隨機(jī)變量與概率分布

1、西安交通大學(xué) Xian Jiaotong University數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 赫孝良赫孝良理科樓理科樓-310-310Email: 西安交通大學(xué)1.1.一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量第二章第二章 隨機(jī)變量與概率分布隨機(jī)變量與概率分布前面引入了隨機(jī)試驗(yàn)、前面引入了隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間，隨機(jī)事件的樣本空間，隨機(jī)事件的概率等概率等如：如： 擲擲硬幣、硬幣、袋中取球、袋中取球、等待報(bào)時(shí)的時(shí)間；等待報(bào)時(shí)的時(shí)間；如何很好地認(rèn)識(shí)、識(shí)別如何很好地認(rèn)識(shí)、識(shí)別各種隨機(jī)各種隨機(jī)試驗(yàn)？試驗(yàn)？隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)各種各樣：各種各樣：投投骰子、骰子、 透過(guò)透過(guò)隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)表面現(xiàn)象，抓住其數(shù)量本質(zhì)，給表面現(xiàn)象，抓住其

2、數(shù)量本質(zhì)，給出一個(gè)恰當(dāng)?shù)拿枋?。出一個(gè)恰當(dāng)?shù)拿枋觥⑽⒎e分中的變量推廣來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)。將微積分中的變量推廣來(lái)描述隨機(jī)試驗(yàn)。1 1 隨機(jī)變量與分布函數(shù)隨機(jī)變量與分布函數(shù)西安交通大學(xué)“把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化”產(chǎn)品檢驗(yàn)中的產(chǎn)品檢驗(yàn)中的“正品正品”、“次品次品”，取球模型中，取球模型中的的 “ “紅球紅球”、“白球白球”都可以用此變量描述。都可以用此變量描述。例例1. 擲一枚勻稱的硬幣，觀察正面、反面的出現(xiàn)情擲一枚勻稱的硬幣，觀察正面、反面的出現(xiàn)情 況。這一試驗(yàn)的所有可能結(jié)果況。這一試驗(yàn)的所有可能結(jié)果=H，T ，其中其中 H 表示表示“正面朝上正面朝上”，T 表示表示“背面朝上背面朝上”。引入

3、變量引入變量X，描述試驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果描述試驗(yàn)的兩個(gè)結(jié)果: :1,( ).HXX T，0，當(dāng)當(dāng)西安交通大學(xué)定義定義1 1隨機(jī)變量的分析隨機(jī)變量的分析隨機(jī)變量是樣本點(diǎn)的描述，它具有下述特點(diǎn)：隨機(jī)變量是樣本點(diǎn)的描述，它具有下述特點(diǎn)：設(shè)設(shè) E 為一隨機(jī)試驗(yàn)為一隨機(jī)試驗(yàn)， 為為 E 的樣本空間的樣本空間，若若 X = X()，為單值實(shí)函數(shù)為單值實(shí)函數(shù)，且對(duì)于任意實(shí)且對(duì)于任意實(shí)數(shù)數(shù) x，集合集合 | X() x 都是隨機(jī)事件都是隨機(jī)事件，則稱則稱 X 為為隨機(jī)變量隨機(jī)變量（random variable) ?？s寫(xiě)為縮寫(xiě)為 r.v. 。1 1）“變變量量”性質(zhì)：可以取不同的值。性質(zhì)：可以取不同的值。 （與確定

4、性變量相同）（與確定性變量相同）2 2）“隨機(jī)隨機(jī)”性質(zhì)：性質(zhì)：集合集合 | X() x 都是隨機(jī)事件。都是隨機(jī)事件。 （與確定性變量不同）（與確定性變量不同）西安交通大學(xué) 在不必強(qiáng)調(diào)在不必強(qiáng)調(diào)時(shí)，通常省去時(shí)，通常省去，簡(jiǎn)記，簡(jiǎn)記 X() 為為 X， 將集合將集合| X()x 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 Xx 。 1,( )0,AAIA設(shè)設(shè) A 為隨機(jī)事件，為隨機(jī)事件，令令,( )AxR Ix ,0,01,1,xAxx,( )AxR Ix 可見(jiàn)對(duì)可見(jiàn)對(duì)都是事件都是事件, ,( )AI故故為隨機(jī)變量。為隨機(jī)變量。集集A的的示性函數(shù)示性函數(shù)例例2 2西安交通大學(xué)隨機(jī)變量可以描述隨機(jī)變量可以描述試驗(yàn)試驗(yàn) 的的各種

