高中數(shù)學(xué)全程復(fù)習(xí)方略34 生活中的優(yōu)化問題舉例(共82張PPT)

1、3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例1.1.通過實(shí)例了解利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題的步驟通過實(shí)例了解利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題的步驟. .2.2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題. . 1.1.本課重點(diǎn)是求解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題本課重點(diǎn)是求解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題. .2.2.本課難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成抽象的數(shù)學(xué)問題本課難點(diǎn)是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成抽象的數(shù)學(xué)問題. . 1.1.優(yōu)化問題的定義優(yōu)化問題的定義解決生活中求解決生活中求_、_、_等問題等問題. .利潤最大利潤最大用料最省用料最省效率最高效率最高2.2.解決優(yōu)化問題的基本思路是解決優(yōu)化問題的基本思路是優(yōu)化問題優(yōu)化問題

2、 優(yōu)化問題的答案優(yōu)化問題的答案 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題上述解決優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的上述解決優(yōu)化問題的過程是一個(gè)典型的_過程過程數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模1.1.求函數(shù)最值的常用方法有哪些求函數(shù)最值的常用方法有哪些? ?提示：提示：可以利用函數(shù)的單調(diào)性；可以利用基本不等式；可以利可以利用函數(shù)的單調(diào)性；可以利用基本不等式；可以利用導(dǎo)數(shù)用導(dǎo)數(shù). .2.2.要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長為要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm20 cm，要使其體積最，要使其體積最大，則高為大，則高為_._.【解析解析】設(shè)圓錐的高為設(shè)圓錐的高為x cmx cm，則

3、底面半徑為，則底面半徑為 cmcm，其，其體積為體積為v= x(20v= x(202 2-x-x2 2)(0 x20)(0 x20)，v= (400-3xv= (400-3x2 2) )，令，令v=0v=0，解得解得 ( (舍去舍去).).當(dāng)當(dāng)0 x 0 x0v0；2220 x1313122020 x3x333 ，2033當(dāng)當(dāng) x20 x20時(shí)，時(shí)，v0v0，當(dāng)當(dāng)x= x= 時(shí)，時(shí)，v v取最大值取最大值. .答案：答案： cmcm2033203320333.3.體積為定值體積為定值v0v0的正三棱柱，當(dāng)它的底面邊長為的正三棱柱，當(dāng)它的底面邊長為_時(shí)，正時(shí)，正三棱柱的表面積最小三棱柱的表面積最

4、小. .【解析解析】設(shè)底面的邊長為設(shè)底面的邊長為a a，高為，高為h h，則則203va h4，0222024vh,3a3sa23ah44v3a3a23a由由s=0s=0得得所以當(dāng)?shù)酌娴倪呴L為所以當(dāng)?shù)酌娴倪呴L為 時(shí)，正三棱柱的表面積最小時(shí)，正三棱柱的表面積最小. .答案：答案：20028v8v33as2a2a2a （），（），30a4v，30a4v，304v4.4.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20 00020 000元，每生產(chǎn)一單位元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加的產(chǎn)品，成本增加100100元，若總收入元，若總收入r r與年產(chǎn)與年產(chǎn)x x的關(guān)系是的關(guān)系是r(x)

5、=r(x)= +400 x(0 x390) +400 x(0 x390)，則當(dāng)總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)，則當(dāng)總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品單位數(shù)是品單位數(shù)是_._.3x900【解析解析】由題意可得總利潤由題意可得總利潤p(x)=- +300 x-20 000(0p(x)=- +300 x-20 000(0 x390).p(x)=- xx390).p(x)=- x2 2+300+300，由由p(x)=0p(x)=0，得，得x=300.x=300.當(dāng)當(dāng)0 x3000 x0p(x)0，當(dāng)當(dāng)300 x390300 x390時(shí)，時(shí)，p(x)0p(x)0，所以當(dāng)所以當(dāng)x=300 x=300時(shí)，時(shí)，p(x)

6、p(x)最大最大. .答案：答案：3003003x90013001.1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟(1)(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y=f(x)y=f(x)；(2)(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)f(x)，解方程，解方程f(x)=0f(x)=0；(3)(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)=0f(x)=0的點(diǎn)的數(shù)值的大小，最的點(diǎn)的數(shù)值的大小，最大大( (小小) )者為最大者為

