Mathematica入門教程剖析

1、Mathematica 入門教程Mathematica 的基本語法特征如果你是第一次使用 Mathematica ，那么以下幾點請你一定牢牢記住：Mathematica 中大寫小寫是有區(qū)別的，如Name、 name、 NAME 等是不同的變量名或函數(shù)名。系統(tǒng)所提供的功能大部分以系統(tǒng)函數(shù)的形式給出，內(nèi)部函數(shù)一般寫全稱，而且一定是以大寫英文字母開頭，如 Sinx,Conjugatez 等。乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 3 = 2*3 = 6 ,x y,2 Sinx等；乘幕可以用“八”表示，如xA0.5,TanxAy。自定義的變量可以取幾乎任意的名稱，長度不限，但不可以數(shù)字開頭。當你賦予變

2、量任何一個值，除非你明顯地改變該值或使用Clear變量名或“變量名=.取消該值為止，它將始終保持原值不變。一定要注意四種括號的用法：（）圓括號表示項的結(jié)合順序，如（x+（yAx+1/（2x）;方括號表示函數(shù)，如 Logx,BesselJx,1 ； 大括號表示一個“表”（一組數(shù)字、任意表達式、函數(shù)等的集合 ），如2x,Sin12 Pi,1+A,y*x； 雙方括號表示“表”或“表達式”的下標，如 a2,3 、 1,2,31=1。Mathematica 的語句書寫十分方便，一個語句可以分為多行寫，同一行可以寫多個語句（但要以分號間隔）。當語句以分號結(jié)束時，語句計算后不做輸出（輸出語句除外） ，否則將

3、輸出計算的結(jié)果。一.數(shù)的表示及計算1.在 Mathematica 中你不必考慮數(shù)的精確度，因為除非你指定輸出精度，Mathematica 總會以絕對精確的形式輸出結(jié)果。例如：你輸入In1:=378/123 ，系統(tǒng)會輸出 Out1:=126/41 ，如果想得到近似解，則應(yīng)輸入In2:=N378/123,5, 即求其 5位有效數(shù)字的數(shù)值解，系統(tǒng)會輸出 Out2:=3.0732，另外 Mathematica 還可以根據(jù)你前面使用的數(shù)字的精度自動地設(shè)定精度。Mathematica與眾不同之處還在于它可以處理任意大、任意小及任意位精度的數(shù)值，如100人7000,2人（-2000）等數(shù)值可以很快地求出，但

4、在其他語言或系統(tǒng)中這是不可想象的，你不妨試一試NPi,1000 。Mathematica還定義了一些系統(tǒng)常數(shù)，如上面提到的Pi（圓周率的精確值），還有E（自然對數(shù)的底數(shù)）、1（復數(shù)單位），Degree（角度一度，Pi/180）, Infinity（無窮大）等，不要小看這些簡單的符號，它們包含的信息遠遠大于我們所熟知的它 們的近似值，它們的精度也是無限的。表”及其用法“表”是 Mathematica 中一個相當有用的數(shù)據(jù)類型，它即可以作為數(shù)組，又可以作為矩陣；除此以外，你可以把 任意一組表達式用一個或一組 括起來，進行運算、存儲?？梢哉f表是任意對象的一個集合。它可以動態(tài)地分配內(nèi)存， 可以方便地進

5、行插入、刪除、排序、翻轉(zhuǎn)等等幾乎所有可以想象到的操作。如果你建立了一個表， 你可以通過下 表操作 符（ 雙方 括號）來訪 問它的 每一個元素， 如我們定義 table=2,Pi,Sinx,aaa,A*l 為一個表，那么 table1就為 2, table2就是 Pi，而 table3,1表示嵌套在 table 中的子 表aaa,A*I的第一個元素即 aaa, table3,2表示aaa,A*I第二個元素即 A*l?？傊砻恳粚哟紊喜⒘械牟糠钟枚禾?分割，表可以無窮嵌套。你可以通過 Append表,表達式或 Prepend表,表達式把表達式添加到表的最前面或最后面，女口Append1,2,3,

6、a表示1,2,3,a。你還可以通過 Union表1,表2,Jion表1,表2,來把幾個表合并為一個表，二者不同在于 Union在合并時刪除了各表中重復的元素，而后者僅是簡單的合并；你還可以使用Flatten表把表中所有子表”抹平合并成一個表，而Patition表，整數(shù)n把表按每n個元素分段作為子表，集合成的表。如Flatten1,2,Sinx,dog,y表示1,2,Sinx,y,而 Partition1,2,Sinx,y,2把表每兩個分段， 結(jié)果為1,2,Sinx,y;還可以通過 Delete表，位置、 Insert表，位置來向表中按位置插入或刪除元素，如要刪除上面提到的table中的aaa你