5、各種隨機(jī)事件隨機(jī)事件E1: : 西安市西安市區(qū)區(qū)冬天冬天的的氣溫氣溫, , 樣本空間為：樣本空間為：10, 5110, 5,)(X則則X為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量令令隨機(jī)事件隨機(jī)事件: :氣溫高于零度氣溫高于零度氣溫在氣溫在3 3至至8 8度之間度之間氣溫不高于氣溫不高于5 5度度0X5X53 XE2：某網(wǎng)站：某網(wǎng)站1分鐘的點(diǎn)擊量分鐘的點(diǎn)擊量,樣本空間為樣本空間為: :100,.,11,101100,.,11,10,)(X, ,則則X為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量令令隨機(jī)事件隨機(jī)事件: :點(diǎn)擊量點(diǎn)擊量不低于不低于5050次次點(diǎn)擊量點(diǎn)擊量在在8080至至9090次之間次之間點(diǎn)擊量點(diǎn)擊量不高于不高于1515次次5

6、0X15X9080 X西安交通大學(xué) 隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生在概率論發(fā)展史上有重隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生在概率論發(fā)展史上有重要意義。有了隨機(jī)變量，可借助微積分等近現(xiàn)代要意義。有了隨機(jī)變量，可借助微積分等近現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。數(shù)學(xué)工具來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。西安交通大學(xué)稱 F(x) 為 X 的分布函數(shù)（ distribution function ）。定義定義2.22.2( ),F xP Xxx 設(shè)設(shè) X 為隨機(jī)變量，記為隨機(jī)變量，記 隨機(jī)事件可由隨機(jī)變量描述隨機(jī)事件可由隨機(jī)變量描述, ,求隨機(jī)事件的求隨機(jī)事件的概率也可以通過(guò)隨機(jī)變量來(lái)得到概率也可以通過(guò)隨機(jī)變量來(lái)得到. .( )(

7、).F bF aP aXbP XaP Xb由由F(x)可計(jì)算可計(jì)算X 落在任意區(qū)間落在任意區(qū)間( a , b的概率。的概率。分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的值就表示X落在區(qū)間 的概率概率.xoxX ,(x西安交通大學(xué)分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)(1) F (x) 是單調(diào)增是單調(diào)增(不減不減 )函數(shù)，即函數(shù)，即 ;,2121xFxFxx有()F limxF x limxF x()F 0 1 (2) 0( )1F x且且(3) F(x) 右連續(xù)，即右連續(xù)，即 )()(lim00 xFxFxx西安交通大學(xué) (1) 當(dāng) x2 x1 時(shí)， 證證: :F(x2) - F(x1) = Px1 X x2 0. (2

8、) 因 F(x) = P X x ，由概率的性質(zhì)， 0P X x 1 , 故 0F(x)1，x(-，+). 利用概率的連續(xù)性0)()(lim) 1(lim)(lim)(PAPxXPxXPFnnxx設(shè)A1, A2, An ,是事件列，若,1iiAA,.,2 , 1,1nAAnn則有)(lim)(nnAPAP nXAn,.,2 , 1,1nAAnn記記則則1iiA故故同樣得同樣得1)()(lim)(lim)(PxXPxXPFxx西安交通大學(xué)(3)xxXxPxFxxFxx000000(lim)()(limxnxnxXxPn21),1(lim00概率概率的單調(diào)性的單調(diào)性概率的連續(xù)性概率的連續(xù)性 反之反

9、之, ,如果一個(gè)函數(shù)滿足上述三條性質(zhì)如果一個(gè)函數(shù)滿足上述三條性質(zhì)，那么那么它必定是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)它必定是某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 0)( P證畢證畢西安交通大學(xué)隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量非離散型隨機(jī)變量連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量奇異型奇異型隨機(jī)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量可能的取值是隨機(jī)變量可能的取值是有限多個(gè)或無(wú)限可列個(gè)有限多個(gè)或無(wú)限可列個(gè)隨機(jī)變量可能的隨機(jī)變量可能的取值是某個(gè)區(qū)間取值是某個(gè)區(qū)間西安交通大學(xué)2 2 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量 定義定義3 設(shè)設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的所有可能值為的所有可能值為 x1，x2， （有限或無(wú)限）（有限或無(wú)限） 則稱則稱X為離散為離散隨機(jī)變量