7、最大( (小小) )值；值；(4)(4)寫出答案寫出答案. .2.2.解應(yīng)用題的思路和方法解應(yīng)用題的思路和方法解應(yīng)用題首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上把實(shí)際問題抽解應(yīng)用題首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，就是從實(shí)際問題出發(fā)，抽象概括，利用數(shù)學(xué)知象成數(shù)學(xué)問題，就是從實(shí)際問題出發(fā)，抽象概括，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實(shí)際問題中去研究，得到數(shù)學(xué)結(jié)論，然后再把數(shù)學(xué)結(jié)論返回到實(shí)際問題中去. .其思路如下：其思路如下：實(shí)際問題實(shí)際問題 數(shù)學(xué)問

8、題數(shù)學(xué)問題實(shí)際問題的結(jié)論實(shí)際問題的結(jié)論 數(shù)學(xué)問題的結(jié)論數(shù)學(xué)問題的結(jié)論 問問題題解解決決 數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題 數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)解解答答檢驗(yàn)檢驗(yàn)回到實(shí)際問題回到實(shí)際問題 (1)(1)審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出審題：閱讀理解文字表達(dá)的題意，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；問題的主要關(guān)系；(2)(2)建模；將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立建模；將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)(3)解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；求解；(4)(

9、4)對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評估，定性定量分析，作出正確的判斷，對結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證評估，定性定量分析，作出正確的判斷，確定其答案確定其答案. . 面積、容積的最值問題面積、容積的最值問題【技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥】解決面積、容積的最值問題的思路解決面積、容積的最值問題的思路解決面積、容積的最值問題，要正確引入變量，將面積或容積解決面積、容積的最值問題，要正確引入變量，將面積或容積表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函表示為變量的函數(shù)，結(jié)合實(shí)際問題的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值數(shù)的最值. .【典例訓(xùn)練典例訓(xùn)練】1.1.已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)a a，d d位于位于x x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)軸

10、上，另兩個(gè)頂點(diǎn)b b，c c位于拋位于拋物線物線y=4-xy=4-x2 2在在x x軸上方的曲線上，則這個(gè)矩形的面積最大時(shí)的邊軸上方的曲線上，則這個(gè)矩形的面積最大時(shí)的邊長為長為_._.2.2.在邊長為在邊長為60 cm60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起把它的邊沿虛線折起( (如圖如圖) )，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底，做成一個(gè)無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？的邊長是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？【解析解析】1.1.由題意，設(shè)矩形邊長由題意，設(shè)矩形邊長adad2x2x，則，則ab

11、ab4-x4-x2 2，矩形面積為矩形面積為s=2x(4-xs=2x(4-x2 2)=8x-2x)=8x-2x3 3(0 x2).(0 x2).s=8-6xs=8-6x2 2. .令令s=0s=0，解之得，解之得 ( (舍去舍去).).當(dāng)當(dāng)0 x 0 x0s0；當(dāng)當(dāng) x2x2時(shí)，時(shí)，s0.s0.1222x3x333 ，233233當(dāng)當(dāng)x= x= 時(shí)時(shí),s,s取得最大值為取得最大值為 . .即矩形的邊長分別是即矩形的邊長分別是 時(shí)，矩形的面積最大時(shí)，矩形的面積最大. .答案：答案： 23332 394 3 833，4 3 833，2.2.方法一：設(shè)箱底邊長為方法一：設(shè)箱底邊長為x cmx cm，

12、則箱子高為則箱子高為h= cmh= cm，得箱子容積，得箱子容積v(x)=xv(x)=x2 2h= (0 x60).h= (0 x60).v(x)=60 x- (0 x60)v(x)=60 x- (0 x60)令令v(x)=60 x- =0v(x)=60 x- =0，解得解得x=0(x=0(舍去舍去),x=40.),x=40.并求得并求得v(40)=16 000.v(40)=16 000.60 x22360 xx223x223x2由題意可知，當(dāng)由題意可知，當(dāng)x x接近于接近于0 0或接近于或接近于6060時(shí)，箱子容積很小，因此，時(shí)，箱子容積很小，因此，16 00016 000是最大值是最大值.

