FH定理及其應用PPT學習教案

1、會計學1FH定理及其應用定理及其應用對于一維諧振子，已知對于一維諧振子，已知 ，求求 和和 。22222212xdxdH21nEnnxn|2npn|2solve： 取21,2nExHn 21|2nnxnEnHnn21|2nnxn另取 21,222nEpdxdHn21|12nEnpnnHnn21|2nnpn第1頁/共11頁VnT 2設粒子的勢能設粒子的勢能V(x, y, z)是是x, y, z 的的n 次齊次函數(shù)，則次齊次函數(shù)，則其中其中T為動能，為動能，V為位能為位能prove： 數(shù)學中將滿足以下關系 的函數(shù) 稱為 的m次齊次函數(shù)，并有歐勒定理),(),(11kmkxxfxxf),(1kxxf

2、kxx,1 因V(x, y, z)是x, y, z的n次齊次函數(shù)，所以有mfxfxiii),(32131zxyxxxxVxnViii海森堡方程 ：)(),(1)(tHtAidttAd第2頁/共11頁由此得到： iiipHxix,1iiixVHpip,1 313122iiiiixVxpVnT31)(iiiiipxpx設|m是 的本征函數(shù)VTH3 , 2 , 1|mmEmHm mVnTmVnT|)2( |231| )( |iiiiimpxpxm31|iliiiimpllxmmpllxm第3頁/共11頁 lxHHxmilHxmilxmiiii| )( |1| , |1|lxmEEiiml|)(1 m

3、pHHplimHplimpliiii| )( |1| ,. |1|mplEEiilm|)(131|)(12iliimlmpllxmEEiVnT mpllxmEEiiilm|)(10VnT 2第4頁/共11頁2221xV2nVT （1）諧振子）諧振子 （2）庫侖場）庫侖場 22211zyxrV1nVT 22/222)(nnzyxccrVTVn2（3） 是是n 次齊次次齊次第5頁/共11頁設設|nlm是氫原子問題是氫原子問題 的共同本征函數(shù)，的共同本征函數(shù)，r是半徑，求是半徑，求zLLH,2 （中國科技大學1984） ?1nlmrnlm?12nlmrnlm?13nlmrnlmsolve： (一一)

4、求因 ，由維里定理有 ?11nlmrnlmrrerV2)(VT2 （1）nlmrnlmenlmTnlmreT1|2222nlmVTnlmnlmHnlm|nlmrenlmnlmTnlmEn2| （2） 第6頁/共11頁（1）代入（2）得：nlmrenlmnlmrenlmEn222nlmrenlm222242ne2221nenlmrnlm（二）（二）求 nlmrnlm21rerlldrdrdrdrH22222) 1(12 22121rllH12224lnnneErn324nelEn第7頁/共11頁根據(jù) lEnlmlHnlmn203143422211211alnlnenlmrnlm 玻爾半徑 220

5、ea0)() 1(2122222rRrllreEmdrdRrdrdr（三）（三）氫原子的徑向方程令 則徑向方程變?yōu)?222) 1(2)()()(rllreEmrFrrRru0)()()( rurFrU 乘以上式，并積分)(ru第8頁/共11頁 000)()()(drrururFdruu00220)()(drudrdrFdrudrd0020220)()(drudrdFdrrurFdrddrudrd其中 0020220|RrRudrudrd00220)()()()(rurFdrrurFdrd00220)()(drrrRdrdFrRdrudrdF即 因 0)(rFdrd3222) 1(212)(rllrmedrr