10、，而隨機(jī)變量，而 pi = PX = xi ( i = 1，2， ) 稱為稱為 X 的的分布律分布律，或，或概率函數(shù)概率函數(shù)。 Xx1 x2 xn pip1 p2 pn 也記為:或或1212nnxxxXppp西安交通大學(xué)分布律的性質(zhì)分布律的性質(zhì) (1) pi 0 (i =1，2，)；11iip(2)證證:(2)X = xi ( i = 1，2， ) 構(gòu)成互斥完備事件完備事件組組1iixX1)()(111PxXPxXPpiiiiii故故證畢證畢西安交通大學(xué) 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的分布律的分布律 pi = PX=xi ( i =1，2，)， 指出了全部概率指出了全部概率 1 在其可能值集合在其可能

11、值集合x(chóng)1，x2，上的分布情況上的分布情況，故也稱其為故也稱其為 X 的的概率分布概率分布。 x幾何表示幾何表示x1 x2 xn 由由X 的分布律可容易地求得它的分布函數(shù)的分布律可容易地求得它的分布函數(shù)xxixxiiipxXPxXPxF)(西安交通大學(xué)例例3 3 某射擊運(yùn)動(dòng)員射中十環(huán)的概率是某射擊運(yùn)動(dòng)員射中十環(huán)的概率是0.8，求他兩次，求他兩次 獨(dú)立射擊射中十環(huán)次數(shù)獨(dú)立射擊射中十環(huán)次數(shù)X的分布率與分布函數(shù)的分布率與分布函數(shù).解：解： X可取值為可取值為0,1,2 ; PX =0=(0.2)(0.2)=0.04 PX =1= 2(0.8)(0.2) =0.32 PX =2=(0.8)(0.8)=

12、0.64X0 1 2pi0.04 0.32 0.64X的分布率為的分布率為0)()(PxXPxF當(dāng)x0 時(shí),當(dāng)0 x1 時(shí),04. 0)0()(XPxXPxF西安交通大學(xué)當(dāng)1 x2 時(shí),36. 0) 1()0()(XPXPxXPxF當(dāng) x 2 時(shí),1)2() 1()0()(XPXPXPxXPxF2, 121,36. 010,04. 00, 0)(xxxxxF故故X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為x xy y0 01 12 20.360.361 10.040.04西安交通大學(xué)問(wèn)題問(wèn)題: : 已知離散型隨機(jī)變量已知離散型隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(x)，如，如何確定何確定 X 的分布律？的分布律

13、？西安交通大學(xué)典型離散型隨機(jī)變量及其概率分布典型離散型隨機(jī)變量及其概率分布 1 1）單點(diǎn)分布）單點(diǎn)分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X 僅取一個(gè)值僅取一個(gè)值, X= a， PX= a=1，則稱則稱 X 服從服從單點(diǎn)分布單點(diǎn)分布，記為，記為 單點(diǎn)分布又稱為單點(diǎn)分布又稱為退化分布退化分布。1aX西安交通大學(xué)2 2）兩點(diǎn)分布）兩點(diǎn)分布 若若隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為PX=a0=1-p，PX=a1= p， 其中其中 0p 0，k=0,1,n10 1 2(), , ,.kkn kknpC ppkn 記記又由二項(xiàng)式定理知又由二項(xiàng)式定理知 1)1()1 (00nknknkknnkkppppCp所以所以

14、pk , k = 0,1,2,n 是概率分布。是概率分布。 西安交通大學(xué)若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X 的分布律為的分布律為10 1(), ,.,kkn knP XkC ppkn 其中其中0 p 0為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布的泊松分布，簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 X P()。 4)4)泊松分布泊松分布0 1 2, , .!kP Xkekk , 0!ekk1!0eeekkk因?yàn)橐驗(yàn)樗运?確實(shí)是概率分布。確實(shí)是概率分布。 .2 , 1,!kekpkk西安交通大學(xué)泊松分布與二項(xiàng)分布的比較泊松分布與二項(xiàng)分布的比較西安交通大學(xué)泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用 二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家