13、 .答：當(dāng)答：當(dāng)x=40 cmx=40 cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16 000 cm16 000 cm3 3. .方法二：設(shè)箱子高為方法二：設(shè)箱子高為x cmx cm，則箱底長為，則箱底長為(60-2x) cm(60-2x) cm，則得箱子，則得箱子容積容積v(x)=(60-2x)v(x)=(60-2x)2 2x(0 x30).(x(0 x0,v0；當(dāng)當(dāng)x(20,30)x(20,30)時(shí)時(shí),v0,v0)+ )(x0)，40=k40=k20203 3=8 000k=8 000k，k= k= ，y=f(x)=a( )(x0)y=f(x)=a( )(x0)，f(x)

14、=a( )=f(x)=a( )=ax200 x12002x200200 x2x200100 x32a x20 000100 x，令令f(x)=0f(x)=0，則，則f(x)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)，只有一個(gè)極值點(diǎn)，此點(diǎn)也為最值點(diǎn)，此點(diǎn)也為最值點(diǎn)，當(dāng)火車行駛速度為當(dāng)火車行駛速度為 km/hkm/h時(shí)，費(fèi)用最少時(shí)，費(fèi)用最少. .答案：答案： km/hkm/h3x10 20，310 20310 202.2.設(shè)單位面積鐵的造價(jià)為設(shè)單位面積鐵的造價(jià)為m m，桶的總造價(jià)為，桶的總造價(jià)為y y，則，則y y3mr23mr2m(rm(r2 22rh).2rh).因?yàn)橐驗(yàn)関 vrr2 2h h，得，得h h ，所

15、以所以y y4mr4mr2 2 . .所以所以yy8mr8mr . .令令yy0 0，解得，解得 此時(shí)此時(shí)2vr2mvr22mvr13vr()4，13vh()4.所以當(dāng)所以當(dāng)r r 時(shí)，時(shí)，y0y r 時(shí)，時(shí)，y0y0，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增. .所以所以r r 為函數(shù)的極小值點(diǎn)，且是最小值點(diǎn)，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，且是最小值點(diǎn)，所以當(dāng)所以當(dāng)r r ，即，即hr=41hr=41時(shí)，時(shí)，y y有最小值有最小值. .13v()413v()413v()413v()4【總結(jié)總結(jié)】解答題解答題1 1的易錯(cuò)點(diǎn)與解答題的易錯(cuò)點(diǎn)與解答題2 2時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn)時(shí)的關(guān)鍵點(diǎn). .提示：提示：(1)(1)解答題解答題1 1

16、時(shí)，注意填空題的規(guī)范性，結(jié)果容易漏掉單時(shí)，注意填空題的規(guī)范性，結(jié)果容易漏掉單位位. .(2)(2)解答題解答題2 2的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用容積是定值，得到高與半徑的關(guān)的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用容積是定值，得到高與半徑的關(guān)系，進(jìn)而得到總造價(jià)關(guān)于半徑的函數(shù)，注意本題字母較多，要系，進(jìn)而得到總造價(jià)關(guān)于半徑的函數(shù)，注意本題字母較多，要分清哪些是常數(shù)，哪些是變量分清哪些是常數(shù)，哪些是變量. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】某企業(yè)擬建造如圖所示的容器某企業(yè)擬建造如圖所示的容器( (不計(jì)厚度，長度不計(jì)厚度，長度單位：米單位：米) )，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容

17、器的容積為形，按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為 立方米，且立方米，且l2r.2r.假設(shè)假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān). .已知圓柱形部分每平方已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為米建造費(fèi)用為3 3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c3)c(c3)千元千元. .設(shè)該容器的建造費(fèi)用為設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y y千元千元. .803(1)(1)寫出寫出y y關(guān)于關(guān)于r r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.r.lrrrr【解析解析】(1)(

18、1)因?yàn)槿萜鞯捏w積為因?yàn)槿萜鞯捏w積為 立方米，立方米，所以所以解得解得l= =由于由于l2r,2r,因此因此0r2.03,c3,所以所以c-20,c-20,所以令所以令y0y0得得: :令令y0y0得得: :2160r328c2 r20,0r2,r320r;c23200r,c2當(dāng)當(dāng)3c923 c 時(shí)，即時(shí)，即 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y y在在(0(0，2)2)上是先減后上是先減后增的，故建造費(fèi)用最小時(shí)增的，故建造費(fèi)用最小時(shí)3202c29232002c2320r.c2 利潤最大利潤最大( (成本最低成本最低) )問題問題【技法點(diǎn)撥技法點(diǎn)撥】1.1.經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟(jì)生活中優(yōu)化問題的解法經(jīng)濟(jì)生

