高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì)案例 1.1 回歸分析的基本思想及初步應(yīng)用（3）課件 新人教A版選修1-2

1、1.1 回歸分析的基本思想回歸分析的基本思想 及其初步應(yīng)用（三）及其初步應(yīng)用（三）非線性回歸模型非線性回歸模型1復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧1、線性回歸模型：、線性回歸模型：y=bx+a+e (其中其中a和和b為模型的未知參數(shù)，為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差稱為隨機(jī)誤差)。2、數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異、數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。為殘差。)iiyy(iiieyy=3、對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得、對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得 的值平方后加起來(lái)，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為：的值平方后加起來(lái)，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為： 稱為殘

2、差平方和，稱為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。21()niiiyy 4 、我們可以用相關(guān)指數(shù)我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：來(lái)刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是：222112211()()1()()nniiiiinniiiiyyyyRyyyy26.建立回歸模型的基本步驟建立回歸模型的基本步驟1)1)確定解釋變量確定解釋變量x x和預(yù)報(bào)變量和預(yù)報(bào)變量y; y; 2)2)畫出散點(diǎn)圖畫出散點(diǎn)圖; ; 3)3)確定回歸方程類型確定回歸方程類型; ; 4)4)求出回歸方程求出回歸方程; ; 5)5)利用相關(guān)指數(shù)或殘差進(jìn)行分析利用相關(guān)指數(shù)或殘差進(jìn)行分析. .5.

3、回歸分析的一般方法：回歸分析的一般方法：1）.利用散點(diǎn)圖觀察兩個(gè)變量是否線性相關(guān)利用散點(diǎn)圖觀察兩個(gè)變量是否線性相關(guān)2）.利用殘差來(lái)判斷模型擬合的效果利用殘差來(lái)判斷模型擬合的效果(殘差分析殘差分析)利用殘差圖來(lái)分析數(shù)據(jù)，對(duì)可疑數(shù)據(jù)利用殘差圖來(lái)分析數(shù)據(jù)，對(duì)可疑數(shù)據(jù)(殘差較大的數(shù)據(jù)殘差較大的數(shù)據(jù))進(jìn)行進(jìn)行重新調(diào)查，有錯(cuò)誤就更正，然后重新利用回歸模型擬合，重新調(diào)查，有錯(cuò)誤就更正，然后重新利用回歸模型擬合，如果沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要找其他原因。如果沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要找其他原因。3練習(xí)練習(xí)；關(guān)于關(guān)于x與與y有如下數(shù)據(jù)：有如下數(shù)據(jù)： 有如下的兩個(gè)線性模型：有如下的兩個(gè)線性模型：（1） ；（；（2） 試比較哪一個(gè)擬合

4、效果更好。試比較哪一個(gè)擬合效果更好。x24568y30406050706.517.5yx717.yx4例例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：（1 1）試建立產(chǎn)卵數(shù)）試建立產(chǎn)卵數(shù)y y與溫度與溫度x x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為 2828o oC C時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2 2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 溫度溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)個(gè)7112124661153

5、25問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）5例例2：一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中，據(jù)列于表中，試建立試建立y與與x之間的回歸方程之間的回歸方程 解解: :作散點(diǎn)圖作散點(diǎn)圖; ;從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用 線性回歸模型來(lái)很好地近似。線性回歸模型來(lái)很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。問(wèn)題四：若兩個(gè)變

6、量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）6選變量選變量 解：選取氣溫為解釋變量解：選取氣溫為解釋變量x x，產(chǎn)卵數(shù)，產(chǎn)卵數(shù) 為預(yù)報(bào)變量為預(yù)報(bào)變量y y。畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖假設(shè)線性回歸方程為假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a選選 模模 型型分析和預(yù)測(cè)分析和預(yù)測(cè)當(dāng)當(dāng)x=28時(shí)，時(shí)，y =19.8728-463.73 93估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)由計(jì)算器得：線性回歸方程為由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=y=19.8719.87x x-463.73-463.73 相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R R2 2= =r r2 20.8640.8642 2=0.7464=0.7

7、464所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。的產(chǎn)卵數(shù)變化。050100150200250300350036912151821242730333639當(dāng)當(dāng)x=28時(shí)，時(shí)，y =19.8728-463.73 93方法一：一元函數(shù)模型方法一：一元函數(shù)模型問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）7奇怪？奇怪？思考：思考：9366 ?模型不好？模型不好？問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）8 y= c1