15、在觀察二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí)與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí), ,他他們做了們做了26082608次觀察次觀察( (每次時(shí)間為每次時(shí)間為7.57.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), , 其放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 后來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)很多現(xiàn)象都服從泊松分布，后來(lái)，人們發(fā)現(xiàn)很多現(xiàn)象都服從泊松分布，例如：例如： 地震；火山爆發(fā)；特大洪水；地震；火山爆發(fā)；特大洪水； 商場(chǎng)的顧客數(shù)；醫(yī)院急診病人數(shù)；商場(chǎng)的顧客數(shù)；醫(yī)院急診病人數(shù)； 交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)；交換臺(tái)的電話呼喚次

16、數(shù)； 某地發(fā)生的交通事故的次數(shù)；某地發(fā)生的交通事故的次數(shù)； 一本書(shū)一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；等一本書(shū)一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)；等西安交通大學(xué) 某商店過(guò)去的銷售記錄表明，某一種商品每月的銷售件數(shù)可以用參數(shù) = 5的泊松分布來(lái)描述。為了以 99.9 % 以上的把握保證不脫銷，問(wèn)該商店在每月初至少應(yīng)進(jìn)多少件這種商品（假定上個(gè)月無(wú)存貨）？ 例例6 6解解:由條件 X P(5)，而15!511NkkekNXPNXP設(shè)該店每月銷售這種商品 X 件，月初應(yīng)進(jìn)貨 N 件，當(dāng)X N 時(shí)，才不會(huì)脫銷。西安交通大學(xué)欲使欲使P XN 0.999，即，即5150.001,!kk Nek查附表查附表2，得，得 N+1=14，故，故

17、N=13 。西安交通大學(xué)2 2 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量 定義定義 4 設(shè)設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x) , 若存在非負(fù)若存在非負(fù)可積可積函數(shù)函數(shù) f(x),(- x+ )，使對(duì)任意實(shí)數(shù)使對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有都有xdttfxF)()(則稱則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為連續(xù)型隨機(jī)變量， 并稱并稱f(x)為為X的的概率密度概率密度. 西安交通大學(xué)分布函數(shù)與概率密度的幾何表示分布函數(shù)與概率密度的幾何表示f (t)O Ot tF(x)x西安交通大學(xué)概率密度的性質(zhì)概率密度的性質(zhì)常用這兩條性質(zhì)研判一常用這兩條性質(zhì)研判一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)型個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的的 概率密

18、度概率密度(4) 若若 f ( x )在在 x 點(diǎn)處連續(xù)，則有點(diǎn)處連續(xù)，則有 (3) 對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，且，且 ab，有，有 .1)()2(dxxf0)()1 (xfbadttfaFbFbXaP)()()()()(xfxF西安交通大學(xué)性質(zhì)性質(zhì)(3)(3)的幾何意義的幾何意義 f (t)O Ot tPaXbab性質(zhì)性質(zhì)(4)(4)的概率意義的概率意義 0( )( )( )limxF xxF xf xx0( )limxP xXxxx單位長(zhǎng)度上分布著的概率單位長(zhǎng)度上分布著的概率概率密度概率密度xxfxxXxP)(還可得還可得西安交通大學(xué)1).1).連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布函數(shù)

19、的分布函數(shù)F (x) 必為連續(xù)函數(shù)必為連續(xù)函數(shù) 幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：xxxxdttfdttfdttfxFxF00)()()()()(000 xx事實(shí)上事實(shí)上2).2).連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 取任一實(shí)數(shù)的概率為取任一實(shí)數(shù)的概率為0，即，即 PX=x = 0事實(shí)上事實(shí)上x(chóng)XxxxXx, 0故故 xxFxFxXxxPxXP0令令x0+ ，由，由 F(x) 的連續(xù)性，得的連續(xù)性，得 PX=x = 0西安交通大學(xué) 3) 3) 概率為概率為0 0的事件未必是不可能事件。的事件未必是不可能事件。 概率為概率為1 1的事件未必是必然事件。的事件未必是必然事件。AAP0)(由此可以得到如下結(jié)論：由此可