19、活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤及利潤增減的快慢, ,以產(chǎn)以產(chǎn)量或單價(jià)為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系量或單價(jià)為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系, ,從而可以利用導(dǎo)數(shù)來從而可以利用導(dǎo)數(shù)來分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動(dòng)分析、研究、指導(dǎo)生產(chǎn)活動(dòng). .2.2.關(guān)于利潤問題常用的兩個(gè)等量關(guān)系關(guān)于利潤問題常用的兩個(gè)等量關(guān)系(1)(1)利潤利潤= =收入收入- -成本；成本；(2)(2)利潤利潤= =每件產(chǎn)品的利潤每件產(chǎn)品的利潤銷售件數(shù)銷售件數(shù). .【典例訓(xùn)練典例訓(xùn)練】1.1.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x x件的總成本件的總成本c(x)c(x)1 2001 200 ( (萬元萬

20、元) )，已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x x成反比，生產(chǎn)成反比，生產(chǎn)100100件這樣的產(chǎn)件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為品單價(jià)為5050萬元，則產(chǎn)量定為萬元，則產(chǎn)量定為_件時(shí)，總利潤最大件時(shí)，總利潤最大. .32x752.2.某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(y(單單位：千克位：千克) )與銷售價(jià)格與銷售價(jià)格x(x(單位：元單位：元/ /千克千克) )滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式y(tǒng) y10(x10(x6)6)2 2，其中，其中3x63x6，a a為常數(shù)為常數(shù). .已知銷售價(jià)格為已知銷售價(jià)格為5 5元元/ /千克千克時(shí)，每

21、日可售出該商品時(shí)，每日可售出該商品1111千克千克. .(1)(1)求求a a的值；的值；(2)(2)若該商品的成本為若該商品的成本為3 3元元/ /千克，試確定銷售價(jià)格千克，試確定銷售價(jià)格x x的值，使商的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大場每日銷售該商品所獲得的利潤最大. .ax3【解析解析】1.1.設(shè)產(chǎn)品的單價(jià)為設(shè)產(chǎn)品的單價(jià)為p p萬元，根據(jù)已知，可設(shè)萬元，根據(jù)已知，可設(shè)p p2 2 ，其中其中k k為比例系數(shù)為比例系數(shù). .因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)x x100100時(shí)，時(shí)，p p5050，所以，所以k k250 000250 000，所以所以設(shè)總利潤為設(shè)總利潤為y y萬元，則萬元，則y y5

22、00 500 275x275x3 31 200.1 200.kx2250 000500ppx0.xx， ，35002x 1 200 x75xx求導(dǎo)數(shù)得，求導(dǎo)數(shù)得，令令yy0 0得得x x25.25.故當(dāng)故當(dāng)x25x0y0；當(dāng)當(dāng)x25x25時(shí)，時(shí)，y0.y0.因此，當(dāng)因此，當(dāng)x x2525時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)y y取得極大值，也是最大值取得極大值，也是最大值. .答案：答案：252522502yx .25x2.(1)2.(1)因?yàn)橐驗(yàn)閤 x5 5時(shí)，時(shí)，y y1111，所以所以 10101111，a a2.2.(2)(2)由由(1)(1)可知，該商品每日的銷售量可知，該商品每日的銷售量y y 10(

23、x10(x6)6)2 2. .所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)f(x)(x(x3)3) 10(x10(x6)6)2 22 210(x10(x3)(x3)(x6)6)2 2，3x6.3x6.a22x32x3從而從而f(x)f(x)1010(x(x6)6)2 22(x2(x3)(x3)(x6)6)30(x30(x4)(x4)(x6).6).于是，當(dāng)于是，當(dāng)x x變化時(shí)，變化時(shí)，f(x)f(x)，f(x)f(x)的變化情況如下表：的變化情況如下表：x x(3,4)(3,4)4 4(4,6)(4,6)f(x)f(x)0 0f(x)f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增極大

24、值極大值4242單調(diào)遞減單調(diào)遞減由上表可得，由上表可得，x x4 4是函數(shù)是函數(shù)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(3,6)(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)是最大值點(diǎn). .所以，當(dāng)所以，當(dāng)x x4 4時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)f(x)取得最大值，且最大值等于取得最大值，且最大值等于42.42.答：當(dāng)銷售價(jià)格為答：當(dāng)銷售價(jià)格為4 4元元/ /千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的千克時(shí)，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大利潤最大. .【想一想想一想】解答題解答題1 1的關(guān)鍵點(diǎn)與解答題的關(guān)鍵點(diǎn)與解答題2 2求導(dǎo)的技巧是什么？求導(dǎo)的技巧是什么？提示：提示：(1)(1)解答題解答題1 1時(shí)，關(guān)

