自動(dòng)控制原理(13)

1、江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理第七章第七章 非線性系統(tǒng)的分析非線性系統(tǒng)的分析 7.1 概述概述控制控制系統(tǒng)系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)一定范圍內(nèi)非線性因素可忽略不計(jì)的系統(tǒng)一定范圍內(nèi)非線性因素可忽略不計(jì)的系統(tǒng)可線性化的系統(tǒng)可線性化的系統(tǒng)非線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)含有非線性元件的含有非線性元件的本質(zhì)非線性本質(zhì)非線性系統(tǒng)。系統(tǒng)。這類系統(tǒng)這類系統(tǒng)不能進(jìn)行線性化處理不能進(jìn)行線性化處理。分析方法：分析方法：描述函數(shù)法描述函數(shù)法非線性系統(tǒng)的頻域法非線性系統(tǒng)的頻域法相平面法相平面法非線性系統(tǒng)的時(shí)域法非線性系統(tǒng)的時(shí)域法江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理研

2、究非線性控制理論的意義研究非線性控制理論的意義： 實(shí)際上，理想的線性系統(tǒng)并不存在，因?yàn)橄到y(tǒng)實(shí)際上，理想的線性系統(tǒng)并不存在，因?yàn)橄到y(tǒng)各元件的動(dòng)、各元件的動(dòng)、靜態(tài)特性都存在著不同程度的非線性靜態(tài)特性都存在著不同程度的非線性。如放大元件由于受電源。如放大元件由于受電源電壓或輸出功率的限制，在輸入電壓超過放大器的線性工作范電壓或輸出功率的限制，在輸入電壓超過放大器的線性工作范圍時(shí)，輸出呈飽和現(xiàn)象，如圖圍時(shí)，輸出呈飽和現(xiàn)象，如圖7-1(a)7-1(a)所示。執(zhí)行元件電動(dòng)機(jī)，所示。執(zhí)行元件電動(dòng)機(jī)，由于其軸上聯(lián)接著需動(dòng)力驅(qū)動(dòng)的機(jī)械負(fù)載，只有在電樞電壓達(dá)由于其軸上聯(lián)接著需動(dòng)力驅(qū)動(dòng)的機(jī)械負(fù)載，只有在電樞電壓達(dá)到

3、一定數(shù)值后，電機(jī)才會(huì)啟動(dòng)，存在著死區(qū)；而當(dāng)電樞電壓超到一定數(shù)值后，電機(jī)才會(huì)啟動(dòng)，存在著死區(qū)；而當(dāng)電樞電壓超過一定數(shù)值時(shí)，電機(jī)的轉(zhuǎn)速將不再增加，出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，其特過一定數(shù)值時(shí)，電機(jī)的轉(zhuǎn)速將不再增加，出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，其特性如圖性如圖7-1(b)7-1(b)所示。又如傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，受加工和裝配精度的限制，所示。又如傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，受加工和裝配精度的限制，換向時(shí)存在著間隙特性，如圖換向時(shí)存在著間隙特性，如圖7-1(c)7-1(c)所示。所示。圖圖7-1江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 對(duì)某些非線性因素不太嚴(yán)重的系統(tǒng)，可忽略非線性特性的對(duì)某些非線性因素不太嚴(yán)重的系統(tǒng)，可忽略非線性

4、特性的影響或作小偏差線性化處理，將近似為線性系統(tǒng)，可用線性系影響或作小偏差線性化處理，將近似為線性系統(tǒng)，可用線性系統(tǒng)的方法加以分析和設(shè)計(jì)。但是，對(duì)于非線性程度比較嚴(yán)重，統(tǒng)的方法加以分析和設(shè)計(jì)。但是，對(duì)于非線性程度比較嚴(yán)重，且系統(tǒng)工作范圍較大的非線性系統(tǒng)，只有使用非線性系統(tǒng)的分且系統(tǒng)工作范圍較大的非線性系統(tǒng)，只有使用非線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法，才能得到較為正確的結(jié)果。隨著生產(chǎn)和科學(xué)技析和設(shè)計(jì)方法，才能得到較為正確的結(jié)果。隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對(duì)控制系統(tǒng)的性能和精度的要求越來越高，建立在術(shù)的發(fā)展，對(duì)控制系統(tǒng)的性能和精度的要求越來越高，建立在上述線性化基礎(chǔ)上的分析和設(shè)計(jì)方法已難以解決高質(zhì)量的控制