20、以得到如下結(jié)論：AAP1)()()(bXaPbXaP)(bXaP)(bXaP4) 對(duì)對(duì)連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X, 有有西安交通大學(xué)., 1,100, 0, 0)(2axxbxaxxF例例7 7 設(shè)設(shè)連續(xù)型連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 1）確定常數(shù)）確定常數(shù)a， b 2) 求求X的的概率密度概率密度解解: : 1) 因?yàn)橐驗(yàn)閄 是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量,故故F (x) 連續(xù)連續(xù) 故故 a=0， b=1/100,lim)(lim)0(000abxaxFFxx, 11lim)(lim)10(10002xxxFFba西安交通大學(xué)., 0,100,50, 0, 0)(

21、)(axxxxxFxf2)., 1,100,100, 0, 0)(2axxxxxF故故西安交通大學(xué)典型連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布典型連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布 1 1） 均勻分布均勻分布則稱則稱X在區(qū)間在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布上服從均勻分布，X U(a, b)若若 r.v. X 的概率密度為的概率密度為：記作記作其中其中a、b為常數(shù)并且為常數(shù)并且 - a b 0 ，則稱，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 2的的正態(tài)正態(tài)分布分布(高斯分布高斯分布) ),記為記為 XN( , 2)。dxedxetx222121)2(2)(0)()1 (xf顯然顯然2xt1西安交通大學(xué)0222dtedtett002

22、22dyedxeyxdxdyeDyx222令令 x =cos，y =sin，得，得D: 第一象限第一象限D(zhuǎn): 0 /2, 0 +2/00222deddtet西安交通大學(xué) ( (1) 1) 單峰對(duì)稱單峰對(duì)稱 密度曲線關(guān)于直線密度曲線關(guān)于直線x=x= 對(duì)稱；對(duì)稱；正態(tài)分布的兩個(gè)特點(diǎn)正態(tài)分布的兩個(gè)特點(diǎn)：21)()( fxfMaxf (x)o ox參數(shù)參數(shù) 決定了圖形的中心位置決定了圖形的中心位置西安交通大學(xué)(2) (2) 概率分布的概率分布的集中度集中度 越大，越大，密度密度曲線越平坦，曲線越平坦， 越小，越小，密度密度曲線越陡峻曲線越陡峻。 = 2o ox = 1 = 0.50.20.40.8參數(shù)

23、參數(shù) 決定了圖形中峰的陡峭程度決定了圖形中峰的陡峭程度. .西安交通大學(xué) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 參數(shù)參數(shù) 0， 21的正態(tài)分布稱為的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布, 記作記作XN(0, 1)。f (x)o ox0.4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度、分布函數(shù)分別用符號(hào)的概率密度、分布函數(shù)分別用符號(hào)(x)、(x)表示，即表示，即 2212( ),xxex 2212( ),.txxedtx 西安交通大學(xué))(1)() 1 (xx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)dtedtedtexxttxt222222212121)()(121122xduexutu西安交通大學(xué)xtdtexXPxXPx

24、YP222)(21證證：ts).(x若若XN( , 2)，則則 且且),1 , 0( NXY).()(xxXPxF任意一個(gè)正態(tài)分布都可以任意一個(gè)正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)正通過(guò)線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。態(tài)分布。(2) 命題命題xsdse2221).()(xxYPxXPxF證畢證畢西安交通大學(xué) 書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，可以方便地書(shū)末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，可以方便地查詢查詢(x)的數(shù)的數(shù)值。值。正態(tài)分布表正態(tài)分布表dtexxt2221)(當(dāng)當(dāng) x 0.99, 故車門(mén)的設(shè)計(jì)高度至少應(yīng)為184 cm，方可保證男子與車門(mén)碰頭的概率在 0.01 以下。 由得得西安交通大學(xué) 10 一種

25、電子元件的使用壽命（小時(shí)）服從正一種電子元件的使用壽命（小時(shí)）服從正態(tài)分布態(tài)分布(1000,80(1000,802 2 ), ),某儀器上裝有某儀器上裝有3 3個(gè)這種元件，三個(gè)個(gè)這種元件，三個(gè)元件損壞與否是相互獨(dú)立的元件損壞與否是相互獨(dú)立的. .求使用求使用950950小時(shí)內(nèi)無(wú)一元小時(shí)內(nèi)無(wú)一元件損壞的概率件損壞的概率. .例例950 10009501950180()pP XP X 解解: :因?yàn)橐驗(yàn)?X N(1000, 802)故任一元件故任一元件950950小時(shí)內(nèi)不損壞的概率為小時(shí)內(nèi)不損壞的概率為10 6250 6250 7340(.)( .). 設(shè)設(shè)Y為為使用使用950950小時(shí)內(nèi)不損壞的