8、 x2+c2 變換變換 y= c1 t+c2 非線性關(guān)系非線性關(guān)系 線性關(guān)系線性關(guān)系問(wèn)題問(wèn)題選用選用y=c1x2+c2 ，還是，還是y=c1x2+cx+c2 ？問(wèn)題問(wèn)題3 產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫問(wèn)題問(wèn)題2如何求如何求c1、c2？令 t=x2方法二，二元函數(shù)模型方法二，二元函數(shù)模型問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）9平方變換：令平方變換：令t=xt=x2 2，產(chǎn)卵數(shù)，產(chǎn)卵數(shù)y y和溫度和溫度x x之間二次函數(shù)模型之間二次函數(shù)模型y=bxy=bx2 2+a+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y y和溫度的平方和溫度的平方t

9、 t之間線性回歸模型之間線性回歸模型y=bt+ay=bt+a溫度溫度21232527293235溫度的平方溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y y和和t t之間的線性回歸方程為之間的線性回歸方程為y=y=0.3670.367t t-202.54-202.54，相關(guān)指數(shù)，相關(guān)指數(shù)R R2 2= =r r2 20.8960.8962 2=0.802=0.802將將t=xt=x2 2代入線性回歸方程得：代入線性回歸方程得： y=y=0.3670.367x x2 2 -202.54

10、 -202.54當(dāng)當(dāng)x x=28=28時(shí)時(shí)，y y=0.367=0.36728282 2- -202.5485202.5485，且，且R R2 2=0.802=0.802，所以，二次函數(shù)模型中溫度解所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了釋了80.2%80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。的產(chǎn)卵數(shù)變化。t問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）10問(wèn)題問(wèn)題 變換變換 y=bx+a非線性關(guān)系非線性關(guān)系 線性關(guān)系線性關(guān)系21c xyce問(wèn)題問(wèn)題如何選取指數(shù)函數(shù)的底如何選取指數(shù)函數(shù)的底?產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)

11、非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）方法三：指數(shù)函數(shù)模型11溫度溫度xoC21232527293235z=lgy0.851.041.321.381.822.062.51產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)個(gè)711212466115325xz當(dāng)當(dāng)x=28x=28o oC C 時(shí)，時(shí)，y 44 y 44 ，指數(shù)回歸，指數(shù)回歸模型中溫度解釋了模型中溫度解釋了98%98%的產(chǎn)卵數(shù)的變的產(chǎn)卵數(shù)的變化化由計(jì)算器得：由計(jì)算器得：z z關(guān)于關(guān)于x x的線性回歸方程的線性回歸方程為為z=0.272z=0.272x x-3.849 -3.849 ，相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R R2

12、2= =r r2 20.99250.99252 2=0.98=0.980.272x-3.849 ye 對(duì)數(shù)變換：在對(duì)數(shù)變換：在 中兩邊取自然對(duì)數(shù)得中兩邊取自然對(duì)數(shù)得令令 ，則，則 就轉(zhuǎn)換為就轉(zhuǎn)換為z z=bx+a=bx+a44333434lnln()lnlnlnlnlnc xc xyc ececc xec xc43c xyc e34ln ,ln,zy ac bc43c xyc e問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）12函數(shù)模型函數(shù)模型相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2線性回歸模型線性回歸模型0.7464二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型0

13、.802指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型0.98（1）由上表顯而易見(jiàn)由上表顯而易見(jiàn)，指數(shù)函數(shù)模型最好！，指數(shù)函數(shù)模型最好！問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）思考：最好的思考：最好的模型是哪個(gè)模型是哪個(gè)?-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040 產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)氣溫氣溫線性模型線性模型二次函數(shù)模型二次函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型指數(shù)函數(shù)模型13(1)0.2723.849(

14、2)2y,y0.367202.543.xex則回歸方程的殘差計(jì)算公式分別為：則回歸方程的殘差計(jì)算公式分別為：（2）另外由計(jì)算可得：）另外由計(jì)算可得：(1)(1)0.2723.849(2)(2)2,1,2,.,7;0.367202.543,1,2,.,7.xiiiiiiiieyyyeieyyyxix21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968(1) e(2) e(1)(2)1550.538,15448.431.Q

15、Q問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例問(wèn)題四：若兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性回歸關(guān)系，如何解決？（分析例2）故指數(shù)函數(shù)模型的擬合效果比二次函數(shù)的模擬效果好故指數(shù)函數(shù)模型的擬合效果比二次函數(shù)的模擬效果好.14解解: : 令令 則則z=bx+a,(a=lncz=bx+a,(a=lnc1 1,b=c,b=c2 2),),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫列出變換后數(shù)據(jù)表并畫 出出x x與與z z 的散點(diǎn)圖的散點(diǎn)圖 z =lnyz =lnyx和z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來(lái)擬合z = ax+b+ez = ax+b+e2 2c xc x1 1用用y = c e模y = c e模型型; ;1)x x2121