5、上述線性化基礎(chǔ)上的分析和設(shè)計(jì)方法已難以解決高質(zhì)量的控制問題。為此，問題。為此，必須針對(duì)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，采用非線性控必須針對(duì)非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，采用非線性控制理論進(jìn)行研究制理論進(jìn)行研究。此外，為了改善系統(tǒng)的性能，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的。此外，為了改善系統(tǒng)的性能，實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量的控制，還必須考慮非線性控制器的設(shè)計(jì)。例如，為了獲得最短控制，還必須考慮非線性控制器的設(shè)計(jì)。例如，為了獲得最短時(shí)間控制，需對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)采用繼電控制，使其始終工作在最大時(shí)間控制，需對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)采用繼電控制，使其始終工作在最大電壓或最大功率下，充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)能力；為了兼顧系統(tǒng)的響電壓或最大功率下，充分發(fā)揮其調(diào)節(jié)能力；為了兼顧系統(tǒng)的響應(yīng)速率

6、和穩(wěn)態(tài)精度，需使用變?cè)鲆婵刂破鞯鹊?。?yīng)速率和穩(wěn)態(tài)精度，需使用變?cè)鲆婵刂破鞯鹊取?值得注意的是，非線性特性干差萬別，值得注意的是，非線性特性干差萬別，對(duì)于非線性系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)，目前還沒有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法目前還沒有統(tǒng)一的且普遍適用的處理方法。線性系統(tǒng)是非線性。線性系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)的持例，線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法在非線性控制系統(tǒng)的系統(tǒng)的持例，線性系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)方法在非線性控制系統(tǒng)的研究中仍將發(fā)揮非常重要的作用。研究中仍將發(fā)揮非常重要的作用。江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 一般概念一般概念兩種分析方法：相平面法、描述函數(shù)法兩種分析方法：相平面法、

7、描述函數(shù)法利用非線性特性改善系統(tǒng)性能利用非線性特性改善系統(tǒng)性能主要內(nèi)容主要內(nèi)容1. 非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的基本特征基本特征【例例7-17-1】某一階非線性系統(tǒng)的某一階非線性系統(tǒng)的微分方程為微分方程為 ，則，則: :0)1( xxx )0(,1)(0000 xxexxextxtt 其其中中x0=1.05x0=0.75x0=0.5x0=-0.5x0=-1x0=1x0=0不穩(wěn)定不穩(wěn)定的平衡的平衡狀態(tài)狀態(tài)穩(wěn)定穩(wěn)定的平的平衡狀態(tài)衡狀態(tài)系系統(tǒng)統(tǒng)不不穩(wěn)穩(wěn)定定系系統(tǒng)統(tǒng)穩(wěn)穩(wěn)定定；可可見見：1)0(1)0(xx江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理x0=3x0=2x0=1均為收斂于

8、幅值為均為收斂于幅值為2的等副振蕩的等副振蕩 說明說明： 多數(shù)情況下，不希望系統(tǒng)有自振多數(shù)情況下，不希望系統(tǒng)有自振產(chǎn)生。長(zhǎng)時(shí)間的自激振蕩一方面會(huì)造產(chǎn)生。長(zhǎng)時(shí)間的自激振蕩一方面會(huì)造成機(jī)械的磨損，能量損耗，增加控制成機(jī)械的磨損，能量損耗，增加控制誤差。但另一方面，通過在系統(tǒng)中引誤差。但另一方面，通過在系統(tǒng)中引入小幅度的高頻入小幅度的高頻“微振微振”，可以起到，可以起到“動(dòng)力潤滑動(dòng)力潤滑”的作用，有利于減小或的作用，有利于減小或消除間隙、死區(qū)及摩擦等因素的影響。消除間隙、死區(qū)及摩擦等因素的影響。因此，針對(duì)自激振蕩必須要具體問題因此，針對(duì)自激振蕩必須要具體問題具體分析。具體分析。 有關(guān)有關(guān)自激振蕩的研

