摩爾庫侖模型與其在FLAC3D中的應(yīng)用

1、摩爾-庫侖模型及其在FLAC3D中的應(yīng)用摘要: 本文首先闡述了塑性流動理論的增量方程，結(jié)合摩爾庫侖破壞準則和拉伸破壞準則形成了FLAC3D中采用的摩爾庫侖本構(gòu)模型，并指出不同的應(yīng)力計算值條件下的計算方法。最后通過模型試驗與解析方法進行對比，發(fā)現(xiàn)FLAC3D計算結(jié)果與簡單模型下精確的解析解吻合較好，但在變性較大時逐漸出現(xiàn)一定偏差。關(guān)鍵詞: 摩爾-庫侖模型，增量方程，流動法則，F(xiàn)LAC3D1. 塑性流動理論的增量方程一般情況下，破壞準則可表示為 （1） 式中，為已知屈服函數(shù)，用來判定塑性流動開始產(chǎn)生。在主應(yīng)力空間中，為一曲面，落在曲面內(nèi)的應(yīng)力點為彈性狀態(tài)。塑性狀態(tài)下的應(yīng)變增量可表示為彈性應(yīng)變增量和

2、塑性應(yīng)變增量之和： （2）彈性應(yīng)變增量和彈性應(yīng)力增量的關(guān)系表示為： （3）式中，為彈性應(yīng)變增量的線性方程。流動法則規(guī)定了塑性應(yīng)變增量向量的方向，即與塑性勢面的方向垂直，表示為： （4）得到的新的應(yīng)力矢量應(yīng)滿足屈服方程： （5）式（5）提供了一個估計塑性應(yīng)變增量矢量的表達式。將式（2）代入式（3），且考慮到為線性函數(shù)，得： （6）再將流動法則（4）代入得： （7）假定破壞函數(shù)為線性函數(shù)，式（5）可表示為： （8）式中，代表函數(shù)減去其常量值，。對于位于屈服面上的應(yīng)力點，式（8）可轉(zhuǎn)化為， （9）此時，定義新的應(yīng)力分量為： （10） （11）根據(jù)式（11），可得： （12）綜合式（9），（12），可

3、得： （13）根據(jù)應(yīng)力增量表達式（7），估算應(yīng)力（11），新的應(yīng)力（10）可表示為： （14）2. 莫爾庫倫模型（IN FLAC3D）莫爾庫倫模型的破壞包線包括兩部分，一段剪切破壞包線和一段拉伸破壞包線。與剪切破壞相對應(yīng)的是相關(guān)聯(lián)的流動法則，與拉伸破壞對應(yīng)的是不相關(guān)聯(lián)的流動法則。 在FLAC3D中，莫爾庫倫模型表示在，主應(yīng)力空間中，對應(yīng)的應(yīng)變分量為主應(yīng)變，。 彈性增量方程主應(yīng)力空間中，虎克定律的增量表達式可寫為， （15）式中，和為由剪切模量和體積模量定義的材料常數(shù)。 (16)根據(jù)式（3），式（15）可改寫為： （17）復(fù)合破壞準則莫爾庫倫模型所采用的破壞準則為摩爾庫侖準則和最大拉應(yīng)力準則。三

4、個主應(yīng)力為。破壞準則在面表示如圖1。圖1 FLAC3D莫爾庫倫破壞準則破壞包線，在A到B上由莫爾庫倫準則定義， （18）在B到C上由拉伸破壞準則定義， （19）式中，為摩擦角，為粘聚力，為抗拉強度 (20)由圖1可見，材料的抗拉強度不能超過和交點對應(yīng)的值，因此抗拉強度的最大值為 (21)2.3 流動法則塑性勢面由兩個方程來描述，和，分別用來定義剪切塑性流動和拉伸塑性流動。函數(shù)為不相關(guān)聯(lián)的流動法則， （22）式中，為膨脹角， （23）函數(shù)為相關(guān)聯(lián)的流動法則， （24）統(tǒng)一的流動法可由函數(shù)定義，為和的對角線，如圖2所示。 (25) (26) (27)圖2 莫爾庫倫模型流動法則當由式（11）計算出的

5、對應(yīng)的應(yīng)力點落在圖2所示domain 1中，產(chǎn)生剪切破壞，應(yīng)力點在相應(yīng)曲線上，流動法則由塑性勢方程推得。如果點落在domain 2中，發(fā)生拉伸破壞，新的應(yīng)力點在上，由流動法則推出。2.4 塑性修正首先考慮剪切破壞的情況。式（22）進行偏微分可得： （28）將，代換，式（17）變?yōu)椋?（29）由式（14），（18）可得： （30） 且， （31）考慮拉伸破壞的情況，類似方法可得： （32）3. FLCA3D執(zhí)行方法當在FLCA3D中運行莫爾庫倫模型時，首先通過將由虎克定律計算出的應(yīng)力增量疊加到原有應(yīng)力上計算（），這時可計算出主應(yīng)力。如果主應(yīng)力達到破壞準則，進入domain 1或者domain 2

6、。在第一種情況下，產(chǎn)生剪切破壞，,由式（30）求得；在第二種情況下，產(chǎn)生拉伸破壞，,由式（32）求得。如果應(yīng)力點在平面上落在包線內(nèi)部，那么表明在這一步計算中沒有出現(xiàn)塑性流動，新的主應(yīng)力為。4. 模型驗證如圖3所示，x，z方向主應(yīng)力相等，邊界條件為 （33）式中，是試樣y方向的恒定變形速率，L為試樣高度。圖3 模型實驗邊界條件在FLAC3D中，采用一單元進行模擬，計算坐標（0，1，0）在指定豎向位移下的豎向應(yīng)力并與解析解對比，結(jié)果如圖4，5。經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)，解析解與數(shù)值解吻合較好，當點的豎向位移較大時，存在偏差。5結(jié)論將塑性理論的增量模型及摩爾庫侖準則和拉伸破壞準則相結(jié)合，形成FLAC3D中采用的摩

7、爾庫侖模型。針對不同的應(yīng)力計算值，在FLAC3D中采用不同的處理方法。最后通過模型試驗與解析方法進行對比，發(fā)現(xiàn)FLAC3D計算結(jié)果與簡單模型下精確的解析解吻合較好，但在變形較大時逐漸出現(xiàn)一定偏差。圖4 vs Sy (膨脹角100)圖5 vs Sy (膨脹角00)6. 參考文獻1 Itasca Consulting Group, Inc. FLAC3D User Manuals, Version 2.1, Minneapolis, Minnesota, 2002.62 Wood，D.M. Soil Behavior and Criterion State Soil Mechanics. Cambridge: