的一些結(jié)論推廣到復(fù)數(shù)中去.對z= a+| a= 0,bi (a, b R), z為純虛數(shù)？z為實(shí)數(shù)？b = 0.F列命題中: 若 Zi - Z2 0，貝U Zi Z2； 若 Zi + z2= 0,貝U Zi = Z2= 0 ； z+

6、- = 0? z為純虛數(shù)； z = z? z R.正確的命題是類型二復(fù)平面的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義已知A, B是銳角三角形的兩內(nèi)角，則復(fù)數(shù)(sinA cosB) + (sinB cosA)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的 點(diǎn)位于()A .第一象限B .第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【評析】判斷復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上的位置，名師點(diǎn)津1 .處理與復(fù)數(shù)概念有關(guān)的問題，首先找準(zhǔn)復(fù)數(shù) 的實(shí)部與虛部，若復(fù)數(shù)為非標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，應(yīng)通過 代數(shù)運(yùn)算將其化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，然后根據(jù)定義解 題，復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題最基本的思想方 法.2 .熟練掌握復(fù)數(shù)部分的一系列概念，對于求解 復(fù)數(shù)題至關(guān)重要.以下三點(diǎn)請注意：(1) 對

7、于復(fù)數(shù)m+ ni,如果m, n C(或沒有明確界定m, n R)，則不可想當(dāng)然地判定m, n R.(2) 易誤認(rèn)為y軸上的點(diǎn)與純虛數(shù)一一對應(yīng).(3) 對于a + bi (a, b R)為純虛數(shù)的充要條件，只注意了 a= 0而漏掉了 bz0.3.復(fù)數(shù)的幾何意義(其中 a, b R).(2) |z|表示復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.(3) 0 引表示兩點(diǎn)的距離，即表示復(fù)數(shù)Z1與z2對應(yīng)的點(diǎn)的距離.課時(shí)彳乍業(yè)奄漏補(bǔ)紮 拓腕延忡只需判斷復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的正負(fù)即可，對題目中條 件A, B是銳角三角形的內(nèi)角”的挖掘是解決此題的關(guān) 鍵.若 茨(3n，于；則復(fù)數(shù)Z= (cos 0+ sin 0)1. (2013

8、四川)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn) A表示復(fù) 數(shù)Z,則圖中表示Z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()B.第二象限D(zhuǎn).第四象限A*yC0X+ (sin 0 cos 0)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于 ()A.第一象限C.第三象限類型三復(fù)數(shù)相等的充要條件關(guān)于x的方程x2 (2i 1)x+ 3m i = 0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)m的值是.【評析】依據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，構(gòu)造關(guān)于實(shí)數(shù)根X0與參數(shù)m的方程組是解決此類問題的有效 手段.(2012上海)若1+ 2i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+ bx+ c= 0的一個(gè)復(fù)數(shù)根，貝U ()B . b = 2, c= 3D. b = 2, c= 1A . b = 2, c= 3C. b = 2, c

9、= 1A.AB. BC.CD . D2.若a, b R, i為虛數(shù)單位，且(a + i) i = b+ i,則()A.a= 1, b= 1B.a= 1, b = 1C.a= 1, b= 1D.a= 1,b= 13.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+ 5i,2+ 3i對應(yīng)的點(diǎn)分別為A, B.若C為線段AB的中點(diǎn)，貝U C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.4 + 8iB.8+ 2iC.2+ 4iD.4+ i4.給出下列四個(gè)命題：滿足:1z= -的復(fù)數(shù)有1,z;若 a, b R 且 a = b,則(a b) + (a + b) i是純虛數(shù)；復(fù)數(shù)z R的充要條件是z=z ；在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示虛數(shù).