9、究是非線性系自激振蕩的研究是非線性系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。 江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理當(dāng)輸入信號(hào)超過某一范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸當(dāng)輸入信號(hào)超過某一范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)而變化，將保持某一常數(shù)值不變?？蓪柡头蔷€性元入信號(hào)而變化，將保持某一常數(shù)值不變?？蓪柡头蔷€性元件看作為一個(gè)件看作為一個(gè)圖圖7-2 7-2 理想與實(shí)際飽和特性理想與實(shí)際飽和特性（b）實(shí)際飽和特性）實(shí)際飽和特性（a）理想飽和特性）理想飽和特性 sxsxxxfxxKxfx如圖：如圖：11111212,

10、0,tan)()( 江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理圖圖7-3 7-3 死區(qū)特性死區(qū)特性江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理圖圖7-4 7-4 間隙特性間隙特性江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 繼電特性常常會(huì)繼電特性常常會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩使系統(tǒng)產(chǎn)生振蕩現(xiàn)象，但如選擇現(xiàn)象，但如選擇合適的合適的繼電特性可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度繼電特性可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度，也可構(gòu)成正弦信號(hào)發(fā)生器。，也可構(gòu)成正弦信號(hào)發(fā)生器。圖圖7-5 7-5 繼電器特性繼電器特性 (a)理想特性理想特性(b)帶死區(qū)的特性帶死區(qū)的特性(c

11、)一般特性一般特性江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理3. 3. 非線性系統(tǒng)的分析方法非線性系統(tǒng)的分析方法 目前，對(duì)于非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)，工程上常用的近似方法有：目前，對(duì)于非線性系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)，工程上常用的近似方法有：小小偏差線性化法偏差線性化法、分段線性化法分段線性化法、反饋線性化法反饋線性化法、描述函數(shù)法、相平面法及描述函數(shù)法、相平面法及計(jì)算機(jī)仿真計(jì)算機(jī)仿真等。本章將重點(diǎn)介紹應(yīng)用較多的等。本章將重點(diǎn)介紹應(yīng)用較多的相平面法相平面法和和描述函數(shù)法描述函數(shù)法。 （1 1） 相平面法相平面法 相平面法是相平面法是基于時(shí)域的圖解分析方法基于時(shí)域的圖解分析方法。利

12、用二階系統(tǒng)的利用二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程狀態(tài)方程，繪制由，繪制由狀態(tài)變狀態(tài)變量量所構(gòu)成的的所構(gòu)成的的相軌跡圖相軌跡圖?？捎脕?。可用來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及運(yùn)動(dòng)特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性及運(yùn)動(dòng)特性。 只適用于一、二階的簡(jiǎn)單非線性系統(tǒng)分析只適用于一、二階的簡(jiǎn)單非線性系統(tǒng)分析。 （2 2） 描述函數(shù)法描述函數(shù)法 描述函數(shù)法是描述函數(shù)法是基于頻域的圖解分析方法基于頻域的圖解分析方法。特點(diǎn)是。特點(diǎn)是，將非線性特性近似表示為，將非線性特性近似表示為復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)復(fù)變?cè)鲆姝h(huán)節(jié)，利用線性系統(tǒng)頻率法中的穩(wěn)定判據(jù)，利用線性系統(tǒng)頻率法中的穩(wěn)定判據(jù)，分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自激振蕩。 一般用于一般用于高