7、可以用Deletetable,3,1來實現(xiàn)；Sort表給出了表中各元素的大小順序，Reverse表卜RotateLeft表，整數(shù)n、RotateRight表，整數(shù)n可以分別將一個表進行翻轉(zhuǎn)、左轉(zhuǎn) n個元素、右轉(zhuǎn)n個元素等操作，Length表給出了表第一個層次上的元素個數(shù)，Position表，表達式給出了表中出現(xiàn)該表達式的位置，Count表，表達式則給出表達式出現(xiàn)的次數(shù)。各種表的操作函數(shù)還有很多，這里就不再一一介紹了。三.圖形函數(shù)Mathematica 的圖形函數(shù)十分豐富， 用寥寥幾句就可以畫出復雜的圖形， 而且可以通過變量和文件存儲和顯示圖形， 具有極大的靈活性。圖形函數(shù)中最有代表性的函數(shù)為P

8、lot表達式，變量，下限，上限，可選項，（其中表達式還可以是一個”表達式表，這樣可以在一個圖里畫多個函數(shù)）；變量為自變量；上限和下限確定了作圖的范圍；可選項可要可不要，不寫系統(tǒng)會按默認值作圖，它表示對作圖的具體要求。例如 PlotSinx,x,0,2*Pi,AspectRatio-1 表示在 0xx0x-x0 時函數(shù)的極限Limitexpr,x-x0,Direction-1 x- xo 時函數(shù)的極限Limitexpr,x-x0|ljrectioni1越DIn 1:= LimitOut1:=1.微商和微分X- x0 一時函數(shù)的極限在Mathematica中能方便地計算任何函數(shù)表達式的任意階微商（

9、導數(shù)）.如果f是一元函數(shù)，Df,x表示 埜dx;如果f是多元函數(shù),Df,x表不 一f .微商函數(shù)的常用形式如下Df,x計算偏導數(shù)fDf,x1,x2,Df,x,n計算多重導數(shù)cx1 cx2n計算n階導數(shù)f點XIn 1:=DxAx,xH（F面列出全微分函數(shù)Dt為常用形式及其意義：Out1:=Dtf全微分 dfDtf,x全導數(shù)史dxDtf,x1,x2,多重全導數(shù)In 1:=DtxA2+yA2Out1:=df df f dx1 dx2 2x 不定積分和定積分1.不定積分Integrate函數(shù)主要計算只含有1簡單函數(shù)”的被積函數(shù)簡單函數(shù)”包括有理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)與反三角函數(shù)。不定積分一

10、般形式如下：Integratef, x計算不定積分f(x)dxIntegratef, x，y計算不定積分dx f(x,y)dyIn tegratef.In1 : = IntegrateOut1:=1Log 2In2 : = Integratex，y，計算不定積分(IDdx dr f (x, y, z)dzOut2:=x3y+xy22.定積分計算定積分的命令和計算不定積分是同一個Integrate函數(shù)，在計算定積分時，除了要給出變量外還要給出積分的上下限。當定積分算不出準確結(jié)果時，用N%命令總能得到其數(shù)值解.Nintegrate也是計算定積分的函數(shù)，其使用方法和形式和Integrate函數(shù)相同用

11、Integrate函數(shù)計算定積分得到的是準確解，Nintegrate函數(shù)計算定積分得到的是近似數(shù)值解計算多重積分時，第一個自變量相應(yīng)于最外層積分放在最后計算Integratef,x,a,b計算定積分 / f (x)dxaNIntegratef,x,a,b計算定積分 ff(x)dxIntegratef,x,a,b,y,c,d計算定積分：dx ： f (x,y)dydNIntegratef,x,a,b,y,c,d計算定積分 fdxf f(x,y)dy-d-CIn 1:=IntegrateOut1:=In 2:=Out2：=In 3:=Out3:=Integrate3b2冷4Nlntegrate0.

