第3講 多邊形及其內(nèi)角和知識點

1、第3講 多邊形及其內(nèi)角和（11.3）一、知識點總結(jié) 定義：由三條或三條以上的線段首位順次連接所組成的封閉圖形叫做多邊形。 凸多邊形 分類1： 凹多邊形正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。 分類2：多邊形非正多邊形：1、n邊形的內(nèi)角和等于180（n-2）。 多邊形的定理 2、任意凸形多邊形的外角和等于360。 3、n邊形的對角線條數(shù)等于1/2n（n-3） 只用一種正多邊形：3、4、6/。 鑲嵌拼成360度的角 只用一種非正多邊形（全等）：3、4。知識點一：多邊形及有關(guān)概念1、 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形. （1）多邊形的一些要素： 邊：組成

2、多邊形的各條線段叫做多邊形的邊 頂點：每相鄰兩條邊的公共端點叫做多邊形的頂點 內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個n邊形有n個內(nèi)角。 外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。（2）在定義中應(yīng)注意： 一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù)）； 首尾順次相連，二者缺一不可; 理解時要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個條件,其目的是為了排除幾個點不共面的情況,即空間 多邊形. 2、多邊形的分類:(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個多邊形都在這 條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是

3、指凸 多邊形. 凸多邊形 凹多邊形 圖1 (2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角 形是邊數(shù)最少的多邊形知識點二：正多邊形各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。 正三角形 正方形 正五邊形 正六邊形 正十二邊形要點詮釋：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可. 如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形知識點三：多邊形的對角線多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線. 如圖

4、2，BD為四邊形ABCD的一條對角線。要點詮釋：(1)從n邊形一個頂點可以引(n3)條對角線，將多邊形分成(n2)個三角形。(2)n邊形共有條對角線。證明：過一個頂點有n3條對角線(n3的正整數(shù))，又共有n個頂點，共有n(n-3)條對角線，但過兩個不相鄰頂點的對角線重復(fù)了一次，凸n邊形，共有條對角線。知識點四：多邊形的內(nèi)角和公式1.公式：邊形的內(nèi)角和為.2.公式的證明：證法1：在邊形內(nèi)任取一點，并把這點與各個頂點連接起來，共構(gòu)成個三角形，這個三角形的內(nèi)角和為，再減去一個周角，即得到邊形的內(nèi)角和為.證法2：從邊形一個頂點作對角線，可以作條對角線，并且邊形被分成個三角形，這個三角形內(nèi)角和恰好是邊形

5、的內(nèi)角和，等于.證法3：在邊形的一邊上取一點與各個頂點相連，得個三角形，邊形內(nèi)角和等于這個三角形的內(nèi)角和減去所取的一點處的一個平角的度數(shù)，即.要點詮釋：(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用： 已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和； 已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。 知識點五：多邊形的外角和公式1.公式：多邊形的外角和等于360. 2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補角，所以邊形的內(nèi)角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。要點詮釋：(1)外角和公式的應(yīng)用： 已知外角度數(shù)，

6、求正多邊形邊數(shù)； 已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù). (2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系： n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180(n3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加 1條邊，內(nèi)角和增加180。 多邊形的外角和等于360，與邊數(shù)的多少無關(guān)。知識點六：鑲嵌的概念和特征1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。2、實現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點的各個角的和恰好等于360；相鄰的多邊形有公共邊。3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：(1)用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公

7、用；在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360。(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面對于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個平面圖形，且不留一點空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點。當圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角360時，就能鋪成一個平面圖形。事實上，正n邊形的每一個內(nèi)角為，要求k個正n邊形各有一個內(nèi)角拼于一點，恰好覆蓋地面，這樣360，由此導(dǎo)出k2，而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪

8、成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面用兩種或兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖： 又如，用一個正三角形、兩個正方形、一個正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因為它們的交接處各角之和恰好為一個周角360。規(guī)律方法指導(dǎo)1內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少. 每增加一條邊，內(nèi)角的和 就增加180（反過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180的整