13、階非線性系統(tǒng)的分析高階非線性系統(tǒng)的分析。 江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 本節(jié)主要學(xué)習(xí)本節(jié)主要學(xué)習(xí)三個(gè)基本內(nèi)容三個(gè)基本內(nèi)容： 描述函數(shù)的描述函數(shù)的基本概念基本概念、典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線性特性的描述函數(shù)、用描、用描述函數(shù)法述函數(shù)法分析在無外作用的情況下分析在無外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性和和自自激振蕩激振蕩問題。問題。 描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的基本概念 圖圖7-6 非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu) 描述函數(shù)是對(duì)系統(tǒng)中的描述函數(shù)是對(duì)系統(tǒng)中的非非線性元件線性元件在在正弦信號(hào)作用下正弦信號(hào)作用下的的輸出輸出進(jìn)行進(jìn)行諧

14、波線性化諧波線性化處理后得處理后得到的，其表達(dá)形式類似于線性到的，其表達(dá)形式類似于線性系統(tǒng)中的系統(tǒng)中的幅相頻率特性幅相頻率特性。 非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖7-6。其中：其中：G(s) 線性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)線性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù) N(x) 非線性元件描述函數(shù)非線性元件描述函數(shù)江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 若在若在N(x)的輸入端加一正弦輸入信號(hào)的輸入端加一正弦輸入信號(hào) 時(shí)，時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出其穩(wěn)態(tài)輸出 一般為含有高次諧波的周期函數(shù)，將其用一般為含有高次諧波的周期函數(shù)，將其用傅傅里葉級(jí)數(shù)展開里葉級(jí)數(shù)展開為：為：( )sinx tXt 諧波線性化諧波

15、線性化即：忽略高次諧波，即：忽略高次諧波，只考慮基波分量只考慮基波分量的線性化方法。的線性化方法。)sin()sincos()(1010nnnnnntnYAtnBtnAAty 直流分量直流分量第第n次諧波分量次諧波分量式中，式中，An、Bn為為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)nnnnnnBABAYarctan22 )(ty江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 因非線性特性大多為因非線性特性大多為奇對(duì)稱奇對(duì)稱，則直流分量，則直流分量A0=0；同時(shí)各諧波同時(shí)各諧波分量的幅值與基波相比都比較小；再考慮到實(shí)際系統(tǒng)的線性部分量的幅值與基波相比都比較??；再考慮到實(shí)際系統(tǒng)的線性部分一般都

16、具有分一般都具有低通特性低通特性，因此，可以忽略其高次諧波分量，只，因此，可以忽略其高次諧波分量，只考慮基波分量，即考慮基波分量，即n=1n=1。則：。則： 2020)2 , 1 , 0(,sin)(1,cos)(1nttdntyBttdntyAnn按照傅里葉分解法，其按照傅里葉分解法，其偶函數(shù)分量偶函數(shù)分量和和奇函數(shù)分量奇函數(shù)分量的系數(shù)分別為：的系數(shù)分別為： 200,)(1dttyA而直流分量：而直流分量：)sin(sincos)(1111 tYtBtAty22111111arctanAYABB， 201201),(sin)(1, )(cos)(1ttdtyBttdtyA其中：其中：y (x

17、)= -y (-x)江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 可見：非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入情況下，其輸出也可近似具可見：非線性環(huán)節(jié)在正弦輸入情況下，其輸出也可近似具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式，即是一個(gè)有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式，即是一個(gè)與輸入信號(hào)同與輸入信號(hào)同頻率的正弦信號(hào)頻率的正弦信號(hào)，只是幅值和相位發(fā)生了變化。由于只是，只是幅值和相位發(fā)生了變化。由于只是用一用一次基波代替了總的輸出次基波代替了總的輸出，因此，將這種近似處理方法稱為，因此，將這種近似處理方法稱為諧波諧波線性化線性化。 諧波線性化的條件諧波線性化的條件： 非線性系統(tǒng)應(yīng)能夠簡(jiǎn)化為圖非線性系統(tǒng)

18、應(yīng)能夠簡(jiǎn)化為圖7.1所示的所示的典型結(jié)構(gòu)典型結(jié)構(gòu)。 非線性特性應(yīng)具有非線性特性應(yīng)具有奇對(duì)稱性奇對(duì)稱性，即：，即：f1(e)=-f1(-e) 保證非線性元件輸出的平均值即直流分量保證非線性元件輸出的平均值即直流分量A0=0。 系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的系統(tǒng)的線性部分應(yīng)具有較好的低通濾波特性低通濾波特性。江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 描述函數(shù)描述函數(shù)定義定義：在：在正弦信號(hào)作用下，正弦信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)輸出的穩(wěn)態(tài)輸出的基波分量基波分量與輸入正弦量的與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比復(fù)數(shù)比。用。用N(X)表示。表示。由上分析可知：由上分析可知：對(duì)于非線性元

19、件，輸入對(duì)于非線性元件，輸入 時(shí)，時(shí)，諧波線性化后的輸出為：諧波線性化后的輸出為：( )sinx tXt1111( )cossinsin()y tAtBtYt則描述函數(shù)為：則描述函數(shù)為：XjABBAXBAeXYeXNXNjXNj111121211)(arctan)()(1 江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 描述函數(shù)的描述函數(shù)的求取求?。骸纠?.1】設(shè)繼電特性為設(shè)繼電特性為 試計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。試計(jì)算該非線性特性的描述函數(shù)。 00,)(，xMxMxy解：設(shè)解：設(shè)tXx sin 2,0,)(tMtMtyXMXjABXNMtdttyBtdttyAdtt

20、yA4)(4,sin)(10,cos)(1, 0)(2111201201200 故：故：江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 -因非線性元件一般為非儲(chǔ)能元件因非線性元件一般為非儲(chǔ)能元件0, 011 A江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理2. 典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線性特性的描述函數(shù) （1）理想）理想繼電特性繼電特性的描述函數(shù)的描述函數(shù)理想繼電特性在正弦輸入信號(hào)作用下的波形如圖理想繼電特性在正弦輸入信號(hào)作用下的波形如圖7-7所示。所示。 圖圖7-7 理想繼電特性正弦輸入作用下的輸出波形理想繼電特性正弦輸入作用下的輸出波形t江

21、南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 由于由于y (t)是周期為是周期為2的單值方波函數(shù)，且關(guān)于的單值方波函數(shù)，且關(guān)于點(diǎn)齊對(duì)點(diǎn)齊對(duì)稱，所以稱，所以A0=A1=0， 。01 的的函函數(shù)數(shù)。幅幅值值，幅幅值值是是輸輸入入正正弦弦信信號(hào)號(hào)的的相相位位角角為為即即述述函函數(shù)數(shù)為為：故故，理理想想繼繼電電特特性性的的描描所所以以，基基波波分分量量為為：為為：而而基基波波奇奇函函數(shù)數(shù)分分量量系系數(shù)數(shù)XXNXMeXYXNtMtyMttdMttdtyBj0)(4)(sin4)(4)(sin2)(sin)(1110201 江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)

22、控制原理圖圖7-8 死區(qū)特性正弦輸入作用下的輸出波形死區(qū)特性正弦輸入作用下的輸出波形 X江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理由于死區(qū)特性仍為由于死區(qū)特性仍為單值奇函數(shù)單值奇函數(shù)，故只需要求解，故只需要求解B B1 1。XX arcsinsin11其中：其中：故，死區(qū)特性的描述函數(shù)為：故，死區(qū)特性的描述函數(shù)為： 212()arcsin1() 2BKN XXXXXX121020/221( )sind1 (sin)sind4(sin)sind2arcsin1() 2By tttK XtttK XtttKXXXXX 1江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制

23、原理自動(dòng)控制原理a-aX圖圖7-9 飽和特性正弦輸入作用下的輸出波形飽和特性正弦輸入作用下的輸出波形江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理11sin 0( ) /2KXtty tKat 因因y (t)為為平頂對(duì)稱波形平頂對(duì)稱波形，故只需計(jì)算，故只需計(jì)算(0,)區(qū)間內(nèi)的積分，區(qū)間內(nèi)的積分，此時(shí)：此時(shí)：1sinXa1arcsinaX其中：其中：同理可求出：同理可求出：1111/ 2210/ 2024sindsind411sin 2( cos)242arcsin1() BKXttKattKXatttXKXaaaXaXXX212()arcsin1BKaaaN XXaXXX