25、鍵點(diǎn)在于根據(jù)已知條件得到反比例系時(shí)，關(guān)鍵點(diǎn)在于根據(jù)已知條件得到反比例系數(shù)數(shù). .(2)(2)解答題解答題2 2時(shí)，求時(shí)，求f(x)f(x)的導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵，把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵，把函數(shù)f(x)f(x)的解析式整的解析式整理成理成x x的多項(xiàng)式是正確求導(dǎo)的關(guān)鍵的多項(xiàng)式是正確求導(dǎo)的關(guān)鍵. .【變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練】某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是成本是1515元，銷售價(jià)是元，銷售價(jià)是2020元，月平均銷售元，月平均銷售a a件件. .通過改進(jìn)工藝，通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高

26、，市場分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為x(0 x1)x(0 x1)，那么月平均，那么月平均銷售量減少的百分率為銷售量減少的百分率為x x2 2. .記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤是念品的月平均利潤是y(y(元元).).(1)(1)寫出寫出y y與與x x的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；(2)(2)改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大念品的月平均利潤最大. .【解析解析】(1)(1)改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為改進(jìn)工藝后，

27、每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1+x)20(1+x)，月平，月平均銷售量為均銷售量為a(1-xa(1-x2 2) )件，則月平均利潤件，則月平均利潤y=a(1-xy=a(1-x2 2) )20(1+x)-20(1+x)-1515( (元元) )，y y與與x x的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為y=5a(1+4x-xy=5a(1+4x-x2 2-4x-4x3 3)(0 x1).)(0 x1).(2)(2)由由y=5a(4-2x-12xy=5a(4-2x-12x2 2)=0)=0得得x x1 1= = ，x x2 2=- (=- (舍去舍去),),當(dāng)當(dāng)0 x 0 x0,y0； x1x1時(shí)時(shí),y0,y0，12

28、231212函數(shù)函數(shù)y=5a(1+4x-xy=5a(1+4x-x2 2-4x-4x3 3)(0 x1)(0 x1)在在x= x= 處取得最大值處取得最大值. .故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1+ )=3020(1+ )=30元時(shí)，旅游部門元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大. .1212【規(guī)范解答規(guī)范解答】利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題【典例典例】(12(12分分) )工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，次品率p p與日產(chǎn)量與日產(chǎn)量x(x(萬件萬件) )間的關(guān)系為間的關(guān)系為 (c(c為常數(shù)，且為常

29、數(shù)，且0c6).0ccxc時(shí)，時(shí)，p p ，y y(1(1 ) )x x3 3 x x 0 0；2 2分分當(dāng)當(dāng)0 xc0cxc時(shí)，日盈利額為時(shí)，日盈利額為0.0.6 6分分當(dāng)當(dāng)0 xc0 xc時(shí)，時(shí)，23 9x2x0 xc,y2 6x0,xc,，23 9x2xy2 6x，yy ，8 8分分令令yy0 0，得，得x x3 3或或x x9(9(舍去舍去).).當(dāng)當(dāng)0c30c0y0，y y在區(qū)間在區(qū)間(0(0，c c上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，y y最大值最大值f(c)f(c) 9 9分分2294x6x9x2x326x23 x3x96x23 9c2c.2 6c當(dāng)當(dāng)3c63c0y0，在，在(3(3，c)c

30、)上上,y0,y0，y y在在(0,3)(0,3)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在(3(3，c)c)上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. .yy最大值最大值f(3)f(3) . .1111分分綜上，若綜上，若0c30c3，則當(dāng)日產(chǎn)量為，則當(dāng)日產(chǎn)量為c c萬件時(shí)，日盈利額最萬件時(shí)，日盈利額最大；若大；若3c63c6，則當(dāng)日產(chǎn)量為，則當(dāng)日產(chǎn)量為3 3萬件時(shí)，日盈利額最大萬件時(shí)，日盈利額最大. .1212分分92【閱卷人點(diǎn)撥閱卷人點(diǎn)撥】通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：題啟示總結(jié)如下：( (注：此處的見規(guī)范解答過程注：此處的見規(guī)范解答過程) )失失分分警警

31、示示 在解答過程中，若不能正確地求導(dǎo)得出處在解答過程中，若不能正確地求導(dǎo)得出處 ，那么后面的解答就沒有正確，那么后面的解答就沒有正確的可能，在考試中若這步正確，即使后面的解的可能，在考試中若這步正確，即使后面的解答錯(cuò)誤，也能給答錯(cuò)誤，也能給8 8分分, ,這是解這類題的關(guān)鍵步驟這是解這類題的關(guān)鍵步驟, ,也是考試中常出現(xiàn)的失分點(diǎn)也是考試中常出現(xiàn)的失分點(diǎn). . 23(x3)(x9)(6x)失失分分警警示示 在解答過程中，若漏掉處的兩種情況在解答過程中，若漏掉處的兩種情況0c30c3 和和3c63c6的討論，而直接得到的討論，而直接得到x=3x=3時(shí)函數(shù)取到最時(shí)函數(shù)取到最大值，則解析不完整，實(shí)際考