9、數(shù)倍.2多邊形外角和恒等于360，與邊數(shù)的多少無關(guān).3多邊形最多有三個內(nèi)角為銳角，最少沒有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個鈍角，最少 沒有鈍角.4在運用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時，常與方程思想相結(jié)合，運用方程思想是解決本節(jié) 問題的常用方法.5在解決多邊形的內(nèi)角和問題時，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決. 三角形是一種基本圖形，是 研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.二、經(jīng)典例題透析類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用1一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？總結(jié)升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運用. 只要設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關(guān)于的

10、方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.舉一反三：【變式1】若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800，求這個多邊形的邊數(shù).【變式2】一個多邊形除了一個內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750，求這個多邊形的內(nèi)角和是多少？ 【答案】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為，這個內(nèi)角為，.【變式3】一個多邊形的內(nèi)角和與某一個外角的度數(shù)總和為1350，求這個多邊形的邊數(shù)。類型二：多邊形對角線公式的運用【變式1】一個多邊形共有20條對角線，則多邊形的邊數(shù)是（ ）.A6 B7 C8 D9【變式2】一個十二邊形有幾條對角線?？偨Y(jié)升華：對于一個n邊形的對角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律條，牢記這個公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入

11、即可求出對角線的條數(shù)，要記住這個公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題【變式1】如圖所示，1+2+3+4+5+6=_. 【變式2】如圖所示，求ABCDEF的度數(shù)。類型四：實際應(yīng)用題4如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？思路點撥：根據(jù)多邊形的外角和定理解決.舉一反三：【變式1】如圖所示，小亮從A點出發(fā)前進10m，向右轉(zhuǎn)15，再前進10m，又向右轉(zhuǎn)15，這樣一直走下去，當他第一次回到出發(fā)點時，一共走了_m.【變式2】小華從點A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36，然后繼續(xù)向前走10米，再向右轉(zhuǎn)36，他以同樣的方法繼

12、續(xù)走下去，他能回到點A嗎？若能，當他走回點A時共走了多少米？若不能，寫出理由?！咀兪?】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊ABCF，CDAE. 按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80角，因交點不在模板上，不便測量. 這時師傅告訴徒弟只需測一個角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測哪一個角嗎？說明理由. 思路點撥：本題中將AB、CD延長后會得到一個五邊形，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為540，又由ABCF，CDAE，可知BAE+AEF+EFC=360，從540中減去80再減去360，剩下C的度數(shù)為100，所以只需測C的度數(shù)即可，同理還可直接測A的度數(shù).總結(jié)升華：本題實際上是多邊形內(nèi)

13、角和的逆運算，關(guān)鍵在于正確添加輔助線. 類型五：鑲嵌問題5分別畫出用相同邊長的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計圖。(1)正方形和正八邊形；(2)正三角形和正十二邊形；(3)正三角形、正方形和正六邊形。思路點撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。解析：正三角形、正方形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形的每一個內(nèi)角分別是60、90、120、135、150。(1)因為902135360，所以一個頂點處有1個正方形、2個正八邊形，如圖(1)所示。(2)因為602150360，所以一個頂點處有1個正三角形、2個正十二邊形，如圖(2)所示。(3)因為602901203

14、60，所以一個頂點處有1個正三角形、1個正六邊形和2個正方形，如圖(3) 所示?？偨Y(jié)升華：用兩種以上邊長相等的正多邊形組合成平面圖形，實質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個周角”的問題。舉一反三：【變式1】分別用形狀、大小完全相同的三角形木板；四邊形木板；正五邊形木板；正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是( )A、B、C、D、解析：用同一種多邊形木板鋪地面，只有正三角形、四邊形、正六邊形的木板可以用，不能用正五邊形木板，故【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8，則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是( )A、4B、5C、6D、8【答

