完整版容斥原理例題

1、I I Tlj*lOC學(xué)科：奧數(shù)教學(xué)內(nèi)容：第四講容斥原理（二）上一講我們已經(jīng)初步研究了簡(jiǎn)單的容斥原理，今天我們繼續(xù)研究較復(fù)雜的容斥問題。例1五年級(jí)一班有45名同學(xué)，每人都積極報(bào)名參加暑假體育訓(xùn)練班，其中報(bào)足球班的有25人，報(bào)籃球班的有 20人，報(bào)游泳班的有 30人，足球、籃球都報(bào)者有 10人，足球、 游泳都報(bào)者有10人，足球、籃球都報(bào)者有 12人。請(qǐng)問：三項(xiàng)都報(bào)的有多少人？分析：由于問題比較復(fù)雜，我們把它簡(jiǎn)化成下圖要計(jì)算陰影部分的面積，我們記AH B為圓A與圓B公共部分的面積，BH C為圓B與圓C公共部分的面積， AH C表示圓A與圓C 的公共部分的面積，x為陰影部分的面積則圖形蓋住的面積為：

2、A+B+C-AH B-BH C-AH C+X請(qǐng)同學(xué)們注意：陰影部分的面積先加了3次，然后又被減了 3次，最后又加了 1次。解答：設(shè)三項(xiàng)都報(bào)的有x人，由容斥原理有30+25+20-10-10-12+x=45解得x=2。答：三項(xiàng)都報(bào)名的有 2人。說明：在“ A+B+C-AH B-BH C-AH C+X式中，A, B, C, AH B, BH C, AH C, x 和總量 這8個(gè)數(shù)中，只要知道了 7個(gè)數(shù)，就可通過列方程求出第8個(gè)數(shù)。例2 從1至1000這1000個(gè)自然數(shù)中，不能被 3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一 共有多少個(gè)？分析：第一步先求出：能被 3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有多少

3、個(gè)？第二 步再求出：不能被3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有多少個(gè)？能被 3整除的自然數(shù) 的個(gè)數(shù)+能被5整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)+能被7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)一（既能被3整除又能被5整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)+既能被3整除又能被7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù) +既能被5整除又能被7 整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)）+能同時(shí)被3、5、7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)=能被3、5、7中任何一個(gè)自 然數(shù)整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。解答：能被3整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000- 3=3331有 333 個(gè)。能被5整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000- 5=200有 200 個(gè)。能被7整除的自然數(shù)有多少個(gè)？1000-7=1426有 142 個(gè)。既能被3整除又能被5整除

4、的自然數(shù)有多少個(gè)？1000- 15=6610 有 66 個(gè)。既能被3整除又能被1000 - 21=47 13既能被5整除又能被1000 - 35=28 207整除的自然數(shù)有多少個(gè)? 有4個(gè)。7整除的自然數(shù)有多少個(gè)? 有28個(gè)。能同時(shí)被3、5、7整除的自然數(shù)的個(gè)數(shù)有多少個(gè)?1000+( 3X 5X 7) =955 有 9 個(gè)。能被3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有：333+200+142( 66+47+28) +9=457 個(gè)。所以不能被3、5、7中任何一個(gè)自然數(shù)整除的數(shù)一共有：1000 543=457例3 某個(gè)班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒

5、有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀。這部分達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑游泳游泳籃球籃球短跑短跑、游 泳、籃球1718156652請(qǐng)問：這個(gè)班有多少名學(xué)生?分析：本題是較復(fù)雜的容斥原理的題目， 可以畫一個(gè)長(zhǎng)方形表示全班學(xué)生， 再畫三個(gè)相 交的圓分別表示短跑、 游泳、籃球得優(yōu)秀的學(xué)生。注意計(jì)算短跑人數(shù)+游泳人數(shù)+籃球人數(shù)時(shí), 短跑游泳人數(shù)、游泳籃球人數(shù)、籃球短跑人數(shù)分別被算過兩次， 而短跑游泳籃球人數(shù)則被計(jì)算了 3次。G=短跑游泳籃球三項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) D= 只有短跑游泳兩項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) E= 只有游泳籃球兩項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) F=只有籃球短跑兩項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)=2=短跑、游泳優(yōu)秀人數(shù)=游泳、籃球

6、優(yōu)秀人數(shù)=籃球、短跑優(yōu)秀人數(shù)-短跑游泳籃球三項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)-短跑游泳籃球三項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)-短跑游泳籃球三項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)=6-2=4=6-2=4=5-2=3解答：至少一項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)=短跑人數(shù)+游泳人數(shù)+籃球人數(shù)-(短跑游泳人數(shù)+游泳籃球人 數(shù)+籃球短跑人數(shù))+短跑游泳籃球人數(shù)=17+18+15- ( 6+6+5) +2=35所以 全班人數(shù)=至少一 項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)+未得優(yōu)秀人數(shù)=39。說明：本題解中的公式是三個(gè)不同集合相互相交而得的問題所用的容斥原理公式，本題如圖所示，圖中分成8個(gè)部分:也可依次計(jì)算圖中每一小塊所代表的集合的人數(shù)最后再求和。人=只有短跑一項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) =短跑優(yōu)秀人數(shù)-(D+G+F =17- (4+2+

7、3) =8有游泳一項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù) =游泳優(yōu)秀人數(shù)-(D+G+E =18- (4+2+4) =8C=H有籃球一項(xiàng)優(yōu)秀人數(shù)=籃球優(yōu)秀人數(shù)-(E+G+F =15- (4+2+3) =6H= 三個(gè)項(xiàng)目均未達(dá)到優(yōu)秀人數(shù) =4;所以 A+B+C+D+E+F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39例4 如下圖，在長(zhǎng)方形 ABCD中, AD=15厘米，AB=8厘米，四邊形 OEFG的面積是9平 方厘米。請(qǐng)問：陰影部分的面積是多少平方厘米？分析：注意到三角形 ABD三角形ACD面積的和比所求的陰影部分多算了三角形 AED與 三角形DOG面積的和，而這兩個(gè)三角形的面積和可由三角形AFD的面積減去四邊形 OEFG

8、勺面積得到，這樣就可以求出陰影部分的總面積。解答：三角形ABD三角形AFD三角形ACD都可以AD為底，AB為高，故它們的面積 都等于 ACK AB- 2=15X 8-2=60 （平方厘米）。陰影部分面積=（三角形ABD面積+三角形ACD面積）一（三角形AFD面積-四邊形DEFG面積） =（60+60） - （60-9 ） =69 （平方厘米）。說明：本題還有其它（例 3的第2中方法）的方法，請(qǐng)你想一想。例5某班同學(xué)參加期末測(cè)試，得優(yōu)秀成績(jī)的人數(shù)如下：數(shù)學(xué)20人，語(yǔ)文20人，英語(yǔ)20人，數(shù)學(xué)、英語(yǔ)兩科都是優(yōu)秀成績(jī)的有8人，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文兩科成績(jī)都是優(yōu)秀的有 7人，語(yǔ)文、英語(yǔ)兩科成績(jī)都是優(yōu)秀的有9人，

9、三科都沒得優(yōu)秀成績(jī)的有 3人。請(qǐng)問：這個(gè)班最多有多少人？最少有多少人？分析：如下圖，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)得優(yōu)秀成績(jī)的的同學(xué)都包含在這個(gè)班中，設(shè)這個(gè)班有 y人，用長(zhǎng)方形表示.A、B C分別表示數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)得優(yōu)秀成績(jī)的的人，由已知有AnC=8, An B=7, Bn C=9, An Bn c=x.解答：由容斥原理有Y=A+B+C-An B-An C-Bn C+An Bn c+3即 y=20+20+20-7-8-9+x+3=39+x。以下我們考慮如何求 y的最大值與最小值。由y=39+x可知，當(dāng)x取最大值時(shí)，y也取最大值；當(dāng)x取最小值時(shí)，y也取最小值。因 為x是數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、英語(yǔ)三科都得優(yōu)秀成績(jī)的人數(shù)

10、，所以他們中的人數(shù)一定不超過兩科得優(yōu)秀成績(jī)的人數(shù)，即 x=7, x=8且x=9，由此我們得到x=7.另一方面數(shù)學(xué)得優(yōu)秀成績(jī)的的同學(xué) 有可能語(yǔ)文都沒得優(yōu)秀成績(jī)的，也就是說也有這種可能：沒有三科都得優(yōu)秀成績(jī)的的同學(xué)， 故 x=0，故 x =0 或 x=7。當(dāng)x取最大值7時(shí)，y有最大值39+ 7=46，當(dāng)x取最小值0時(shí)，y有最小值39 + 0=39。 答：這個(gè)班最多有 46人，最少有39人。例6 五年級(jí)2班有46名學(xué)生參加三項(xiàng)課外興趣活動(dòng)，其中24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語(yǔ)文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組又參加文藝小組人數(shù)的3.5倍，又是三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組又參加

11、語(yǔ)文小組相當(dāng)于三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的2倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的學(xué)生有10人。請(qǐng)問：參加文藝小組的學(xué)生有多少人？分析：這里涉及了三個(gè)對(duì)象：數(shù)學(xué)小組、語(yǔ)文小組、文藝小組，然而從題目的敘述來(lái)看，在容斥原理的等式中都涉及了一個(gè)關(guān)鍵的量，即三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)。因而必須先求出這個(gè)三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)。再利用參加文藝小組的人數(shù)與它的關(guān)系即可求解。解答：設(shè)三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)為 x,根據(jù)題意得參加文藝小組的人數(shù)為 7x，既參加數(shù)學(xué) 小組又參加文藝小組的人數(shù)為 7x - 3.5=2x，既參加文藝小組又參加語(yǔ)文小組的人數(shù)為 2x。 根據(jù)容斥原理可以得到下面等式：24+20+7X- （2x+2x+10） +x=

12、464x=16x=3人所以：7x=21人。所以：參加文藝小組的學(xué)生有21人。說明：在很多問題中涉及一個(gè)基準(zhǔn)量，經(jīng)過分析找到這個(gè)基準(zhǔn)量后，問題便可以解決。閱讀材料“1名數(shù)學(xué)家=10個(gè)師”的由來(lái)第二次世界大戰(zhàn)中，美國(guó)曾經(jīng)宣稱：一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的作用超過10個(gè)師的兵力。你可知這句話的由來(lái)嗎？1943年以前，在大西洋上英美運(yùn)輸船隊(duì)常常受到德國(guó)潛艇的襲擊，當(dāng)時(shí)，英美兩國(guó)限 于實(shí)力，無(wú)力增派更多的護(hù)航艦，一時(shí)間，德軍的”潛艇戰(zhàn)”搞得盟軍焦頭爛額。為此，有位美國(guó)海軍將領(lǐng)專門去請(qǐng)教了幾位數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家們運(yùn)用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，艦隊(duì)與敵潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件，按數(shù)學(xué)角度來(lái)看這一問題，它有一定的規(guī)律。一定數(shù)量的船（

13、如100艘）編隊(duì)規(guī)模越小，編次就越多（如每次20艘，就要有5個(gè)編次）；編次越多，與敵人相遇的概率就越大。比如5位同學(xué)放學(xué)都回自己家里，老師要找一位同學(xué)的話，隨便去哪家都行，但若這5位同學(xué)都在其中某一家的話，老師要找?guī)准也拍苷业剑?一次找到的可能性只有20%美國(guó)海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，命令船隊(duì)在指定海域集合，再集體通過 危險(xiǎn)海域，然后各自駛向預(yù)定港口。 結(jié)果奇跡出現(xiàn)了：盟軍艦隊(duì)遭襲被擊沉的概率由原來(lái)的 25%降低為1%大大減少了損失，保證了物資的及時(shí)供應(yīng)。練習(xí)題1 如下圖，長(zhǎng)方形長(zhǎng)為 4厘米，寬為3厘米，請(qǐng)你求出四邊形 GHEF勺面積。分析與解答：所求四邊形四條邊的長(zhǎng)都不知道，我們還不會(huì)直接求它

14、的面積由于所求四邊形面積與 4個(gè)三角形面積之和等于長(zhǎng)方形面積，我們可以利用容斥原理把不規(guī)則圖形 HEFG勺面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積。ShEF=SaBCdS AHE-S EBF-S CFG-S GDH111134 3121 31 212 2 2 2=7 （平方厘米）2.在邊長(zhǎng)是10厘米的正方形紙片中間挖掉一個(gè)小正方形后，成為一個(gè)寬度為1厘米的方框，把5個(gè)這樣的方框放在桌面上（如下圖）。請(qǐng)你算一算：桌面被這些方框所蓋住的面 積是多少平方厘米？分析：觀察圖，可知重疊部分相當(dāng)于8個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的正方形。解答：（102-82）X 5-1 2X 8=172 （平方厘米）3.張宏、王剛、李立三人練習(xí)投籃球，

15、一共投了100次，有43次沒投進(jìn)，已知張宏和王剛一共投進(jìn)了 32次，王剛和李立一共投進(jìn)了46次，王剛投進(jìn)了多少次？分析與解答：三人投的總次數(shù)減去沒投進(jìn)的次數(shù)，就是三人共投進(jìn)100-43=57次。張宏和王剛、王剛和李立共投進(jìn)的次數(shù)為32+46=78次，這是三人共投進(jìn)的次數(shù)，在加上王剛投進(jìn)的次數(shù)，從中減去共投進(jìn)的次數(shù)，就是王剛投進(jìn)的次數(shù)，列式為78-57=21次，所以王剛投進(jìn)了 21次。答：王剛投進(jìn)了 21次。4育新小學(xué)舉行各年級(jí)學(xué)生畫展，其中有18幅畫不是六年級(jí)的，20幅畫不是五年級(jí)的?，F(xiàn)在知道五、六年級(jí)共展出22幅畫，請(qǐng)問：其他年級(jí)共展出多少幅畫？分析與解答：其中18幅不是六年級(jí)的，換句話說，