32、試中最多給大值，則解析不完整，實(shí)際考試中最多給9 9分分. .是是考試中常出現(xiàn)的失分點(diǎn)考試中常出現(xiàn)的失分點(diǎn). .失失分分警警示示 在解答過程中，若漏掉處在解答過程中，若漏掉處綜上，若綜上，若0c30c3，則當(dāng)日產(chǎn)量為，則當(dāng)日產(chǎn)量為c c萬件時(shí)，日盈利額最大；若萬件時(shí)，日盈利額最大；若3c3c66，則當(dāng)日產(chǎn)量為，則當(dāng)日產(chǎn)量為3 3萬件時(shí)，日盈萬件時(shí)，日盈利額最大利額最大. .部分的內(nèi)容，雖然不是錯(cuò)誤，但解析過程不完整，部分的內(nèi)容，雖然不是錯(cuò)誤，但解析過程不完整，實(shí)際考試中此種情況一般給實(shí)際考試中此種情況一般給1111分，這是考試中最不分，這是考試中最不該失分的地方該失分的地方. .解解題題啟啟示

33、示(1)(1)對導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則要熟練、運(yùn)用，避免不必要的對導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則要熟練、運(yùn)用，避免不必要的錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；(2)(2)解題時(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用解題時(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用; ;(3)(3)做解答題時(shí)一定要注意解題的規(guī)范性，不要因漏掉步做解答題時(shí)一定要注意解題的規(guī)范性，不要因漏掉步驟而使得解析不規(guī)范、不嚴(yán)謹(jǐn)驟而使得解析不規(guī)范、不嚴(yán)謹(jǐn). .【規(guī)范訓(xùn)練規(guī)范訓(xùn)練】(12(12分分) )某商場預(yù)計(jì)某商場預(yù)計(jì)20122012年年1 1月份起前月份起前x x個(gè)月，顧個(gè)月，顧客對某商品的需求總量客對某商品的需求總量p(x)(p(x)(單位：件單位：件) )與與x x的關(guān)系近似地滿足的關(guān)系近

34、似地滿足p(x)= x(x+1)(39-2x)(xnp(x)= x(x+1)(39-2x)(xn* *,x12).,x12).該商品第該商品第x x月的進(jìn)貨單月的進(jìn)貨單價(jià)價(jià)q(x)(q(x)(單位：元單位：元) )與與x x的近似關(guān)系是的近似關(guān)系是12 *1502x xn ,1x6q x160185xn ,7x12 .x且，且(1)(1)寫出寫出20122012年第年第x x月的需求量月的需求量f(x)(f(x)(單位：件單位：件) )與與x x的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系式；式；(2)(2)該商品每件的售價(jià)為該商品每件的售價(jià)為185185元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿元，若不計(jì)其他費(fèi)用且每月都能滿足

35、市場需求，試問商場足市場需求，試問商場20122012年哪個(gè)月銷售該商品的月利潤最大，年哪個(gè)月銷售該商品的月利潤最大，最大月利潤為多少元？最大月利潤為多少元？ 【解題設(shè)問解題設(shè)問】(1)(1)本題需要分類討論嗎？本題需要分類討論嗎？_(2)(2)若需要，應(yīng)把哪個(gè)變量作為分類的標(biāo)準(zhǔn)？若需要，應(yīng)把哪個(gè)變量作為分類的標(biāo)準(zhǔn)？x x分類的第一種情況是分類的第一種情況是_；第二種情況是；第二種情況是_. .需要需要1x61x67x127x12【規(guī)范答題規(guī)范答題】(1)(1)當(dāng)當(dāng)x=1x=1時(shí)，時(shí)，f(1)=p(1)=37f(1)=p(1)=37，2 2分分當(dāng)當(dāng)2x122x12，且，且xnxn* *時(shí)，時(shí)，f(x)=p(x)-p(x-1)f(x)=p(x)-p(x-1)= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x= x(x+1)(39-2x)- (x-1)x(41-2x)(41-2x)=-3x=-3x2 2+40 x+40 x，4 4分分驗(yàn)證驗(yàn)證x=1