10、其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A . 0B. 1C. 2D. 3x2 + (m+ 2i)x + 2+ mi = 05. 設(shè)a, b R, i是虛數(shù)單位，則ab= 0”是 復(fù)數(shù)a+半為純虛數(shù)的()A .充分不必要條件B 必要不充分條件C .充分必要條件D.既不充分也不必要條件6. (2013新課標(biāo)I )若復(fù)數(shù)z滿足(3 4i)z=|4+3i|，則z的虛部為()4小4A . 4 B . 5 C . 4D . 57. (2013 上海)設(shè) m R, m2+ m 2 + (m2 1) i是純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位， 則m =.8 .設(shè)復(fù)數(shù) z = Iog2(m 3m 3) + i log2(m 3)(m

11、R)，若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線 x 2y+ 1 = 0上，貝U m的值為.9. 復(fù)數(shù)乙=2x 1 + i, Z2= y (3 y) i 相等，求 實(shí)數(shù)x, y的值.2 210 .已知 M= 1 , (m2 2m) + (m2+ m 2) i , P= 1, 1, 4i，若 M U P = P,求實(shí)數(shù) m 的值.11.已知關(guān)于x的方程 有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) m的值.旳加題復(fù)數(shù) z=mm_6 + (m2 2m 15) i,求m+ 3實(shí)數(shù)m,使得：(1) z是實(shí)數(shù)；(2) z是純虛數(shù)；(3) z所對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限.14.2復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算考 綱解讀|權(quán)威解讀 科學(xué)預(yù)刪目（2013

12、遼寧復(fù)數(shù)z= 亡的模為（）1 2A.2B2C. .2D. 2解:（-2了=乎.故選b.1. 能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算.2. 了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相加、相減的幾何意義.新課標(biāo)對復(fù)數(shù)的要求明顯降低，近幾年高考對復(fù) 數(shù)部分考查的相應(yīng)變化是難度降低，主要考查復(fù)數(shù)的 運(yùn)算大多以選擇、填空的形式出現(xiàn).考點(diǎn)梳理._ 1 i + 1 z=i 1(i 1)( i + 1) 已知i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z=口1 i 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在 x軸上，則a的值是（）1c 1A . 2 B. 2C*2D. 21.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則設(shè) z1 = a+ bi, z2= c+ di （a, b, c, d R）

13、，則(1) zi 2=；(2) Z1 Z2= ；(3) ； =(Z2 豐 0)2. 復(fù)數(shù)整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算法則 設(shè)zi, Z2都是復(fù)數(shù)，m, nZ,貝U（1）zm z；=（2）（zm）n=（zi z2）m=3. 復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)zi, z分別對應(yīng)的向量OZi, OZ2為鄰邊作平行四邊形 OZ1ZZ2，對角線oz表示的向量OZ就是. Z1 Z2對應(yīng)的向量是.解:(a 2i)2a 2i + ai + 22，因?yàn)閦對應(yīng)的點(diǎn)在x軸上，所以a = 2故選D.11 7i d （2012 江蘇）設(shè) a, b R, a + bi =7（i 為1 2i虛數(shù)單位），貝U a+ b的值為.11 7i(11

14、 7i)( 1 + 2i)25+ 15i解：=51 2i(1 2i)(1 + 2i)5+ 3i，即 a+ bi = 5 + 3i，所以 a+ b = 8故填 8.目 設(shè)復(fù)數(shù)Z1= 2 i ,22= 1 3i，則復(fù)數(shù)-+ z2的Z15虛部是.解:i Z2 i + = +Z152 i1 + 3i51 + 3iiZ2故復(fù)數(shù)卩-的虛部是1故填1.【自查自糾】1. (1)(a0+ (bd) i (2)(ac bd)+ (bc+ ad) i ac+ bd be ad.(3) c2+ d2 + c2+ d2 i2. (1)zm+n (2)zmn (3)zm zm3. 復(fù)數(shù)Z1 + z2所對應(yīng)的向量Z2Z1基

15、殆I自渙)I小劈全活牛刀呻試（2013浙江）已知i是虛數(shù)單位，則（1 + i）（2i)=()A . 3+ iB . 1 + 3iC. 3 + 3iD . 1 + i解：(1 + i)(2 i) = 2 + 2i + i i2= 1 + 3i.故 選B.典例解析類型一復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算Q2 -013 !的值. 廣丿2+ 2i 、2 21006.2解:x 10062 = - = , 2i.2i(1+ i) X2X2i【評析】復(fù)數(shù)的計(jì)算除了掌握基本運(yùn)算法則外,最好熟記一些常見算式運(yùn)算的結(jié)果，這對提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確度都有很大的幫助.如：（1 + i）2= 2i, （1i）2= 2i, （1 + i） （