15、案】A（提示：先算出正八邊形一個內(nèi)角的度數(shù)，再乘以2，然后用360減去剛才得到的積，便得到第三塊木板一個內(nèi)角的度數(shù)，進而得到第三塊木板的邊數(shù)）三、綜合練習(xí)一、選擇題：1.一個多邊形的內(nèi)角和是720,則這個多邊形是( ) A.四邊形 B.五邊形 C.六邊形 D.七邊形2.一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍少180,這個多邊形的邊數(shù)是( ) A.5 B.6 C.7 D.83.若正n邊形的一個外角為60,則n的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.84.下列角度中,不能成為多邊形內(nèi)角和的是( ) A.600 B.720 C.900 D.10805.若一個多邊形的內(nèi)角和與外角和之和是1800,則此

16、多邊形是( ) A.八邊形 B.十邊形 C.十二邊形 D.十四邊形6.下列命題：多邊形的外角和小于內(nèi)角和,三角形的內(nèi)角和等于外角和,多邊形的外角和是指這個多邊形所有外角之和,四邊形的內(nèi)角和等于它的外角和.其中正確的有( )A.0個 B.1個 C.2個 D.3個7.一個多邊形的邊數(shù)增加2條，則它的內(nèi)角和增加 ( )A.180 B.90 C. 360 D.5408.過多邊形的一個頂點可以作7條對角線，則此多邊形的內(nèi)角和是外角和的( ) A.4倍 B.5倍 C.6倍 D.3倍9.在四邊形中，、的度數(shù)之比為2343，則的外角等于( )A.60 B.75 C.90 D.12010.在各個內(nèi)角都相等的多邊

17、形中，一個內(nèi)角是與它相鄰的一個外角的3倍，那么這個多邊形的邊數(shù)是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 1011.如圖，ABCDEF,則下列各式中正確的是 ( )A.123180 B.12390C.12390 D.23118012.在下列條件中：中，能確定是直角三角形的條件有( ). . . .二、填空題1.五邊形的內(nèi)角和等于_度.2.若一凸多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和,則它的邊數(shù)是_.3.正十五邊形的每一個內(nèi)角等于_度.4.十邊形的對角線有_條.5.內(nèi)角和是1620的多邊形的邊數(shù)是_.6.一個多邊形的每一個外角都等于36，那么這個多邊形的內(nèi)角和是 .7.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，

18、則這個多邊形是 邊形.8.已知等腰梯形ABCD中，ADBC,若B=D，則A的外角是 . 9題圖9.如圖在ABC中，D是ACB與ABC的角平分線的交點，BD的延長線交AC于E，且EDC=50，則A的度數(shù)為 . 10.如圖，在六邊形ABCDEF中，AFCD，ABDE，且A =120，B=80，則C的度數(shù)是，D的度數(shù)是 10題圖三、計算題1.一個多邊形的每一個外角都等于45,求這個多邊形的內(nèi)角和.2.一個多邊形的每一個內(nèi)角都等于144，求它的邊數(shù).3.如果四邊形有一個角是直角，另外三個角的度數(shù)之比為234，那么這三個內(nèi)角的度數(shù)分別是多少？4.一個正多邊形的一個內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6，求這個正多邊形的邊

19、數(shù).5. 已知多邊形的內(nèi)角和等于1440，求(1)這個多邊形的邊數(shù)，(2)過一個頂點有幾條對角線，(3)總對角線條數(shù). 6.一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù)；7.已知一多邊形的每一個內(nèi)角都相等，它的外角等于內(nèi)角的，求這個多邊形的邊數(shù)；8.一多邊形內(nèi)角和為2340，若每一個內(nèi)角都相等，求每個外角的度數(shù).9.已知四邊形ABCD中,A:B=7:5,A-C=B,C=D-40, 求各內(nèi)角的度數(shù).10.一個多邊形,除一個內(nèi)角外,其余各內(nèi)角之和等于1000,求這個內(nèi)角及多邊形的邊數(shù).11.如圖,一個六邊形的六個內(nèi)角都是120,AB=1,BC=CD=3,DE=2,求該六邊形的周長.毛四、拓展練習(xí)1. 探究：（1）如圖與有什么關(guān)系？為什么？（2）把圖沿折疊，得到