24、X 故，飽和特性的描述函數(shù)為：故，飽和特性的描述函數(shù)為：江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理圖圖7-10 間隙特性正弦輸入作用下的輸出波形間隙特性正弦輸入作用下的輸出波形江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 間隙特性是間隙特性是多值函數(shù)多值函數(shù)，A1、B1均不為均不為0，描述函數(shù)為輸入信，描述函數(shù)為輸入信號(hào)振幅號(hào)振幅X的復(fù)函數(shù)。的復(fù)函數(shù)。 y (t)為有為有時(shí)間滯后且削頂時(shí)間滯后且削頂?shù)恼也ǎ淝鞍胫芷谂c后半周期的正弦波，其前半周期與后半周期波形相同，符號(hào)相反。故計(jì)算波形相同，符號(hào)相反。故計(jì)算A1、B1時(shí)可只半波積分。時(shí)可只半波

25、積分。 由此求得間隙特性的描述函數(shù)為：由此求得間隙特性的描述函數(shù)為： 11j()224 arcsin 12 11j12BAN XXXKbbbbKbb XbXXXXXX 描述函數(shù)為描述函數(shù)為復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)，說明輸出對(duì)輸入有相位差，即輸出，說明輸出對(duì)輸入有相位差，即輸出滯后于輸入。滯后于輸入。 同理可求出其它非線性特性的描述函數(shù)，如具有死區(qū)同理可求出其它非線性特性的描述函數(shù)，如具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電特性、組合（串聯(lián)元件）非線性特性等。見和滯環(huán)的繼電特性、組合（串聯(lián)元件）非線性特性等。見P223表表7-1所示。所示。江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)

26、院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理3. 非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析 分析的分析的條件條件： 假定非線性系統(tǒng)具有圖假定非線性系統(tǒng)具有圖7.26所示的典型結(jié)構(gòu)，并且系統(tǒng)所示的典型結(jié)構(gòu)，并且系統(tǒng)的線性部分是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)全部位于復(fù)平面的左半部。的線性部分是穩(wěn)定的，即其極點(diǎn)全部位于復(fù)平面的左半部。 分析的分析的內(nèi)容內(nèi)容： 非線性系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性； 自激振蕩及其自激振蕩及其穩(wěn)定性穩(wěn)定性，振幅和頻率的計(jì)算振幅和頻率的計(jì)算。分析的分析的依據(jù)依據(jù)： 線性系統(tǒng)中的線性系統(tǒng)中的乃氏穩(wěn)定判據(jù)乃氏穩(wěn)

27、定判據(jù)。 分析的分析的思路思路： 在復(fù)平面做出線性部分的在復(fù)平面做出線性部分的乃氏圖乃氏圖G(j)，和非線性部分，和非線性部分N(X)的的負(fù)倒特性圖負(fù)倒特性圖，根據(jù)，根據(jù)兩者的關(guān)系兩者的關(guān)系，引入乃氏判據(jù)，就可，引入乃氏判據(jù)，就可進(jìn)行非線性系統(tǒng)的分析。進(jìn)行非線性系統(tǒng)的分析。 江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 將系統(tǒng)中的非線性元件看作是具有復(fù)增益將系統(tǒng)中的非線性元件看作是具有復(fù)增益N(X)的放大器后，的放大器后，整個(gè)系統(tǒng)就可以等效為一個(gè)整個(gè)系統(tǒng)就可以等效為一個(gè)變?cè)鲆娴木€性系統(tǒng)變?cè)鲆娴木€性系統(tǒng)，并可用乃氏判，并可用乃氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 由上