16、1 i） = 2, i4n= 1, i4n+1= i, i4n+ 2=1, i4n+ 3= i (n N)等.i2013 + If ； 20M 82i 2014 822014 8=i + ( i) = (i +解：原式=|i +i2)8= (i - 1)24= (- 2i)4= 16.故填 16.類型二復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)(1)設(shè)復(fù)數(shù)4, z -z = 8,U =(zB. iz的共軛復(fù)數(shù)為z，若z+ z =若z不是純虛數(shù)，且|z|= r MQ 求證:一個(gè)實(shí)數(shù).解：(1)設(shè) z= a+ bi (a,由 z+ z = 4,得 a= 2, 得 b= 2,b R)，貝V z = a bi.又 z -z

17、= 8,貝U a2 + b2= 8,z=22i于是得J-2iz =22i或=-z =2+2i則-=,故選D.z2(2)證明：設(shè) z= a + bi (a, b R 且 aM 0,)貝y r = a2+ b2, z2= a2 b2+ 2abi.z a+ bia+ bi 1易知 22=2=,r + z 2a + 2abi 2a (a+ bi) 2a是一個(gè)實(shí)數(shù).r + z【評析】由于復(fù)數(shù)z的模|z|和共軛復(fù)數(shù)z都可用 復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部表示，因此解答有關(guān)復(fù)數(shù)的模與 共軛復(fù)數(shù)的題目時(shí)，可設(shè)復(fù)數(shù)為z= a+ bi (a, b R),這樣易于表示題目的條件和結(jié)論，具有較強(qiáng)的可操作 性，為解題創(chuàng)造了有利的條

18、件.變貳(2013陜西)設(shè)乙,Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A .若 |z1 引=0，則 z 1= Z2B .若 Z1 = z2,貝V z 1 = Z2C .若 |Z1= |Z2|,則 Z1 Z1 = Z2 Z2D .若 |Z1|= |Z2|,則 z1= Z解：設(shè) Z1= a+ bi, Z2= c+ di.若 |z1 Z2|= 0,貝V Z1 Z2= (a c) + (b d) i = 0,即卩 a = c, b= d, / z 1= z2, 故 A 正確；若 Z1= Z2，貝U a = c, b= d,二 z 1 = Z2, 故 B 正確；若 |z1|= |z2|,則 a2 + b2

19、 = c2 + d2, / Z1 -z 1 =Z2 -Z2，故C正確；而 D不一定成立，若 Z1= 1 + i3i , Z2= 2，則 |乙|= |z2|= 2，但 Z1 = 2 + 2 3i, z2 =4, z?故選 D.22注意：記住等式 z = |z| = |z | .名師點(diǎn)津I 揭示規(guī)律意結(jié)方出1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運(yùn)算的法則是進(jìn)行 復(fù)數(shù)運(yùn)算的理論依據(jù)，加減運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的合并 同類項(xiàng)，乘法法則類似于多項(xiàng)式乘法法則，除法運(yùn)算 則先將除式寫成分式的形式，再將分母實(shí)數(shù)化.2 .復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算多用于次數(shù)較低的運(yùn)算，但 應(yīng)用i、3的性質(zhì)可簡化運(yùn)算.注意下面結(jié)論的靈活運(yùn)2.1 + i 1

20、i2用：(1)(1 2= 2i; (2)= i,= i; (3) 32+31 i1 + i+1 = 0,其中 3= 2i.(4) in + in+ 1+ in+2+ in+ 3= 0(n N).3 .在進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，不能把實(shí)數(shù)集的運(yùn)算 法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來，如下面的結(jié)論，當(dāng)z C時(shí)，不是總成立的：(1)(zm)n= zmn(m, n為分?jǐn)?shù)); 若 zm= ，貝V m= n(zM 1)若 z1 + z2= 0，貝V z1 = Z2= 024. 注意利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，將zz轉(zhuǎn)化為|z| ,即復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算，常能使解題簡捷.課時(shí)作業(yè)宜端補(bǔ)駆擁展延仲1. (2013湖南)復(fù)數(shù)z= i +

21、i)( i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B .第二象限C.第三象限D(zhuǎn) .第四象限解：z= i + i2 = 1 + i在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)為(1, 1)，在第二象限.故選B.22. (2012課標(biāo))下面是關(guān)于復(fù)數(shù) z= 1+ i的四個(gè) 命題：P1： |z|= 2，P2： z2 = 2i,P3： Z的共軛復(fù)數(shù)為1 + i,P4： Z的虛部為一1.其中的真命題為()A. P2, P3B. P1 , p2C. P2, P4D. P3, P4解:2z=1 + i2 ( 1 i).(1+ i)( 1 i) = 1 i，z的模|z|= 2, p1為假命題；z2 = 2i, p2為真；z

22、=1 + i, P3為假；z的虛部為一1, P4為真.故選C.3.如果復(fù)數(shù)(2 bi) i (其中b R)的實(shí)部與虛部互 為相反數(shù)，則b=()A . 2 B . 2C . 1 D . 1解：(2 bi) i = b+ 2i,由題意知，b= 2故選 A. 4計(jì)算：(1 + i)16 (1 i)16 =()A. 256 B . 256i C . 0D . 256解：(1 + i)16 (1 i)16 = (1 + i)28 (1 i)28 = (2i)8 ( 2i)8= 0故選 C.5 .計(jì)算：i + i + i + i =()A . iB . 1解:2.3.2014i+ i + i + + i=

23、(i 1 i + 1) + (i 1 i + 1) + i 1 = i 1. 故選D.(1 + yl3i) 3 2 + i6.計(jì)算：(1 + i) 6+ 7+2?=()A . 0B . 1C . iD . 2i”(1 + 3i) 3 2 + i解：廠+(1 + i)1 + 2i(1+ ,3i) 2 ( 1+ ;3i)( 2+i) (12i)=(1 + i)亍 +52 (1+ j3i)( 1 + 3i)8.=3+ i =+ i = 2i.(2i) 8i故選D.7. (2013天津)已知a, b R, i是虛數(shù)單位若(a + i)(1 + i) = bi,則 a + bi =.解：/ (a + i

24、)(1 + i) = a + ai + i + i2 = a 1 + (a + 1) i a- 1 = 0,=bi.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得a = 1,a+ 1 = b,b = 2, a+ bi = 1 + 2i.故填8 .已知a R，若復(fù)數(shù)1 + 2i.z= (a2 3) (a + v 3)i 為.2013 a i純虛數(shù)，則=1+7 3i解：/ z為純虛數(shù)，a R，二a2 3= 0,a+ i., 3 工 0解之得a = .3.a i20133 i(3 i)(1 3i)1+ .3i 1 + ,;3i4i=i.故填i.z + az+ b9.已知復(fù)數(shù)z= 1 + i，若2 z+ 4 = 1 i,

25、求頭 z z+ 1數(shù)a, b的值.解：/ z= 1 + i,2 2z + az+ b(1 + i) + a (1 + i)+ b二 = z2 z+ 1(1 + i) 2( 1 + i)+ 1(a+ b) + ( a + 2) ii=(a+ 2) (a + b) i = 1 i.a + 2 = 1,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得解|_( a+ b) = 1, a= 1,之得b= 2.10. 已知復(fù)數(shù)Z1滿足一2)(1 + i) = 1 i (i為虛數(shù) 單位)，復(fù)數(shù)Z2的虛部為2，且Z1 是實(shí)數(shù)，求Z2.解：-(z1 2)(1 + i) = 1 i, - Z1= 2 i，設(shè) Z2 = a + 2i, a R

26、.Z1 Z2= (2 i)(a + 2i) = (2a + 2) + (4 a) i, T Z1 Z2 R , - a = 4, - Z2 = 4+ 2i.11. 已知復(fù)數(shù) 乙滿足：(1 + i) Z1 = 1 + 5i, Z2= a 一 2 i(a R)，若 |z1 z2|v|z1|,求 a 的取值范圍.1 + 5i解：.(1+ i)z1 = 1 + 5i, Z1 = 2 + 3i ,1 + i 1引=.13.于是 |Z1 z 2|= | (4 a) + 2i| = i；. (4 a) 2 + 4v . 13,即 a2 8a + 7v 0,解得 1 v av 7.所以a的取值范圍是(1, 7