26、元件數(shù)小時(shí)內(nèi)不損壞的元件數(shù), ,故故333 333310 3954().P YC ppp 則由獨(dú)立性條件，有則由獨(dú)立性條件，有 Y Y B(3, p)B(3, p)西安交通大學(xué)例例1010設(shè)設(shè) X N ( , 2), 求求解解333|XPXP3|XP)3()3(9974. 01)3(2西安交通大學(xué) X的取值幾乎全部集中在區(qū)間的取值幾乎全部集中在區(qū)間 內(nèi)內(nèi)3 原理原理（準(zhǔn)則）（準(zhǔn)則） 在一次試驗(yàn)中，正態(tài)變量在一次試驗(yàn)中，正態(tài)變量 X 取值于區(qū)間取值于區(qū)間( - 3 , +3 ) 內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為 0.9974， 因而超出此因而超出此區(qū)間概率很小。區(qū)間概率很小。3,3 如在質(zhì)量監(jiān)控中，常用標(biāo)準(zhǔn)

27、指標(biāo)值如在質(zhì)量監(jiān)控中，常用標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)值3 3 作兩條作兩條線，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出線，當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程的指標(biāo)觀察值落在兩線之外時(shí)發(fā)出警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。警報(bào)，表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。西安交通大學(xué)正態(tài)分布的應(yīng)用正態(tài)分布的應(yīng)用 正態(tài)分布是應(yīng)用最為廣泛的分布，它在概率正態(tài)分布是應(yīng)用最為廣泛的分布，它在概率統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。統(tǒng)計(jì)中占有特別重要的地位。各種測(cè)量的誤差；各種測(cè)量的誤差； 人體的高度；人體的高度；學(xué)生的考試成績(jī)；學(xué)生的考試成績(jī)；工廠產(chǎn)品的尺寸；工廠產(chǎn)品的尺寸； 農(nóng)作物的收獲量；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；海洋波浪的高度； 金屬線抗拉強(qiáng)度；金屬線抗拉強(qiáng)度；電流強(qiáng)度；電流強(qiáng)

28、度；西安交通大學(xué)3) 3) 指數(shù)分布指數(shù)分布 若若 r .v X具有概率密度具有概率密度0, 00,)(xxexfx其中其中 00為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 00的的指數(shù)分布。指數(shù)分布。 記記作作 X Exp( )0 0yxy = f (x)0)()1 (xf顯然顯然1)()2(0dxedxxfx西安交通大學(xué)指數(shù)分布的分布函數(shù)為指數(shù)分布的分布函數(shù)為0, 00,1)(xxexFx0 0yxy = F (x)西安交通大學(xué) 設(shè)某類日光燈管的使用壽命設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 =1/1500的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時(shí)小時(shí)).(1)任取一只這種燈

29、管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時(shí)以小時(shí)以 上的概率上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了800 小時(shí)以小時(shí)以 上上,求還能使用求還能使用1000小時(shí)以上的概率小時(shí)以上的概率. 0, 0, 0,e1)(15001xxxFxX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為解解:例例5 西安交通大學(xué)1000) 1 (XP10001XP)1000(1F5134. 02(XXP800800,1800XPXXP8001800XPXP800118001XPXP)800(1)1800(1FF.5134. 0ee/安

30、交通大學(xué)若若 X Exp( )，則對(duì)任意，則對(duì)任意 s, t 0，有，有指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布的性質(zhì) 無(wú)記憶性無(wú)記憶性事實(shí)上事實(shí)上命題命題|tXPsXtsXP,|sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)(tXPdxeeeedxedxetxtstssxtsx永遠(yuǎn)年輕永遠(yuǎn)年輕在已知壽命超過(guò)在已知壽命超過(guò)s s歲的條件下，還能活過(guò)歲的條件下，還能活過(guò)t t年年 的概率與其出生時(shí)，能活過(guò)的概率與其出生時(shí)，能活過(guò)t t年的概率相同。年的概率相同。西安交通大學(xué)指數(shù)分布的應(yīng)用場(chǎng)合指數(shù)分布的應(yīng)用場(chǎng)合隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間。隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間。電話問(wèn)題中的通話時(shí)間；電話問(wèn)題中的通話時(shí)間；電子元件的使用壽命電