16、232325252727292932323535z z1.9461.946 2.3982.398 3.0453.045 3.1783.1784.194.194.7454.745 5.7845.78415 注：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題需要注意的問(wèn)題：注：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題需要注意的問(wèn)題： 對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)，有不同的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析，對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)，有不同的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析， 我們要用最有效的方法分析數(shù)據(jù)。我們要用最有效的方法分析數(shù)據(jù)?？梢岳弥庇^（散點(diǎn)直觀（散點(diǎn) 圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)來(lái)確定哪一個(gè)模型的擬合效果更好。如本例中現(xiàn)在有三個(gè)不同的回歸模型可供選擇來(lái)擬合紅鈴蟲的

17、產(chǎn)卵數(shù)與溫度如本例中現(xiàn)在有三個(gè)不同的回歸模型可供選擇來(lái)擬合紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)與溫度 數(shù)據(jù)，他們分別是：數(shù)據(jù)，他們分別是：.,212exyecyebaxyexcebxcz2ety 我們可以利用直觀（散點(diǎn)圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)來(lái)確定哪一個(gè)模型的擬我們可以利用直觀（散點(diǎn)圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)來(lái)確定哪一個(gè)模型的擬 合效果更好。合效果更好。16小結(jié)：小結(jié)：1122( ,),(,),.,(,),nnx yxyxy1.對(duì)于給定的樣本點(diǎn)對(duì)于給定的樣本點(diǎn) 兩個(gè)含有未知參數(shù)的模型：兩個(gè)含有未知參數(shù)的模型：(1)(2)( , )( , ),yf x ayg x b和其中其中a和和b都是未知參數(shù)。都是未知參數(shù)。用殘差法對(duì)

18、擬合效果比較的步驟為：用殘差法對(duì)擬合效果比較的步驟為：（1）分別建立對(duì)應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程）分別建立對(duì)應(yīng)于兩個(gè)模型的回歸方程 與與 其中其中 和和 分別是參數(shù)分別是參數(shù)a和和b的估計(jì)值；的估計(jì)值；（2）分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和）分別計(jì)算兩個(gè)回歸方程的殘差平方和（3）對(duì)兩個(gè)回歸方程的殘差平方和比大小，殘差平方和越）對(duì)兩個(gè)回歸方程的殘差平方和比大小，殘差平方和越 小的擬合效果越好，殘差平方和越大的擬合效果越差。小的擬合效果越好，殘差平方和越大的擬合效果越差。(1)( , )yf x a(2)( , ),yg x b ab注：當(dāng)回歸方程不是形如注：當(dāng)回歸方程不是形如y=bx+a時(shí)，我們稱之

19、為非線性回歸方程時(shí)，我們稱之為非線性回歸方程.172.在散點(diǎn)圖中，若樣本點(diǎn)沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線在散點(diǎn)圖中，若樣本點(diǎn)沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系.所所以需要設(shè)非線性回歸方程，進(jìn)而通過(guò)一系列轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸模型以需要設(shè)非線性回歸方程，進(jìn)而通過(guò)一系列轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸模型區(qū)解決。區(qū)解決。用線性回歸模型解決非線性相關(guān)問(wèn)題思路：用線性回歸模型解決非線性相關(guān)問(wèn)題思路： （1）對(duì)數(shù)型非線性模型通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為線性模型。）

20、對(duì)數(shù)型非線性模型通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為線性模型。 （2）二次函數(shù)型非線性模型通過(guò)兩邊設(shè)元法可以轉(zhuǎn)化為線性模型。）二次函數(shù)型非線性模型通過(guò)兩邊設(shè)元法可以轉(zhuǎn)化為線性模型。小結(jié)：小結(jié)：進(jìn)而利用線性回歸模型建立了進(jìn)而利用線性回歸模型建立了y和和x之間的非線性回歸方程之間的非線性回歸方程.令令z=lny，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a（a=lnc1，b=c2） 的周圍的周圍.如本例中，根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條如本例中，根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，可以發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)函數(shù)曲線指數(shù)函數(shù)曲線 的周圍，其中的周圍，其中c1和和c2是待定參數(shù)是待定

21、參數(shù).xcecy2118例例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量元和需求量Y件之間件之間的一組數(shù)據(jù)為：的一組數(shù)據(jù)為：求出求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞。對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞。價(jià)格價(jià)格x1416182022需求量需求量Y1210753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回歸直線方程為：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 19例例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量元和需求量Y件之件之間的一組數(shù)據(jù)為：間的一組數(shù)據(jù)為：求出求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞。對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞。價(jià)格價(jià)格x1