27、).已知復(fù)數(shù)z滿足|z-牛2及z+ 4 R , 求z.解：設(shè) z= x+ yi (x, y R).根據(jù)|z 2| = 2，得：2 2(x 2) + y = 4,44又 z+ z = (x + yi) +.x+ yi4x4y ._=(x+ _22) + (y 22)i R ,x + yx + y、 弘仃一亠、所以 y 22= 0,即 yj x2+v2 = 0.x + yx 十 y Jx= 4,x= 0,x= 1,或(舍去)或或y= 0y= 0y= . 3聯(lián)立得：x= 1,所以z= 4或z= 1 3y=- ,3.I單元測試卷 （時(shí)間：1肌令曲 ：150一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共

28、60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.（2013江西）已知集合 M = 1 , 2, zi , i為虛 N= 3 , 4, M AN= 4，則復(fù)數(shù) z=（）2i B . 2i C. 4i D . 4i由 M nN= 4，可知 zi = 4，所以 z= 4i.故1 .數(shù)單位，A .解：選C.2.設(shè)a, b R, a = 0是 復(fù)數(shù)a+ bi是純虛數(shù)” 的（）A .充分而不必要條件B .必要而不充分條件D.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解：當(dāng)a= 0,且b工0寸，復(fù)數(shù)a + bi是純虛數(shù).故選B.3.平面內(nèi),A.C.解:(2013 廣東)若復(fù)數(shù)z滿足iz= 2 + 4i

29、，則在復(fù) z對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是()(2, 4)B . (2, 4)(4, 2)D . (4, 2)2 + 4iz= i = 4 2i，所以 z 在(4, 2).故選 C.)C. 8i由 iz= 2 + 4i 得復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是4. (1 + ,3i)3 =(A . 8 B . 8解：(1 + . 3i)3= (1 + . 3i)2 (1 + . 3i) = ( 2+ 2 .3 i)(1 + .3i) = 2 2 .3i + 2 . 3i + 6i2= 8(亦可利用(1 +yi).故選 A.z是復(fù)數(shù)z的共)D. 8i.3i)3= 8w3= 8，其中 w= 25. (2013安徽)設(shè)i是虛數(shù)單

30、位，軛復(fù)數(shù)，若z -zi + 2 = 2z,則z=(A . 1 + iB . 1 iC. 1 + iD . 1 i解：設(shè) z= a + bi (a, b R)，則 z -z i+ 2 = (a+ bi)(a22bi) i+ 2 = 2 + (a + b ) i = 2(a + bi)，由復(fù)數(shù)相等的充2 2要條件知 2a= 2, a + b = 2b.解得 a= 1, b= 1，即卩 z=1 + i.故選 A.6.對任意復(fù)數(shù) 則下列結(jié)論正確的是z=(A.|z- z| = 2yC.|z- z|2解：t z z = 2yi, 誤；而 z2= (x+ yi)2= x2 2-x2 + y2, |z| =

31、 x22 + y2= z|,7 .若 是虛數(shù)單位冗a.4x+ yi (x, y R), i為虛數(shù)單位，)B. z2= x2+ y2Djz|Wx|+ |y| |z-z = 2|y|,選項(xiàng) A , C 錯(cuò) y2+ 2xyi,選項(xiàng) B 錯(cuò)誤;|z|=2+ y2； (|x|+ |y|) = x2 + y2+ 2|xy|汰2 因此 |z|x|+ |y|.故選 D.sin2 0 1 + i (. 2cos 0+ 1)是純虛數(shù)(其中 i )，且0 0 , 2n，貝y 0的值為(3 5B. nC. n4 4vcos 0+ 1 工0 cos 0 警,sin2 0 1 = 0? sin2 0= 1,而 0 0,

32、2 n,冗二 0=.故選 A.4解:8.復(fù)數(shù):的值等于（解:a+ b=(i【I 2丿1 + 2i 是虛數(shù)單位，右1+-)n- 5D：或匚n44=(i)9= i.故選 D.=a + bi(a, b R)，則C. 2D?1+ 2i (1 + 2i) 易知 =1 + i3 1=2 + 2： = a + bi,31-a = - , b= ?, a + b = 2.故選 C.10.設(shè)復(fù)數(shù)Z1 = 1 + i, z2= 2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別是乙，Z2，則乙，Z2兩點(diǎn)間的距離為()A . 4 B . 2 . 2 C. 3D. 10解:解：z1 z2|= |1 + 3i| =12+ 32= .10.故選