28、分析可知，由上分析可知，N(X)只是輸入信號(hào)幅值只是輸入信號(hào)幅值X的函數(shù)，則：的函數(shù)，則： 可見，非線性元件可以看作是具有可見，非線性元件可以看作是具有復(fù)數(shù)增益復(fù)數(shù)增益N(X)的放大器，的放大器，即元件的描述函數(shù)，就是元件的即元件的描述函數(shù)，就是元件的等效復(fù)增益等效復(fù)增益。)()()()(1txXNtyty N(X)x(t)y(t) 圖圖7-11非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)G(j)()(1)()()()()(jCXNjCXNjRjCj 如圖如圖7-11為為系統(tǒng)系統(tǒng)閉閉環(huán)頻率特性環(huán)頻率特性為：為：對(duì)應(yīng)閉環(huán)特征方程為：對(duì)應(yīng)閉環(huán)特征方程為：0)()(1 jCXN)(1)(XNjC 江南大

29、學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 定義：定義： 稱為描述函數(shù)的稱為描述函數(shù)的負(fù)倒特性負(fù)倒特性。)(1XN 對(duì)比線性系統(tǒng)中的乃氏判據(jù)，當(dāng)對(duì)比線性系統(tǒng)中的乃氏判據(jù)，當(dāng)G(j)= -1時(shí)，系統(tǒng)是臨時(shí)，系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)。顯然界穩(wěn)定的，即系統(tǒng)處于等幅振蕩狀態(tài)。顯然-1/N(X)相當(dāng)于線相當(dāng)于線性系統(tǒng)中的（性系統(tǒng)中的（-1,j0）點(diǎn)）點(diǎn)?？梢?，線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲?？梢姡€性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲線過點(diǎn)（線過點(diǎn)（-1,j0），而），而非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲線與負(fù)倒非線性系統(tǒng)的臨界狀態(tài)是奈氏曲線與負(fù)倒特性曲線特性曲線-1/N(X)曲線相交曲線

30、相交。)(1)(XNjC 可見可見： 只要在復(fù)平面上只要在復(fù)平面上同時(shí)會(huì)出線性部分的乃氏曲線和非線性部同時(shí)會(huì)出線性部分的乃氏曲線和非線性部分的負(fù)倒特性曲線分的負(fù)倒特性曲線，便可以利用乃氏判據(jù)來判斷非線性系統(tǒng)的，便可以利用乃氏判據(jù)來判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性。 方法如下：方法如下：江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理 若若G (j)曲線曲線不包圍不包圍-1/N(X)曲線，非線性系統(tǒng)曲線，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定。 （如圖（如圖a a），而且兩者距離越遠(yuǎn)，穩(wěn)定性越好。），而且兩者距離越遠(yuǎn)，穩(wěn)定性越好。 若若G (j)曲線曲線包圍包圍-1/N(X)曲線，非線性系統(tǒng)曲線

31、，非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。不穩(wěn)定。 （如圖（如圖b b）。）。 若若G (j)曲線與曲線與- -1/N(X)曲線曲線相交相交，理論上將，理論上將產(chǎn)生等幅振蕩的產(chǎn)生等幅振蕩的周期運(yùn)動(dòng)。周期運(yùn)動(dòng)。（如圖（如圖c c，有兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，有兩個(gè)周期運(yùn)動(dòng)點(diǎn)A和和B）。）。 (a) 穩(wěn)定穩(wěn)定(a) 不穩(wěn)定不穩(wěn)定(a) 自激振蕩自激振蕩圖圖7-12 非線性系統(tǒng)的乃氏圖與負(fù)倒特性的關(guān)系非線性系統(tǒng)的乃氏圖與負(fù)倒特性的關(guān)系江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院自動(dòng)控制原理自動(dòng)控制原理（3）自振蕩自振蕩的分析與計(jì)算的分析與計(jì)算 由上分析可知，若由上分析可知，若G (j)曲線與曲線與-1/N(X)曲線曲線相交相交，非線，非線性系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩，此時(shí)對(duì)輸入信號(hào)至少存在一組（性系統(tǒng)將產(chǎn)生自振蕩，此時(shí)對(duì)輸入信號(hào)至少存在一組（X,）參數(shù)滿