12、9062658xD73 Cos8iD8 D幕級數(shù)幕級數(shù)展開函數(shù)Series的一般形式：Seriesexpr,x,xO,n 將expr在x=x0點展開到n階的級數(shù)Seriesexpr,x,xO,n,y,yO,m 先對y展開到 m階再對x展開n階幕級數(shù)用Series展開后nOxIn 1:=SeriesOut1:=In 2:=SeriesIn 3:=Out2:=+ OOut3:=3+丿+ O4O常微分方程求解常微分方程和常微分方程組的函數(shù)的一般形式如下：Dsolveeqns,yx,x解y(x)的微分方程或方程組eqns,x為變量Dsolvee qn s,y,x在純函數(shù)的形式下求解NDsolvee q

13、n s,yx,x,xmi n,xmax程和常微分方程組在區(qū)間xmin,xmax上求解變量x的數(shù)的形式下求解常微分方In 1:=In 2:=DSOut1:=DSOut2:=In 3:=Dsqt線性代數(shù)1.定義向量和矩陣函數(shù)定義一個矩陣,可用函數(shù)Table或Array.當矩陣元素能用一個函數(shù)表達式時,用函數(shù)Table在定義矩陣大小的同時也給每個矩陣元素定義確定的值.用函數(shù)Range只能定義元素為數(shù)值的向量.Array只能用于定義向量、矩陣和張量，并規(guī)定矩陣和張量的元素下標從 1開始.Array的一般形式：Array向量元素名,n,f定義下標從f開始的有n個元素的向量，當f是1時可省略.Array矩

14、陣元素名,m,n定義m行n列的矩陣.其中:矩陣元素名是一個標識符，表示矩陣元素的名稱，當循環(huán)范圍是u,v,w時定義一個張量. Table表達式f,循環(huán)范圍表達式f表示向量或矩陣元素的通項公式；循環(huán)范圍定義矩陣的大小.循環(huán)范圍的一般形式:循環(huán)變量名，循環(huán)初值，循環(huán)終值，循環(huán)步長.在 Array或Table 的循環(huán)范示方測有k.請在下面的實例中注意觀察.In 1:=TableOut1:=In 2:=In 3:=Out3:=In 4:=Out4:=In 5:=U =Out2:=3 （*ndenjtyMatrixn】 I生成n維矩陣*）88LIdeTableForm對角元素為表元素的對角矩陣*Diag

15、gnalMatrixD，,ormm或MatrixFormm按矩陣形式輸出 m*）E陣每一行元素用一對括起來*)1 0 00 2 0Out5:=003一個矩陣可用一個變量表示，如In2所示U是一個矩陣，則Ul表示U的第I行的N個元素；TransposeUj表示U的 第J行的M個元素;UI,j或al,j表示U的第I行第J列元素；Ui1,i2,ip,j1,j2,jq表示由行為i1,i2,ip和列 為j1,j2,jq組成的子矩陣.2矩陣的運算符號和函數(shù)表達式意義A+cA為矩陣,c為標量,c與A中的每一個兀素相加A+BA,B為冋階矩陣或向量,A與B的對應(yīng)兀素相加cAA為矩陣,c為標量,c與A中的每個兀素

16、相乘U.V向量U與V的內(nèi)積A.B矩陣A與矩陣B相乘，要求A的列數(shù)等于B的行數(shù)DetM計算矩陣M的行列式的值TranseposeMTm的轉(zhuǎn)置矩陣（m或M ）In verseM計算矩陣M的逆矩陣（M ）Eige nvalusA計算矩陣A的全部（準確解）特征值Eige nvalusNA計算矩陣A的全部（數(shù)值解）特征值Eige nvectorsA計算矩陣A的全部（準確解）特征向量Eige nvectorsNA計算矩陣A的全部（數(shù)值解）特征向量Eige nsystemA計算矩陣A的所有（準確解）特征值和特征向量Eige nsystemNA計算矩陣A的所有（數(shù)值解）特征值和特征向量3.方程組求解函數(shù)在Ma

17、thematica中用LinerSolveA,B,求解滿足 AX=B的一個解.如果A的行列式不為零，那么這個解是方程組的唯一解；如果A的行列式是零，那么這個解是方程組的一個特解，方程組的全部解由基礎(chǔ)解系向量的線性組合加上這個特解組成.NullSpaceA計算方程組 AX=0的基礎(chǔ)解系的向量表，用LinerSolveA,B 和NullSpaceA聯(lián)手解出方程組 AX=B的全部 解.解方程組函數(shù)意義RowReduceA作行的線性組合化簡A,A為m行n列的矩陣Lin erSolveA,B求解滿足AX=B的一個解,A為方陣NullSpaceA求解方程組AX=0的基礎(chǔ)解系的向量表，A為方陣Mathematica中還有一個美妙的函數(shù) RowReduceA,它對A的行向量作化間成梯形的初等線性變換.用RowReduce可計算矩陣的秩，判斷向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)和計算極大線性無關(guān)組等工作11331133例：已知A=In1:=