33、 D.11.已知復(fù)數(shù)z=( 1 3；) 2,z是z的共軛復(fù)2,1 331212124 33 42 -i, o = 1, (i o) = i o = (i ) (q )=1.可知使(i o)n= 1成立的最小正整數(shù) n是12.故填12.2CO數(shù)，貝U z -z =(1A.4解:)1 B.2 3+ ih3+ i(1- . 3i) 2=2 (1+ , 3i)(3+ i)(1 . 3i)2 .3 2iz -z =83 13 1T + 4i, z = T 4i.3 1 上 1311T + 4i 才=屆+厲=4.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng) 寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. (10

34、分)已知z C, i是虛數(shù)單位，解關(guān)于 ： 的方程：解：設(shè) z= a+ bi(a, b R),則(a + bi)(a bi) 3i(a2 2bi) = 1 + 3i，即 a + b 3b 3ai = 1 + 3i.-2 2a + b 3b = 1,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義得| 3a = 3,z -z 3i z = 1 + 3i.a= 1,故選A.12 .復(fù)數(shù)z滿足|z|=|z+ 2 + 2i|,則|z+ i 1|的最小 值是(A.B. ,2 C. 2D. 5y R)，貝U x2 + y2= (x+2)2 + (y + 2)2 ,得 x + y + 2 = 0.|z +2x2 + 2 =2解：設(shè) z=

35、 x+ yi (x R,i 1| =:(x 1) 2+( y+1) 2.2.故選B.x2+ 1a = 1 , 解之得或b = 0b= 3. z= 1 或 z= 1 + 3i.(2 + 2i) 418 (12 分)計(jì)算：(1 3i) 玄.4 2 2 (1+ i) (1 + i)(2)亠 +1+ 2.3i5,解：(1)原式=5=5丨1八 2丨丄丄左.I2 2+ 2i二、填空題：本大題共 4小題，每小題 20分把答案填在題中橫線上.5分，共5i13 .(2013重慶)已知復(fù)數(shù)z= 1+2(i是虛數(shù)單位),則 |z| =解: Zh-5-1 + 2i5,故填15.5i( 7= 2+ i,皿(1 + 2i

36、)( 1 2i)14.若復(fù)數(shù)1 + i1 iz= 1i+ mw(i為虛數(shù)單位)為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m=.1 + i 1 i解: tz=+ m = i mi = (1 m) i 為實(shí)數(shù),1i 1+i1.z=廠，貝y z五 1 + i 解：一 z= 1 i =忑-z + z + 1 = i + i + 1= i + i + 1= i.故填 i.1 x/3n16 .設(shè)i是虛數(shù)單位，o= +p，則使得(i o) m= 1故填：1+ z50+1=z2 = i.=1成立的最小正整數(shù) n =解：t f = 1, i3 = i, i4 = 1, o= 2+,2(2i) 4-=-2 = 2o= 2 2 +2 o 2

37、o=1+ . 3i.其中。= 1+ i, q3= 1.、i (1 + M)：阻原式=1 + 2 3i +_1-i210072i=i + i1007= i + 嚴(yán)51 +3= i + i3= 0.19. (12分)已知復(fù)數(shù)z,且z+ 2i,-均為實(shí)數(shù)，2 i復(fù)數(shù)(z+ ti)2在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù) t的取值范圍.解：設(shè) z= a + bi(a, b R)，貝U z+ 2i= a+ (b+ 2)i,由題意得b = 2，即z= a 2i,z a 2i 212? 1 = 2(a+ 1)+ 5(a- 4)i，由題意得 a = 4, - z= 4 2i. (z+ ti)2 = 4 + (t 2)i 2= (12 + 4t 12)+ 8(t 2)i12+ 4t t2V 0,8 (t 2) 0.在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,解之得t 6,實(shí)數(shù)t的取值范圍是(6, + a).z一 220 .(12分)已知3= z+ i(z C)，且z2為純虛數(shù)，求M= 3+ 1|2+ 31|2的最大值及相應(yīng)的3值.解：設(shè) z= a+ bi(a, b R),2 2z