16、一至五年級(jí)共展出18幅，20幅不是五年級(jí)的，換句話說，就是一、二、三、四、六年級(jí)共展出20幅，從中可以看出一、二、三、四年級(jí)總張數(shù)的 2倍加上五、六年級(jí)張數(shù)的和，一共是18+20=38幅，又因?yàn)槲濉⒘昙?jí)共展出22幅畫，因此一至四年級(jí)張數(shù)和的2倍是38-22=16張。從而可以求出一至四年級(jí)共展出16-2=8張。答：其它年級(jí)共展出 8張。5.在一根長(zhǎng)木棍上，有三種刻度線，它們分別將木棍分成10等分、12等分、15等分。如果沿每條刻度線把木棍鋸斷，請(qǐng)問：木棍總共被鋸成多少段？分析：由于木棍的端點(diǎn)處沒有刻度線，所以，這三種刻度線分別有 10-1=9 （條）,12-1=11（條）,15-1=14 （條

17、），不妨設(shè)木棍長(zhǎng)為60厘米。那么，與三種刻度線相對(duì)應(yīng)的每一份長(zhǎng)分 別是：60 - 10=6 （厘米），60- 12=5 （厘米），60- 15=4 （厘米）。根據(jù)5和6的最小公倍數(shù) 是30,可算出第一、第二種刻度線重復(fù)的條數(shù)是60- 30-1=1 （條），用同樣的方法可以求出：另兩種重復(fù)的刻度線分別有2條、4條。解答：（9+ 11 + 14-1-2-4 ）+ 1=28 （段）想一想：（1）在計(jì)算刻度線條數(shù)時(shí)為什么都要減去1？（ 2 ）為什么可以設(shè)木棍長(zhǎng)是 60厘米？ （ 3）最后為什么要用所有刻度線條數(shù)加1？6某班45名同學(xué)參加了體育測(cè)試， 其中百米得優(yōu)者20人，跳遠(yuǎn)得優(yōu)者18人，又知百 米、

18、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者 7人，跳高、百米均得優(yōu)者 6人，跳高、跳遠(yuǎn)均得優(yōu)者 8人，跳高得優(yōu)者 22人，全班只有1名同學(xué)各項(xiàng)都沒達(dá)到優(yōu)，請(qǐng)問：三項(xiàng)都是優(yōu)的有多少人？解答：設(shè)三項(xiàng)都達(dá)到優(yōu)的有 x人，由逐步排除法有：20+18+22-7-8-6+X+ 仁45解得x=57“六一”兒童節(jié)，某校有 25個(gè)小朋友得獎(jiǎng)，學(xué)校為他們準(zhǔn)備了甲、乙、丙三種獎(jiǎng)品讓他們自由選擇，有14人要甲種獎(jiǎng)品，12人要乙種獎(jiǎng)品，10人要丙種獎(jiǎng)品，其中4人既要 甲種又要乙種，但不要丙種獎(jiǎng)品，2人既要甲種又要丙種， 但不要乙種，只有1人三種都要。 每個(gè)小朋友至少選擇其中的一種，請(qǐng)問：有多少人要乙種和丙種而不要甲種獎(jiǎng)品？A B、C表示圖中的三分析

19、與解答：根據(jù)題意，可以畫圖表示已知量之間的關(guān)系，并用 個(gè)未知量。則A+B=10-(2+1)=7B+C=12-(4+1)=7A+B+C=25-14=11&如下圖，在桌面上放置兩兩重疊，邊長(zhǎng)都相等的三個(gè)正方形紙片。已知蓋住桌面的總面積是144平方厘米。三張紙片共同重疊部分的面積是42平方厘米，圖中陰影面積為 72平方厘米。請(qǐng)問：正方形的邊長(zhǎng)是多少厘米？解答：三個(gè)正方形總面積是： 144+陰影面積X (2-1)+中間重疊面積X (3-1)=144+72 X (2-1)+42 X (3-1)=300(平方厘米)；每一個(gè)正方形的面積是： 300- 3=100(平方厘米)；因?yàn)?一個(gè)正方形面積是 100平方厘米，所以正方形邊長(zhǎng)是 10厘米。9. 某班四年級(jí)時(shí)、五年級(jí)時(shí)