論多項(xiàng)式因式分解的一般方法

1、學(xué) 年 論 文題目： 論多項(xiàng)式因式分解的一般方法 學(xué) 生： 吳瓊 學(xué) 號(hào)： 201412010124 院 （系）： 文理學(xué)院 專(zhuān) 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 指導(dǎo)教師： 連鐵艷 2015 年 12月 24日 論多項(xiàng)式因式分解的方法數(shù)學(xué)141班：吳瓊 指導(dǎo)老師：連鐵艷（陜西科技大學(xué)文理學(xué)院 陜西 西安 710021）摘要：多項(xiàng)式的因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算，是代數(shù)式恒等變形的一個(gè)重要組成部分，也是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段和工具。因式分解在代數(shù)式的預(yù)算,解方程等方面有極其廣發(fā)的運(yùn)用。本文對(duì)多項(xiàng)式因式分解的概念和方法進(jìn)行了初步的探索，總結(jié)歸納了因式分解的幾種方法，同時(shí)說(shuō)它在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：多項(xiàng)式，

2、因式分解 The Theory Of Polynomial Factorization MethodABSTRACT: the inverse operation of polynomial factorization is polynomial multiplication ,it is an important part of the deformation of algebraic expression identity ,and is an important method of dealing with mathematics and tools .factoring in the

3、algebraic expression of the budget has extremely using equation and so on .in this paper the concept and method of polynomial factorization has carried on the preliminary exploration ,sums up the methods of the factoring ,and said it in the application of mathematics. KEY WORDS: polynomial, factorin

4、g 在高等數(shù)學(xué)中，多項(xiàng)式的因式分解滲入在各個(gè)層面，是很多解題過(guò)程中不可或缺的一部分，這使我們有必要對(duì)多項(xiàng)式的求解因式的方法進(jìn)行研究。(因式分解及唯一性定理)：數(shù)域p上的多項(xiàng)式環(huán)內(nèi)的每一個(gè)nn1次多項(xiàng)式都可以分解成這個(gè)多項(xiàng)式環(huán)內(nèi)不可約多項(xiàng)式（數(shù)域p上次數(shù)n1的多項(xiàng)式px不能表示成數(shù)域p上的兩個(gè)次數(shù)比px的次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積，則該多項(xiàng)式為不可約多項(xiàng)式）的乘積，并且表達(dá)式唯一，即fx=p1xp2xpSx 其中pix =1，2，3.s。所謂唯一是指，若另有分解式fx=q1xq2xqtx其中qjx j=1,2,3t，則必有s=t，且適當(dāng)排序后有pix=Cjpjx提公因式法多項(xiàng)式中，每一都含有的公共的因

5、式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。通常，某些多項(xiàng)式的各項(xiàng)或一些項(xiàng)有公因式，那么，我們可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式或多個(gè)因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。提公因式法的關(guān)鍵在于能否找到公因式。首先看系數(shù)，當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)；再看字母，字母應(yīng)取各項(xiàng)中相同字母的指數(shù)次數(shù)最低的；最后看多項(xiàng)式中是否有不可約的比原多項(xiàng)式次數(shù)低的公共的多項(xiàng)式，且取其次數(shù)最低的。在提取公因式時(shí)，要注意其正負(fù)。公式法將乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以將某些多項(xiàng)式因式分解，這種方法叫公式法。平方差公式：a2-b2=a+ba-b 完全平方式：a22ab+b2=a+b2立方和公

6、式：a3+b3=a+ba2-ab+b2立方差公式：a3-b3=a-ba2+ab+b2完全立方公式：a33a2b+3ab2b3=ab3還有幾種常用的公式：a2+b2+C2+2ab+2ac+2bc=a+b+c2 a3+b3+c3-3ab = a+b+c a2+b2+c2-ab-ac-bc分組分解法分組分解法是分解較復(fù)雜的多項(xiàng)式的一種方法，在能分組的多項(xiàng)式往往有四項(xiàng)或者更多，一般分組為兩兩分組或三一分組，常用于多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)分別進(jìn)行合并后會(huì)有公因式或者可用公式化簡(jiǎn)等。需要注意的是，在運(yùn)用分組分解法時(shí)，需要對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行細(xì)致的觀察，善于發(fā)現(xiàn)其中的特點(diǎn)，還要有一定的預(yù)見(jiàn)性，能預(yù)見(jiàn)下一步是否可以繼續(xù)分解，

7、分解要恰當(dāng)。例：am+an+bm+bn解原式=am+n+bm+n=a+bm+n十字相乘法十字相乘法多用于二次三項(xiàng)多項(xiàng)式ax2+bx+ca0的分解,將二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行分解，然后交叉相乘（即十字相乘），十字左邊的上下分別為二次項(xiàng)系數(shù)的兩個(gè)因式a1,a2，十字右邊上下分別為常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因式C1,C2，按十字交叉相成后再相加可得二次三項(xiàng)式的系數(shù)k=a1c2+a2c11,那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式a1x+c1與a2x+c2的乘積,即ax2+bx+c=a1x+c1a2x+c2這種方法的關(guān)鍵在于觀察二次三項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)，他們是否滿(mǎn)足交叉相乘，求和湊中。例：把二次三項(xiàng)多項(xiàng)式x2+3x-4進(jìn)行因式

8、分解解 原式 =x-1x+4拆項(xiàng)添項(xiàng)法在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中，常將幾個(gè)同類(lèi)項(xiàng)合并為一個(gè)，或者將兩個(gè)僅符號(hào)相反的同類(lèi)項(xiàng)相互抵消為零。在對(duì)某些多項(xiàng)式因式分解時(shí)，需要在多項(xiàng)式中添加兩個(gè)僅符號(hào)相反的項(xiàng)或把多項(xiàng)式中的某些項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，而多項(xiàng)式?jīng)]有改變，但又便于進(jìn)行因式分解。例x3-7x2+16x-12解 原式=x3-2x2-5x2+10x+6x-12=X2x-2-5xx-2+6x-2=x-2x2-5x+6=x-2x-3x-2=x-22x-3主元法主元法是在分解含多個(gè)字母的多項(xiàng)式時(shí)，選取其中一個(gè)字母作為主元，其余字母看為常數(shù)項(xiàng)，并把多項(xiàng)式按主元的降冪排列（或升冪排列），再用因式分解的常用方法對(duì)其進(jìn)行因式分

9、解。例：2x3+6y3+15z39x2y+7xy2x2z16xz237y2z+32yz2+13xy 解 原式=2x3-9y+zx2+13yz+7y2-16z2x+6y3+15z3-37y2z+32yz=6y3-9zy2-28y2z-32yz-15z3 (先拋開(kāi)x，只看6y3+15z3-37y2z+32yz)=2y-3zy-5z3y+z=x-2y+3z2x+y-5zx-3y-z配方法對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就可將其分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。例：把多項(xiàng)式2x27xy+6y2 因式分解原式=2x2-8xy+8y2+

10、xy-2y2= 2x-2y2+yx-2y=x-2y2x-3y應(yīng)用因式定理對(duì)于多項(xiàng)式fx=0，如果fa=0，那么fx必含有因式x-a對(duì)稱(chēng)式和輪換對(duì)稱(chēng)式如果將一個(gè)多項(xiàng)式中任意兩個(gè)字母對(duì)換，多項(xiàng)式恒等不變，那么這個(gè)多項(xiàng)式就叫做對(duì)稱(chēng)式如果將一個(gè)多項(xiàng)式中的所有字母輪換，多項(xiàng)式恒等不變，那么這個(gè)多項(xiàng)式就叫做輪換對(duì)稱(chēng)式（簡(jiǎn)稱(chēng)輪換式）。輪換對(duì)稱(chēng)式的性質(zhì)兩個(gè)輪換對(duì)稱(chēng)式的和、差、積、商其結(jié)果仍是輪換對(duì)稱(chēng)式例：分解因式x2+x6 分析 令fx=x2+x-6，則f2=0，故可確定x-2是x2+x-6的一個(gè)因式解 x2+x-6=x-2x+3換元法在因式分解時(shí)，有時(shí)可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一未知數(shù)，然后進(jìn)行因式

11、分解，最后在轉(zhuǎn)換回來(lái)，這種方法叫做換元法。例：分解因式 x+1x+2x+3x+6+x2解 原式x2+7x+6x2+5x+6+x2設(shè)x2+5x+6=A，則x2+7x+6=A+2x所以 原式=A+2xA+x2=A2+2Ax+x2=A+x2=x2+6x+62求根法（因式定理、綜合除法）令多項(xiàng)式 fx=0得根x1，x2，xn 則可分解為fx=x-x1x-x2x-xn因式定理：如果多項(xiàng)式fa=0，那么多項(xiàng)式fx必定含有因式x-a。相反的，若fx含有因式x-a，那么fa=0 。當(dāng)a是有理數(shù)時(shí)，可用綜合除法來(lái)確定：如果整系數(shù)多項(xiàng)式anxn+an-1xn-1+a1x-a0有因式x-qp（p，q是互質(zhì)的整數(shù)），則p一定是an的約數(shù)，q一定是a0的約數(shù)。先寫(xiě)出整系數(shù)多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)an和常數(shù)項(xiàng)a0的所有因數(shù)，然后以an的因數(shù)為分母，a0的因數(shù)為分子，做出所有可能得既約分?jǐn)?shù)。如果fx有有理根，則必定在這些既約分?jǐn)?shù)中。然后選擇試除數(shù)，代入原式是否為零，若不為零，用綜合除法求其商式。例：分解多項(xiàng)式2x3+3x2-8x+3待定系數(shù)法用待定系數(shù)法分解因式，首先按已知條件吧原式假設(shè)成若干個(gè)因式的乘積，這些因式中的系數(shù)可先用字母表示，他們的值是待定的，根據(jù)恒等原理，建立待定系數(shù)方程組，求解方程。例：6x2+xy-2y2+x+10y-12解 由6x2+x